संख्या अनुक्रम की परिभाषा. अनुक्रमों की सीमा की गणना कैसे करें? संख्याओं का विशिष्ट क्रम

परिचय……………………………………………………………………3

1. सैद्धांतिक भाग…………………………………………………….4

बुनियादी अवधारणाएँ और शर्तें…………………………………………………………4

1.1 अनुक्रमों के प्रकार…………………………………………………………6

1.1.1.सीमित एवं असीमित संख्या क्रम....6

1.1.2.अनुक्रमों की एकरसता………………………………6

1.1.3.अनंत बड़े और अतिसूक्ष्म क्रम…….7

1.1.4.अतिसूक्ष्म अनुक्रमों के गुण………………8

1.1.5.अभिसारी और अपसारी अनुक्रम और उनके गुण....9

1.2 अनुक्रम सीमा………………………………………………11

1.2.1.अनुक्रमों की सीमा पर प्रमेय…………………………15

1.3. अंकगणितीय प्रगति……………………………………………………17

1.3.1. अंकगणितीय प्रगति के गुण………………………………..17

1.4ज्यामितीय प्रगति…………………………………………………………..19

1.4.1. ज्यामितीय प्रगति के गुण…………………………………….19

1.5. फाइबोनैचि संख्याएँ…………………………………………………………..21

1.5.1 ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के साथ फाइबोनैचि संख्याओं का संबंध……………………22

1.5.2. जीवन का वर्णन करने के लिए फाइबोनैचि श्रृंखला का उपयोग करना और निर्जीव प्रकृति…………………………………………………………………………….23

2. स्वयं का अनुसंधान……………………………………………….28

निष्कर्ष……………………………………………………………………30

सन्दर्भों की सूची………………………………………………………………31

परिचय।

संख्या क्रम एक बहुत ही रोचक और शिक्षाप्रद विषय है। यह विषय गणितीय ओलंपियाड, उच्च शैक्षणिक संस्थानों की प्रवेश परीक्षाओं और एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं में, उपदेशात्मक सामग्री के लेखकों द्वारा छात्रों को दी जाने वाली बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों में पाया जाता है। मुझे यह सीखने में दिलचस्पी है कि गणितीय अनुक्रम ज्ञान के अन्य क्षेत्रों से कैसे संबंधित हैं।

लक्ष्य अनुसंधान कार्य: संख्या क्रम के ज्ञान का विस्तार करें।

1. क्रम पर विचार करें;

2. इसके गुणों पर विचार करें;

3. अनुक्रम के विश्लेषणात्मक कार्य पर विचार करें;

4. ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के विकास में इसकी भूमिका प्रदर्शित करें।

5. सजीव और निर्जीव प्रकृति का वर्णन करने के लिए संख्याओं की फाइबोनैचि श्रृंखला के उपयोग का प्रदर्शन करें।

1. सैद्धांतिक भाग.

बुनियादी अवधारणाएँ और शर्तें।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम फॉर्म y = f(x), x О N का एक फ़ंक्शन है, जहां N प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट है (या प्राकृतिक तर्क का एक फ़ंक्शन), जिसे y = f(n) या y1, y2, दर्शाया गया है। …, Y n,…। मान y1, y2, y3,... क्रमशः अनुक्रम के पहले, दूसरे, तीसरे,... सदस्य कहलाते हैं।

एक संख्या a को अनुक्रम x = (x n ) की सीमा कहा जाता है, यदि एक मनमाने ढंग से पूर्व निर्धारित मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε के लिए ऐसा है प्राकृतिक संख्या N कि सभी n>N के लिए असमानता |x n - a|< ε.

यदि संख्या a अनुक्रम x = (x n ) की सीमा है, तो वे कहते हैं कि x n a की ओर प्रवृत्त होता है, और लिखते हैं

.

एक अनुक्रम (yn) को बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक सदस्य (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

एक अनुक्रम (yn) को घटता हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक सदस्य (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …।

बढ़ते और घटते अनुक्रमों को सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रमों के अंतर्गत संयोजित किया जाता है।

एक अनुक्रम को आवधिक कहा जाता है यदि कोई प्राकृतिक संख्या T ऐसी हो कि, कुछ n से शुरू करके, समानता yn = yn+T रखती हो। संख्या T को आवर्त लंबाई कहा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम (ए) है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद के योग के बराबर होता है और उसी संख्या डी को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है, और संख्या डी एक का अंतर है अंकगणितीय प्रगति।

इस प्रकार, अंकगणितीय प्रगतिसंबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित एक संख्यात्मक अनुक्रम (ए) है

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4,…)

ज्यामितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें सभी पद शून्य से भिन्न होते हैं और जिनमें से प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या q से गुणा करके पिछले पद से प्राप्त किया जाता है।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम (बीएन) है जो संबंधों द्वारा आवर्ती रूप से परिभाषित होती है

बी1 = बी, बीएन = बीएन-1 क्यू (एन = 2, 3, 4…)।

1.1 अनुक्रमों के प्रकार.

1.1.1 प्रतिबंधित और अप्रतिबंधित क्रम।

एक अनुक्रम (बीएन) को ऊपर से घिरा हुआ कहा जाता है यदि कोई संख्या एम है जैसे कि किसी भी संख्या एन के लिए असमानता बीएन≤ एम रखती है;

एक अनुक्रम (बीएन) को नीचे परिबद्ध कहा जाता है यदि कोई संख्या एम है जैसे कि किसी भी संख्या एन के लिए असमानता बीएन≥ एम रखती है;

उदाहरण के लिए:

1.1.2 अनुक्रमों की एकरसता।

एक अनुक्रम (bn) को गैर-बढ़ने वाला (गैर-घटता हुआ) कहा जाता है यदि किसी संख्या n के लिए असमानता bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) सत्य है;

एक क्रम (bn) को घटता हुआ (बढ़ता हुआ) कहा जाता है यदि किसी संख्या n के लिए असमानता bn> bn+1 (bn

घटते और बढ़ते अनुक्रमों को पूर्णतया मोनोटोनिक कहा जाता है, गैर-बढ़ते अनुक्रमों को व्यापक अर्थों में मोनोटोनिक कहा जाता है।

वे अनुक्रम जो ऊपर और नीचे दोनों ओर से घिरे हुए हैं, बंधे हुए कहलाते हैं।

इन सभी प्रकारों के अनुक्रम को मोनोटोनिक कहा जाता है।

1.1.3 अनंत बड़े और छोटे अनुक्रम।

एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य या अनुक्रम है जो शून्य की ओर प्रवृत्त होता है।

एक अनुक्रम a को अतिसूक्ष्म कहा जाता है यदि

यदि ℓimx→x0 f(x)=0 है तो बिंदु x0 के पड़ोस में एक फ़ंक्शन को इनफिनिटसिमल कहा जाता है।

एक फलन को अनंत पर अतिसूक्ष्म कहा जाता है यदि ℓimx→.+∞ f(x)=0 या ℓimx→-∞ f(x)=0

इसके अलावा इनफिनिटसिमल एक फ़ंक्शन है जो एक फ़ंक्शन और उसकी सीमा के बीच का अंतर है, अर्थात, यदि ℓimx→.+∞ f(x)=a, तो f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य या अनुक्रम है जो अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

एक अनुक्रम a को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि

ℓimn→0 an=∞.

एक फ़ंक्शन को बिंदु x0 के पड़ोस में असीम रूप से बड़ा कहा जाता है यदि ℓimx→x0 f(x)= ∞।

किसी फलन को अनंत पर अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ या ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 अतिसूक्ष्म अनुक्रमों के गुण।

दो अतिसूक्ष्म अनुक्रमों का योग भी स्वयं एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम होता है।

दो अतिसूक्ष्म अनुक्रमों का अंतर भी स्वयं एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

अतिसूक्ष्म अनुक्रमों की किसी भी परिमित संख्या का बीजगणितीय योग स्वयं भी एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम होता है।

एक परिबद्ध अनुक्रम और एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम होता है।

अतिसूक्ष्म अनुक्रमों की किसी भी सीमित संख्या का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम होता है।

कोई भी अतिसूक्ष्म अनुक्रम परिबद्ध है।

यदि कोई स्थिर अनुक्रम अतिसूक्ष्म है, तो एक निश्चित बिंदु से शुरू होने वाले उसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

यदि संपूर्ण अतिसूक्ष्म अनुक्रम में समान तत्व होते हैं, तो ये तत्व शून्य होते हैं।

यदि (xn) एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम है जिसमें कोई शून्य पद नहीं है, तो एक अनुक्रम (1/xn) है जो कि अत्यंत छोटा है। हालाँकि, यदि (xn) में शून्य तत्व हैं, तो अनुक्रम (1/xn) को अभी भी कुछ संख्या n से शुरू करके परिभाषित किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुत छोटा होगा।

यदि (ए) एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है जिसमें कोई शून्य पद नहीं है, तो एक अनुक्रम (1/ए) है जो असीम रूप से बड़ा है। यदि (ए) में फिर भी शून्य तत्व शामिल हैं, तो अनुक्रम (1/ए) को अभी भी कुछ संख्या एन से शुरू करके परिभाषित किया जा सकता है, और यह अभी भी असीम रूप से बड़ा होगा।

1.1.5 अभिसारी और अपसारी अनुक्रम और उनके गुण।

अभिसारी अनुक्रम एक समुच्चय X के तत्वों का एक अनुक्रम है जिसकी इस समुच्चय में एक सीमा होती है।

अपसारी अनुक्रम एक ऐसा अनुक्रम है जो अभिसारी नहीं है।

प्रत्येक अतिसूक्ष्म अनुक्रम अभिसारी है। इसकी सीमा शून्य है.

अनंत अनुक्रम से किसी भी सीमित संख्या में तत्वों को हटाने से न तो अभिसरण प्रभावित होता है और न ही उस अनुक्रम की सीमा प्रभावित होती है।

कोई भी अभिसरण अनुक्रम परिबद्ध है। हालाँकि, प्रत्येक बंधा हुआ अनुक्रम अभिसरण नहीं करता है।

यदि अनुक्रम (xn) अभिसरण करता है, लेकिन अतिसूक्ष्म नहीं है, तो, एक निश्चित संख्या से शुरू करके, एक अनुक्रम (1/xn) परिभाषित किया जाता है, जो परिबद्ध है।

अभिसारी अनुक्रमों का योग भी एक अभिसारी अनुक्रम है।

अभिसारी अनुक्रमों का अंतर भी अभिसारी अनुक्रम है।

अभिसारी अनुक्रमों का उत्पाद भी एक अभिसारी अनुक्रम है।

दो अभिसरण अनुक्रमों के भागफल को किसी तत्व से प्रारंभ करके परिभाषित किया जाता है, जब तक कि दूसरा अनुक्रम अत्यंत छोटा न हो। यदि दो अभिसारी अनुक्रमों का भागफल परिभाषित किया जाता है, तो यह एक अभिसारी अनुक्रम है।

यदि एक अभिसरण अनुक्रम नीचे घिरा हुआ है, तो इसकी कोई भी सीमा इसकी सीमा से अधिक नहीं है।

यदि एक अभिसरण अनुक्रम ऊपर घिरा हुआ है, तो इसकी सीमा इसकी किसी भी ऊपरी सीमा से अधिक नहीं होती है।

यदि किसी संख्या के लिए एक अभिसारी अनुक्रम के पद दूसरे अभिसारी अनुक्रम के पदों से अधिक नहीं हैं, तो पहले अनुक्रम की सीमा भी दूसरे अनुक्रम की सीमा से अधिक नहीं है।

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या n किसी वास्तविक संख्या x n से संबद्ध है, तो हम कहते हैं कि दिया गया संख्या क्रम

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

संख्या एक्स 1 को अनुक्रम का सदस्य कहा जाता है नंबर 1 के साथ या अनुक्रम का पहला पद, संख्या एक्स 2 - अनुक्रम का सदस्य नंबर 2 के साथ या अनुक्रम का दूसरा सदस्य, आदि। संख्या x n कहलाती है संख्या के साथ अनुक्रम का सदस्यएन।

संख्या अनुक्रम निर्दिष्ट करने के दो तरीके हैं - साथ और साथ आवर्तक सूत्र.

अनुक्रम का उपयोग करना किसी अनुक्रम के सामान्य पद के लिए सूत्र- यह एक क्रमबद्ध कार्य है

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

पद x n की संख्या n पर निर्भरता व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करना।

उदाहरण 1। संख्या क्रम

1, 4, 9, … एन 2 , …

सामान्य पद सूत्र का उपयोग करके दिया गया

एक्स एन = एन 2 , एन = 1, 2, 3, …

पूर्ववर्ती संख्याओं वाले अनुक्रम सदस्यों के माध्यम से अनुक्रम सदस्य x n को व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट करना, अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट करना कहलाता है आवर्तक सूत्र.

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

बुलाया बढ़ते क्रम में, अधिकपिछला सदस्य.

दूसरे शब्दों में, सभी के लिए एन

एक्स एन + 1 >एक्स एन

उदाहरण 3. प्राकृतिक संख्याओं का क्रम

1, 2, 3, … एन, …

है आरोही क्रम.

परिभाषा 2. संख्या क्रम

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

बुलाया अवरोही क्रमयदि इस क्रम का प्रत्येक सदस्य कमपिछला सदस्य.

दूसरे शब्दों में, सभी के लिए एन= 1, 2, 3, ... असमानता संतुष्ट है

एक्स एन + 1 < एक्स एन

उदाहरण 4. परिणाम को

सूत्र द्वारा दिया गया है

है अवरोही क्रम.

उदाहरण 5. संख्या क्रम

1, - 1, 1, - 1, …

सूत्र द्वारा दिया गया है

एक्स एन = (- 1) एन , एन = 1, 2, 3, …

क्या नहीं है न तो बढ़ रहा है और न ही घट रहा हैअनुक्रम।

परिभाषा 3. बढ़ती और घटती संख्या क्रम कहलाती है मोनोटोनिक अनुक्रम.

परिबद्ध और असंबद्ध अनुक्रम

परिभाषा 4. संख्या क्रम

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

बुलाया ऊपर से सीमित,यदि इस क्रम के प्रत्येक सदस्य के लिए कोई संख्या M ऐसी है कमसंख्या एम.

दूसरे शब्दों में, सभी के लिए एन= 1, 2, 3, ... असमानता संतुष्ट है

परिभाषा 5. संख्या क्रम

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

बुलाया नीचे सीमाबद्ध,यदि इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य के लिए कोई संख्या m ऐसी है अधिकसंख्या एम.

दूसरे शब्दों में, सभी के लिए एन= 1, 2, 3, ... असमानता संतुष्ट है

परिभाषा 6. संख्या क्रम

एक्स 1 , एक्स 2 , … एक्स एन , …

सीमित कहा जाता है यदि यह ऊपर और नीचे दोनों तरफ सीमित।

दूसरे शब्दों में, संख्याएँ M और m ऐसी हैं जो सभी के लिए हैं एन= 1, 2, 3, ... असमानता संतुष्ट है

एम< x n < M

परिभाषा 7. संख्यात्मक अनुक्रम सीमित नहीं हैं, बुलाया असीमित क्रम.

उदाहरण 6. संख्या क्रम

1, 4, 9, … एन 2 , …

सूत्र द्वारा दिया गया है

एक्स एन = एन 2 , एन = 1, 2, 3, … ,

नीचे बंधा हुआ, उदाहरण के लिए, संख्या 0। हालाँकि, यह क्रम ऊपर से असीमित.

उदाहरण 7. परिणाम को

.

विडा य= एफ(एक्स), एक्सके बारे में एन, कहाँ एन- प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट (या प्राकृतिक तर्क का एक कार्य), दर्शाया गया य=एफ(एन) या य 1 ,य 2 ,…, Y n,…. मान य 1 ,य 2 ,य 3 ,… क्रमशः अनुक्रम के पहले, दूसरे, तीसरे, ... सदस्य कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए य= एन 2 लिखा जा सकता है:

य 1 = 1 2 = 1;

य 2 = 2 2 = 4;

य 3 = 3 2 = 9;…वाई एन = एन 2 ;…

अनुक्रम निर्दिष्ट करने की विधियाँ.अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से तीन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक और आवर्ती।

1. एक अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है यदि उसका सूत्र दिया गया हो एनवां सदस्य:

Y n=एफ(एन).

उदाहरण। Y n= 2एन - 1 – विषम संख्याओं का क्रम: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. वर्णनात्मक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का तरीका यह बताना है कि अनुक्रम किन तत्वों से बना है।

उदाहरण 1. "अनुक्रम के सभी पद 1 के बराबर हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर अनुक्रम 1, 1, 1, …, 1, … के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण 2: "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में शामिल हैं।" इस प्रकार, दिया गया क्रम 2, 3, 5, 7, 11,… है। अनुक्रम को निर्दिष्ट करने की इस विधि के साथ इस उदाहरण मेंयह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

3. अनुक्रम निर्दिष्ट करने की आवर्ती विधि एक नियम निर्दिष्ट करना है जो आपको गणना करने की अनुमति देती है एनकिसी अनुक्रम का -वाँ सदस्य यदि उसके पिछले सदस्य ज्ञात हों। आवर्ती विधि नाम लैटिन शब्द से आया है आवर्ती- वापस आओ। अक्सर, ऐसे मामलों में, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो किसी को व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

उदाहरण 1। य 1 = 3; वाई एन = वाई एन-1 + 4 यदि एन = 2, 3, 4,….

यहाँ य 1 = 3; य 2 = 3 + 4 = 7;य 3 = 7 + 4 = 11; ….

आप देख सकते हैं कि इस उदाहरण में प्राप्त अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: Y n= 4एन - 1.

उदाहरण 2. य 1 = 1; य 2 = 1; Y n = Y n –2 + Y n-1 यदि एन = 3, 4,….

यहाँ: य 1 = 1; य 2 = 1; य 3 = 1 + 1 = 2; य 4 = 1 + 2 = 3; य 5 = 2 + 3 = 5; य 6 = 3 + 5 = 8;

इस उदाहरण में अनुक्रम का विशेष रूप से गणित में अध्ययन किया जाता है क्योंकि इसमें कई दिलचस्प गुण और अनुप्रयोग हैं। इसे फाइबोनैचि अनुक्रम कहा जाता है, जिसका नाम 13वीं सदी के इतालवी गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है। फाइबोनैचि अनुक्रम को बार-बार परिभाषित करना बहुत आसान है, लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से बहुत कठिन है। एनवें फाइबोनैचि संख्या को इसके माध्यम से व्यक्त किया जाता है क्रम संख्यानिम्नलिखित सूत्र.

पहली नज़र में, के लिए सूत्र एनवें फाइबोनैचि संख्या अविश्वसनीय लगती है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करने वाले सूत्र में केवल वर्गमूल होते हैं, लेकिन आप पहले कुछ के लिए इस सूत्र की वैधता को "मैन्युअल रूप से" जांच सकते हैं एन.

संख्या अनुक्रमों के गुण.

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है, इसलिए अनुक्रमों के लिए फ़ंक्शन के कई गुणों पर भी विचार किया जाता है।

परिभाषा . परिणाम ( Y n} इसे बढ़ना कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले से बड़ा हो:

य 1 y 2 y 3 y n y n +1

परिभाषा.अनुक्रम ( Y n} इसे घटता हुआ कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले से कम हो:

य 1 > य 2 > य 3 > … > Y n> Y n +1 > … .

बढ़ते और घटते अनुक्रमों को सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रमों के अंतर्गत संयोजित किया जाता है।

उदाहरण 1। य 1 = 1; Y n= एन 2-बढ़ता हुआ क्रम।

इस प्रकार, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (अंकगणितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण)। एक संख्या अनुक्रम अंकगणितीय है यदि और केवल यदि इसका प्रत्येक सदस्य, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण। किस कीमत पर एक्ससंख्या 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+12 एक परिमित अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं?

विशेषता गुण के अनुसार दिए गए भाव संबंध को संतुष्ट करने वाले होने चाहिए

5एक्स – 4 = ((3एक्स + 2) + (11एक्स + 12))/2.

इस समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है एक्स= –5,5. इस मूल्य पर एक्सदिए गए भाव 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+12 क्रमशः मान लें -14.5, –31,5, –48,5. यह एक अंकगणितीय प्रगति है, इसका अंतर -17 है।

ज्यामितीय अनुक्रम।

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी पद शून्येतर हैं और जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से प्रारंभ करके, पिछले पद से उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है क्यू, को ज्यामितीय प्रगति और संख्या कहा जाता है क्यू- ज्यामितीय प्रगति का हर।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम है ( बी एन), संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित

बी 1 = बी, बी एन = बी एन –1 क्यू (एन = 2, 3, 4…).

(बीऔर क्यू -दिए गए नंबर, बी ≠ 0, क्यू ≠ 0).

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति बी = 2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 2,क्यू= –1.

उदाहरण 3. 8, 8, 8, 8,… – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 8, क्यू= 1.

एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता हुआ क्रम है यदि बी 1 > 0, क्यू> 1, और घट रहा है यदि बी 1 > 0, 0 प्र

ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम भी ऐसा ही है, अर्थात।

बी 1 2 , बी 2 2 , बी 3 2 , …, बी एन 2,... एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद बराबर है बी 1 2 , और हर है क्यू 2 .

FORMULA एन-ज्यामितीय प्रगति के वें पद का रूप है

बी एन= बी 1 क्यूएन- 1 .

आप एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

मान लीजिए कि एक सीमित ज्यामितीय प्रगति दी गई है

बी 1 ,बी 2 ,बी 3 , …, बी एन

होने देना एस एन -इसके सदस्यों का योग, अर्थात

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + … +बी एन.

यह तो मान लिया गया है क्यूनंबर 1. निर्धारित करना एस एनएक कृत्रिम तकनीक का उपयोग किया जाता है: अभिव्यक्ति के कुछ ज्यामितीय परिवर्तन किए जाते हैं एस एन क्यू.

एस एन क्यू = (बी 1 + बी 2 + बी 3 + … + बी एन –1 + बी एन)क्यू = बी 2 + बी 3 + बी 4 + …+ बी एन+ बी एन क्यू = एस एन+ बी एन क्यू– बी 1 .

इस प्रकार, एस एन क्यू= एस एन +बी एन क्यू – बी 1 और इसलिए

यह सूत्र है उम्मा एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तेंमामले के लिए जब क्यू≠ 1.

पर क्यू= 1 सूत्र को अलग से निकालने की आवश्यकता नहीं है; इस मामले में यह स्पष्ट है एस एन= ए 1 एन.

प्रगति को ज्यामितीय कहा जाता है क्योंकि इसमें पहले को छोड़कर प्रत्येक पद, पिछले और बाद के पदों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है। दरअसल, तब से

बीएन=बीएन- 1 क्यू;

बीएन = बीएन+ 1 /क्यू,

इस तरह, बी एन 2=बीएन– 1 बीएन+ 1 और निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण):

एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि उसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के पदों के उत्पाद के बराबर है।

संगति सीमा.

चलो एक क्रम हो ( सी एन} = {1/एन}. इस अनुक्रम को हार्मोनिक कहा जाता है, क्योंकि इसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के पदों के बीच का हार्मोनिक माध्य है। संख्याओं का ज्यामितीय माध्य एऔर बीवहाँ एक संख्या है

अन्यथा अनुक्रम को अपसारी कहा जाता है।

इस परिभाषा के आधार पर, उदाहरण के लिए, कोई सीमा के अस्तित्व को सिद्ध कर सकता है ए=0हार्मोनिक अनुक्रम के लिए ( सी एन} = {1/एन). मान लीजिए ε मनमाने ढंग से छोटा है सकारात्मक संख्या. अंतर माना जाता है

क्या ऐसी किसी वस्तु का अस्तित्व है? एनवह हर किसी के लिए है एन ≥ एनअसमानता 1 कायम है /एन ? अगर हम इसे ऐसे समझें एनसे बड़ी कोई प्राकृतिक संख्या 1/ε , फिर सभी के लिए एन ≥ एनअसमानता 1 कायम है /एन ≤ 1/एन ε , क्यू.ई.डी.

किसी विशेष अनुक्रम के लिए सीमा की उपस्थिति साबित करना कभी-कभी बहुत मुश्किल हो सकता है। सबसे अधिक बार होने वाले अनुक्रमों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और संदर्भ पुस्तकों में सूचीबद्ध किया गया है। ऐसे महत्वपूर्ण प्रमेय हैं जो आपको पहले से ही अध्ययन किए गए अनुक्रमों के आधार पर यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि दिए गए अनुक्रम की एक सीमा है (और यहां तक ​​कि इसकी गणना भी करें)।

प्रमेय 1. यदि किसी अनुक्रम की कोई सीमा है, तो वह परिबद्ध है।

प्रमेय 2. यदि कोई अनुक्रम एकदिष्ट और परिबद्ध है, तो उसकी एक सीमा होती है।

प्रमेय 3. यदि अनुक्रम ( एक} एक सीमा है ए, फिर अनुक्रम ( कर सकना}, {एक+ सी) और (| एक|} सीमाएं हैं सीए, ए +सी, |ए| तदनुसार (यहाँ)। सी- मनमानी संख्या)।

प्रमेय 4. यदि अनुक्रम ( एक} और ( बी एन) के बराबर सीमाएँ हैं एऔर बी कड़ाही + क्यूबन) की एक सीमा होती है देहात+ क्यूबी.

प्रमेय 5. यदि अनुक्रम ( एक) और ( बी एन)के बराबर सीमाएँ हैं एऔर बीतदनुसार, फिर क्रम ( ए एन बी एन) की एक सीमा होती है एबी.

प्रमेय 6. यदि अनुक्रम ( एक} और ( बी एन) के बराबर सीमाएँ हैं एऔर बीतदनुसार, और, इसके अलावा, बी एन ≠ 0 और बी≠ 0, फिर अनुक्रम ( ए एन / बी एन) की एक सीमा होती है ए/बी.

अन्ना चुगैनोवा

यदि किसी फ़ंक्शन को प्राकृतिक संख्याओं N के सेट पर परिभाषित किया गया है, तो ऐसे फ़ंक्शन को अनंत संख्या अनुक्रम कहा जाता है। आमतौर पर, एक संख्या अनुक्रम को (Xn) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n प्राकृतिक संख्याओं N के सेट से संबंधित है।

संख्या क्रम को एक सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Xn=1/(2*n). इस प्रकार, हम प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को अनुक्रम के कुछ विशिष्ट तत्व (Xn) से जोड़ते हैं।

यदि अब हम क्रमिक रूप से n को 1,2,3, .... के बराबर लेते हैं, तो हमें अनुक्रम (Xn) मिलता है: ½, ¼, 1/6, ..., 1/(2*n), ...

अनुक्रम के प्रकार

यह क्रम सीमित या असीमित, बढ़ता या घटता हुआ हो सकता है।

अनुक्रम (Xn) कॉल करता है सीमित,यदि दो संख्याएँ m और M ऐसी हैं कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित किसी भी n के लिए, समानता m कायम रहेगी<=Xn

अनुक्रम (Xn), सीमित नहीं होना,असीमित अनुक्रम कहा जाता है।

की बढ़ती,यदि सभी प्राकृतिक n के लिए निम्नलिखित समानता X(n+1) > Xn धारण करती है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से बड़ा होना चाहिए।

अनुक्रम (Xn) कहा जाता है घट रहा है,यदि सभी प्राकृतिक n के लिए निम्नलिखित समानता X(n+1) है< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

अनुक्रम उदाहरण

आइए जांचें कि क्या अनुक्रम 1/n और (n-1)/n घट रहे हैं।

यदि अनुक्रम घट रहा है, तो X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

एक्स(एन+1) - एक्सएन = 1/(एन+1) - 1/एन = -1/(एन*(एन+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(एन-1)/एन:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. इसका अर्थ है अनुक्रम (n-1)/n यह बढ़ रहा है।

संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा दी गई है। असीम रूप से बढ़ते, अभिसारी और अपसारी अनुक्रमों के उदाहरणों पर विचार किया जाता है। सभी परिमेय संख्याओं वाले अनुक्रम पर विचार किया जाता है।

सामग्री

यह सभी देखें:

परिभाषा

संख्या क्रम (xn)- यह एक नियम (नियम) है, जिसके अनुसार प्रत्येक प्राकृत संख्या के लिए n= 1, 2, 3, . . . एक निश्चित संख्या x n निर्दिष्ट की गई है।
तत्व x n कहलाता है नौवाँ पदया अनुक्रम का एक तत्व।

अनुक्रम को घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न nवें पद के रूप में दर्शाया गया है:। निम्नलिखित पदनाम भी संभव हैं: . वे स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं कि सूचकांक n प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है और अनुक्रम में अनंत संख्या में पद हैं। यहां कुछ उदाहरण अनुक्रम दिए गए हैं:
, , .

दूसरे शब्दों में, संख्या अनुक्रम एक फ़ंक्शन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। अनुक्रम के तत्वों की संख्या अनंत है। तत्वों में ऐसे सदस्य भी हो सकते हैं जिनका अर्थ समान हो। इसके अलावा, एक अनुक्रम को संख्याओं के एक क्रमांकित समूह के रूप में माना जा सकता है जिसमें अनंत संख्या में सदस्य होते हैं।

हमें मुख्य रूप से इस सवाल में दिलचस्पी होगी कि जब n अनंत की ओर जाता है तो अनुक्रम कैसे व्यवहार करते हैं:। यह सामग्री अनुक्रम की सीमा - मूल प्रमेय और गुण अनुभाग में प्रस्तुत की गई है। यहां हम अनुक्रमों के कुछ उदाहरण देखेंगे।

अनुक्रम उदाहरण

असीम रूप से बढ़ते अनुक्रमों के उदाहरण

क्रम पर विचार करें. इस अनुक्रम का सामान्य सदस्य है। आइए पहले कुछ शब्द लिखें:
.
यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, तत्व सकारात्मक मूल्यों की ओर अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं। हम कह सकते हैं कि यह क्रम इस प्रकार है: के लिए।

अब एक सामान्य पद वाले अनुक्रम पर विचार करें। यहां इसके पहले कुछ सदस्य हैं:
.
जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, इस अनुक्रम के तत्व निरपेक्ष मान में असीमित रूप से बढ़ते हैं, लेकिन उनका कोई स्थिर चिह्न नहीं होता है। अर्थात्, यह क्रम इस प्रकार है: पर।

एक सीमित संख्या में परिवर्तित होने वाले अनुक्रमों के उदाहरण

क्रम पर विचार करें. उसका सामान्य सदस्य। पहले पदों के निम्नलिखित रूप हैं:
.
यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, इस अनुक्रम के तत्व अपने सीमित मान a के करीब पहुंचते हैं = 0 : पर । इसलिए प्रत्येक आगामी पद पिछले पद की तुलना में शून्य के करीब है। एक अर्थ में, हम मान सकते हैं कि संख्या a का अनुमानित मान है = 0 त्रुटि के साथ. यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह त्रुटि शून्य हो जाती है, अर्थात n को चुनकर त्रुटि को इच्छानुसार छोटा किया जा सकता है। इसके अलावा, किसी भी त्रुटि के लिए ε > 0 आप एक संख्या N इस प्रकार निर्दिष्ट कर सकते हैं कि N: से अधिक संख्या वाले सभी तत्वों के लिए, सीमा मान a से संख्या का विचलन त्रुटि ε: से अधिक न हो।

अगला, क्रम पर विचार करें. उसका सामान्य सदस्य। यहां इसके कुछ प्रथम सदस्य हैं:
.
इस क्रम में सम संख्या वाले पद शून्य के बराबर होते हैं। विषम n वाले पद बराबर होते हैं। इसलिए, जैसे-जैसे n बढ़ता है, उनके मान सीमित मान a के करीब पहुंचते हैं = 0 . यह इस तथ्य से भी पता चलता है कि
.
पिछले उदाहरण की तरह, हम एक मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि ε निर्दिष्ट कर सकते हैं > 0 , जिसके लिए एक संख्या N खोजना संभव है जैसे कि N से अधिक संख्या वाले तत्व सीमा मान a से विचलित हो जाएंगे = 0 निर्दिष्ट त्रुटि से अधिक नहीं होने वाली राशि से। इसलिए यह क्रम मान a में परिवर्तित हो जाता है = 0 : पर ।

भिन्न अनुक्रमों के उदाहरण

निम्नलिखित सामान्य पद के साथ एक अनुक्रम पर विचार करें:

यहां इसके पहले सदस्य हैं:


.
यह देखा जा सकता है कि सम संख्याओं वाले पद:
,
मान a में अभिसरण करें 1 = 0 . विषम संख्या वाले सदस्य:
,
मान a में अभिसरण करें 2 = 2 . अनुक्रम स्वयं, जैसे-जैसे n बढ़ता है, किसी भी मूल्य पर परिवर्तित नहीं होता है।

अंतराल में वितरित शब्दों के साथ अनुक्रम (0;1)

आइए अब एक और दिलचस्प क्रम पर नजर डालें। आइए संख्या रेखा पर एक खंड लें। आइए इसे आधा-आधा बांट लें. हमें दो खंड मिलते हैं। होने देना
.
आइए प्रत्येक खंड को फिर से आधे में विभाजित करें। हमें चार खंड मिलते हैं। होने देना
.
आइए प्रत्येक खंड को फिर से आधे में विभाजित करें। चलो ले लो


.
और इसी तरह।

परिणामस्वरूप, हमें एक अनुक्रम प्राप्त होता है जिसके तत्व एक खुले अंतराल में वितरित होते हैं (0; 1) . हम बंद अंतराल से जो भी बिंदु लेते हैं , हम हमेशा उस अनुक्रम के सदस्यों को ढूंढ सकते हैं जो मनमाने ढंग से इस बिंदु के करीब होंगे या इसके साथ मेल खाएंगे।

फिर मूल अनुक्रम से कोई एक अनुवर्ती का चयन कर सकता है जो अंतराल से एक मनमाना बिंदु पर परिवर्तित हो जाएगा . अर्थात्, जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, अनुवर्ती सदस्य पूर्व-चयनित बिंदु के और निकट आते जायेंगे।

उदाहरण के लिए, बिंदु ए के लिए = 0 आप निम्नलिखित अनुवर्ती चुन सकते हैं:
.
= 0 .

बिंदु ए के लिए = 1 आइए निम्नलिखित क्रम चुनें:
.
इस अनुवर्ती के पद मान a में परिवर्तित होते हैं = 1 .

चूँकि ऐसे अनुवर्ती क्रम हैं जो विभिन्न मानों में परिवर्तित होते हैं, मूल अनुक्रम स्वयं किसी संख्या में परिवर्तित नहीं होता है।

अनुक्रम जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ शामिल हैं

आइए अब एक अनुक्रम बनाएं जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ शामिल हों। इसके अलावा, प्रत्येक परिमेय संख्या ऐसे अनुक्रम में अनंत बार दिखाई देगी।

परिमेय संख्या r को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
,
पूर्णांक कहाँ है; - प्राकृतिक।
हमें प्रत्येक प्राकृत संख्या n को संख्याओं p और q की एक जोड़ी के साथ जोड़ने की आवश्यकता है ताकि कोई भी जोड़ी p और q हमारे अनुक्रम में शामिल हो।

ऐसा करने के लिए, समतल पर p और q अक्ष बनाएं। हम p और q के पूर्णांक मानों के माध्यम से ग्रिड रेखाएँ खींचते हैं। फिर इस ग्रिड c का प्रत्येक नोड एक परिमेय संख्या के अनुरूप होगा। परिमेय संख्याओं के पूरे सेट को नोड्स के एक सेट द्वारा दर्शाया जाएगा। हमें सभी नोड्स को क्रमांकित करने का एक तरीका खोजने की आवश्यकता है ताकि हम कोई भी नोड न चूकें। यह करना आसान है यदि आप नोड्स को वर्गों द्वारा क्रमांकित करते हैं, जिनके केंद्र बिंदु पर स्थित होते हैं (0; 0) (तस्वीर देखने)। इस मामले में, q के साथ वर्गों के निचले हिस्से < 1 हमें इसकी आवश्यकता नहीं है. इसलिए उन्हें चित्र में नहीं दिखाया गया है।

तो, पहले वर्ग के शीर्ष भाग के लिए हमारे पास है:
.
इसके बाद, हम अगले वर्ग के शीर्ष भाग को क्रमांकित करते हैं:

.
हम निम्नलिखित वर्ग के शीर्ष भाग को क्रमांकित करते हैं:

.
और इसी तरह।

इस प्रकार हमें सभी परिमेय संख्याओं वाला एक अनुक्रम प्राप्त होता है। आप देख सकते हैं कि कोई भी परिमेय संख्या इस क्रम में अनंत बार आती है। दरअसल, नोड के साथ, इस अनुक्रम में नोड्स भी शामिल होंगे, जहां एक प्राकृतिक संख्या है। लेकिन ये सभी नोड एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप हैं।

फिर हमारे द्वारा बनाए गए अनुक्रम से, हम एक अनुवर्ती (तत्वों की अनंत संख्या वाले) का चयन कर सकते हैं, जिनके सभी तत्व एक पूर्व निर्धारित तर्कसंगत संख्या के बराबर हैं। चूँकि हमने जो अनुक्रम बनाया है उसके बाद के क्रम अलग-अलग संख्याओं में परिवर्तित होते हैं, अनुक्रम किसी भी संख्या में परिवर्तित नहीं होता है।

निष्कर्ष

यहां हमने संख्या क्रम की सटीक परिभाषा दी है। हमने सहज विचारों के आधार पर इसके अभिसरण का मुद्दा भी उठाया। सटीक परिभाषाअनुक्रम की सीमा निर्धारित करना पृष्ठ पर अभिसरण पर चर्चा की गई है। संबंधित गुण और प्रमेय पृष्ठ पर अनुक्रम की सीमा - मूल प्रमेय और गुण बताए गए हैं।

यह सभी देखें: