अंकगणितीय प्रगति के अंतर को कैसे दर्शाया जाता है? अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें: समाधान के सूत्र और उदाहरण

हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप-साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी तक नहीं जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, उस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे-चौड़े परिचय देकर परेशान नहीं करूंगा और सीधे मुद्दे पर आता हूं।

सबसे पहले, कुछ उदाहरण. आइए संख्याओं के कई सेट देखें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं. लेकिन असल में कुछ तो है. अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से समान संख्या में भिन्न होता है.

अपने लिए जज करें. पहला सेट बस लगातार संख्याएँ हैं, प्रत्येक अगला पिछले से एक अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पाँच है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, जड़ें पूरी तरह से मौजूद हैं। हालाँकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, और $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व बस $\sqrt(2)$ से बढ़ता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

तो: ऐसे सभी अनुक्रमों को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगला पिछले एक से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है। जिस मात्रा से संख्याओं में अंतर होता है उसे प्रगति अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

संकेतन: $\left(((a)_(n)) \right)$ स्वयं प्रगति है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण नोट्स। सबसे पहले, केवल प्रगति पर विचार किया जाता है आदेश दियासंख्याओं का क्रम: उन्हें उसी क्रम में पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। नंबरों को पुनर्व्यवस्थित या बदला नहीं जा सकता.

दूसरे, अनुक्रम स्वयं सीमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, सेट (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक सीमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप आत्मा में कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद दीर्घवृत्त यह संकेत देता प्रतीत होता है कि अभी कुछ और संख्याएँ आने वाली हैं। उदाहरण के लिए, असीमित रूप से अनेक। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ या घट सकती है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - वही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। यहां घटती प्रगति के उदाहरण दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। अंकगणितीय प्रगति को कहा जाता है:

1. यदि प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा है तो बढ़ रहा है;
2. घट रहा है यदि, इसके विपरीत, प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम भी हैं - उनमें समान दोहराई जाने वाली संख्या शामिल है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...).

केवल एक ही प्रश्न शेष है: बढ़ती हुई प्रगति को घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहां सब कुछ केवल संख्या $d$ के चिह्न पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति अंतर:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ जाती है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए ऊपर दी गई तीन घटती प्रगतियों के लिए अंतर $d$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा) को लेना और बाईं ओर की संख्या को दाईं ओर की संख्या से घटाना पर्याप्त है। यह इस तरह दिखेगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

जैसा कि हम देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनमें क्या गुण हैं।

प्रगति नियम और पुनरावृत्ति सूत्र

चूँकि हमारे अनुक्रमों के तत्वों की अदला-बदली नहीं की जा सकती, इसलिए उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \सही\)\]

इस समुच्चय के व्यक्तिगत तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या द्वारा दर्शाया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, आदि।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी पद सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\राइटएरो ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

संक्षेप में, किसी प्रगति का $n$वां पद ज्ञात करने के लिए, आपको $n-1$वां पद और अंतर $d$ जानना होगा। इस सूत्र को आवर्ती कहा जाता है, क्योंकि इसकी सहायता से आप किसी भी संख्या को केवल पिछली संख्या (और वास्तव में, पिछली सभी) को जानकर ही ज्ञात कर सकते हैं। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक पेचीदा फॉर्मूला है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

संभवतः आप पहले ही इस सूत्र से परिचित हो चुके होंगे। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और समाधान पुस्तकों में देना पसंद करते हैं। और किसी भी समझदार गणित पाठ्यपुस्तक में यह सबसे पहले में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

कार्य क्रमांक 1. पहले तीन पद लिखिए अंकगणितीय प्रगति$\left(((a)_(n)) \right)$ अगर $((a)_(1))=8,d=-5$.

समाधान। तो, हम पहला पद $((a)_(1))=8$ और प्रगति का अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; −2)

बस इतना ही! कृपया ध्यान दें: हमारी प्रगति कम हो रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सका - पहला पद हमें पहले से ही ज्ञात है। हालाँकि, एकता को प्रतिस्थापित करके, हम आश्वस्त थे कि पहले कार्यकाल के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ सामान्य अंकगणित पर आ गया।

कार्य क्रमांक 2. किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद −40 के बराबर है और इसका सत्रहवाँ पद −50 के बराबर है।

समाधान। आइए समस्या की स्थिति को परिचित शब्दों में लिखें:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(संरेखित करें) और ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((a)_(1))+6d=-40 \\ और ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(संरेखित) \सही।\]

मैंने सिस्टम साइन इसलिए लगाया क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। आइए अब ध्यान दें कि यदि हम दूसरे समीकरण से पहले को घटा दें (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(संरेखित करें)\]

प्रगति अंतर का पता लगाना कितना आसान है! जो कुछ बचा है वह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करना है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, दूसरा और तीसरा पद ज्ञात करना बाकी है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या सुलझ गई है।

उत्तर: (−34; −35; −36)

प्रगति के उस दिलचस्प गुण पर ध्यान दें जो हमने खोजा है: यदि हम $n$वें और $m$वें पदों को लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे से घटाते हैं, तो हमें $n-m$ संख्या से गुणा की गई प्रगति का अंतर मिलता है:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति, जिसे आपको निश्चित रूप से जानने की आवश्यकता है - इसकी मदद से आप प्रगति की कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। इसका एक स्पष्ट उदाहरण यहां दिया गया है:

कार्य क्रमांक 3. एक अंकगणितीय प्रगति का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस प्रगति का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जिससे हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की कोई प्रणाली बनाने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ केवल कुछ पंक्तियों में हल हो गया था।

आइए अब एक अन्य प्रकार की समस्या पर नजर डालें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक शब्दों की खोज करना। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि कोई प्रगति बढ़ती है, और उसका पहला पद नकारात्मक है, तो देर-सबेर उसमें सकारात्मक पद भी प्रकट होंगे। और इसके विपरीत: घटती प्रगति की शर्तें देर-सबेर नकारात्मक हो जाएंगी।

साथ ही, तत्वों के क्रमबद्ध तरीके से इस क्षण को "प्रमुखता से" खोजना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, समस्याएं इस तरह से लिखी जाती हैं कि सूत्रों को जाने बिना, गणना करने में कागज की कई शीटें लग जाएंगी - हम उत्तर ढूंढते-ढूंढ़ते सो जाएंगे। इसलिए, आइए इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करें।

टास्क नंबर 4. अंकगणितीय प्रगति −38.5 में कितने ऋणात्मक पद हैं; −35.8; ...?

समाधान। तो, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, जहां से हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ती है। पहला पद नकारात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम सकारात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएंगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा.

आइए यह पता लगाने का प्रयास करें कि पदों की नकारात्मकता कितने समय तक (अर्थात् किस प्राकृत संख्या $n$ तक) बनी रहती है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n)) \lt 0\दायां तीर ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \दाएं। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\राइटएरो ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$. दूसरी ओर, हम संख्या के केवल पूर्णांक मानों से संतुष्ट हैं (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी अनुमेय संख्या निश्चित रूप से $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16 नहीं है .

टास्क नंबर 5. अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. इस प्रगति के प्रथम धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह बिल्कुल पिछली जैसी ही समस्या होगी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम प्रगति का अंतर आसानी से पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पांचवें पद को पहले और अंतर के माध्यम से व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब हम पिछले कार्य के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। आइए जानें कि हमारे अनुक्रम में किस बिंदु पर सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\दायाँ तीर ((n)_(\min ))=56. \\ \end(संरेखित करें)\]

इस असमानता का न्यूनतम पूर्णांक समाधान संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें: पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता पर आ गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमारे लिए उपयुक्त नहीं होगा।

अब जब हमने सीख लिया है कि सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं की ओर बढ़ते हैं। लेकिन पहले, आइए अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत उपयोगी संपत्ति का अध्ययन करें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं से बचाएगा। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंटेशन

आइए बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार शब्दों पर विचार करें $\left(((a)_(n)) \right)$. आइए उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति की शर्तें

मैंने विशेष रूप से मनमाने शब्दों को चिह्नित किया है $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, न कि कुछ $((a)_(1)) ,\ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$, आदि। क्योंकि जिस नियम के बारे में मैं अब आपको बताऊंगा वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान काम करता है।

और नियम बहुत सरल है. आइए आवर्ती सूत्र को याद रखें और इसे सभी चिह्नित शब्दों के लिए लिखें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? और तथ्य यह है कि पद $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ से समान दूरी पर स्थित हैं . और यह दूरी $d$ के बराबर है. $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ के बारे में भी यही कहा जा सकता है - इन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया गया है )$ समान दूरी पर $2d$ के बराबर। हम अनंत काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र द्वारा इसका अर्थ अच्छी तरह से दर्शाया गया है

प्रगति की शर्तें केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि यदि पड़ोसी संख्याएँ ज्ञात हों तो $((a)_(n))$ पाया जा सकता है:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

हमने एक उत्कृष्ट कथन निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद उसके पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा: हम अपने $((a)_(n))$ से बायीं और दायीं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ कदमों से पीछे हट सकते हैं - और सूत्र अभी भी सही रहेगा:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

वे। यदि हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं, तो हम आसानी से कुछ $((a)_(150))$ पा सकते हैं, क्योंकि $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालाँकि, व्यवहार में, कई समस्याओं को विशेष रूप से अंकगणितीय माध्य का उपयोग करने के लिए तैयार किया जाता है। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6. $x$ के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए संख्याएँ $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ लगातार पद हैं एक अंकगणितीय प्रगति (संकेतित क्रम में)।

समाधान। चूँकि ये संख्याएँ एक प्रगति के सदस्य हैं, अंकगणितीय माध्य स्थिति उनके लिए संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ को पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\begin(संरेखित करें) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह क्लासिक निकला द्विघात समीकरण. इसके मूल: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: −3; 2.

टास्क नंबर 7. $$ का मान ज्ञात करें जिसके लिए संख्याएँ $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं (उसी क्रम में)।

समाधान। आइए हम फिर से पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के माध्यम से मध्य पद को व्यक्त करें:

\[\begin(संरेखित) और 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \दाएं.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

फिर से द्विघात समीकरण. और फिर से दो जड़ें हैं: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपके सामने कुछ क्रूर आंकड़े आते हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से आश्वस्त नहीं हैं, तो एक अद्भुत तकनीक है जो आपको यह जांचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया है?

मान लीजिए कि समस्या संख्या 6 में हमें उत्तर −3 और 2 प्राप्त हुए। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन संख्याएं हैं ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$), जिन्हें एक अंकगणितीय प्रगति बनाना होगा। आइए $x=-3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\begin(संरेखित करें) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(संरेखित करें)\]

हमें संख्याएँ मिलीं −54; −2; 50 जो 52 से भिन्न है, निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी यही होता है:

\[\begin(संरेखित करें) और x=2\दायां तीर \\ और -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(संरेखित करें)\]

फिर से प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई। जो लोग चाहें वे दूसरी समस्या की जाँच स्वयं कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत कहूँगा: वहाँ भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछली समस्याओं को हल करते समय, हमें दूसरी समस्याओं का सामना करना पड़ा दिलचस्प तथ्य, जिसे याद रखने की भी आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का अंकगणितीय माध्य है, तो ये संख्याएँ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हमें समस्या की स्थितियों के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" करने की अनुमति मिलेगी। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में संलग्न हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो सीधे तौर पर पहले से ही चर्चा की गई बातों से आता है।

तत्वों का समूहीकरण और योग करना

चलिए फिर से संख्या अक्ष पर लौटते हैं। आइए हम प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान दें, जिनके बीच, शायद। कई अन्य सदस्यों के लायक है:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए "लेफ्ट टेल" को $((a)_(n))$ और $d$ के माध्यम से व्यक्त करने का प्रयास करें, और "राइट टेल" को $((a)_(k))$ और $d$ के माध्यम से व्यक्त करने का प्रयास करें। यह बहुत सरल है:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित राशियाँ बराबर हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= एस; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= एस। \end(संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम शुरुआत के रूप में प्रगति के दो तत्वों पर विचार करते हैं, जो कुल मिलाकर कुछ संख्या $S$ के बराबर हैं, और फिर इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाना) आगे बढ़ना शुरू करते हैं, तब जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$एस$. इसे ग्राफिक रूप से सबसे स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

समान इंडेंटेशन समान मात्रा देते हैं

इस तथ्य को समझने से हमें उन समस्याओं की तुलना में मौलिक रूप से उच्च स्तर की जटिलता को हल करने की अनुमति मिलेगी जिन पर हमने ऊपर चर्चा की है। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8. एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करें जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पद का उत्पाद सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए वह सब कुछ लिखें जो हम जानते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(संरेखित करें)\]

इसलिए, हम प्रगति अंतर $d$ नहीं जानते हैं। दरअसल, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(संरेखित करें)\]

टैंक में मौजूद लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट से 11 का कुल गुणक लिया। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक का विस्तार करते हैं, तो हमें मिलता है:

\[\begin(संरेखित करें) और f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद का गुणांक 11 है - यह है सकारात्मक संख्या, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं वाले एक परवलय से निपट रहे हैं:

एक द्विघात फलन का ग्राफ - परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय भुज $((d)_(0))$ के साथ अपने शीर्ष पर न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना का उपयोग करके इस भुज की गणना कर सकते हैं (सूत्र $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ है), लेकिन यह नोट करना अधिक उचित होगा वांछित शीर्ष परवलय की अक्ष समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(संरेखित) और f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित करें)\]

यही कारण है कि मुझे कोष्ठक खोलने की कोई विशेष जल्दी नहीं थी: अपने मूल रूप में, जड़ों को ढूंढना बहुत आसान था। इसलिए, भुज संख्या -66 और -6 के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

खोजा गया नंबर हमें क्या देता है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मान लेता है (वैसे, हमने कभी $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - यह हमारे लिए आवश्यक नहीं है)। साथ ही, यह संख्या मूल प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें उत्तर मिल गया। :)

उत्तर:-36

टास्क नंबर 9. संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि इन संख्याओं के साथ मिलकर वे एक अंकगणितीय प्रगति बना सकें।

समाधान। मूलतः, हमें पाँच संख्याओं का एक अनुक्रम बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पहली और अंतिम संख्या पहले से ही ज्ञात हो। आइए लुप्त संख्याओं को वेरिएबल $x$, $y$ और $z$ द्वारा निरूपित करें:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्याओं $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से समान दूरी पर है। (1)(6)$. और यदि संख्या $x$ और $z$ से हम अंदर हैं इस पलहम $y$ प्राप्त नहीं कर सकते, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति भिन्न होती है। आइए अंकगणितीय माध्य याद रखें:

अब $y$ जानकर हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है जो हमने अभी पाया है। इसीलिए

समान तर्क का उपयोग करते हुए, हम शेष संख्या ज्ञात करते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिल गए. आइए उन्हें उत्तर में उसी क्रम में लिखें जिस क्रम में उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10. संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ डालें, जो इन संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि आप जानते हैं कि डाली गई संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम का योग 56 है।

समाधान। एक और भी जटिल समस्या, जिसे, हालांकि, पिछले वाले के समान योजना के अनुसार हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हमें ठीक-ठीक पता नहीं है कि कितनी संख्याएँ डालने की आवश्यकता है। इसलिए, आइए हम निश्चितता के लिए मान लें कि सब कुछ डालने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएं होंगी, और उनमें से पहला 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, आवश्यक अंकगणितीय प्रगति को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \दाएं\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्याएँ $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ किनारों पर संख्या 2 और 42 से एक दूसरे की ओर एक कदम बढ़ाकर प्राप्त की जाती हैं, यानी. अनुक्रम के केंद्र में. और इसका मतलब ये है

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

लेकिन फिर ऊपर लिखी अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ए)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ को जानकर, हम आसानी से प्रगति का अंतर पा सकते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\दायां तीर d=5. \\ \end(संरेखित करें)\]

जो कुछ बचा है वह शेष शर्तों को ढूंढना है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9वें चरण में हम अनुक्रम के बाएँ छोर पर पहुँच जाएँगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याएँ डालनी पड़ीं: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ शब्द समस्याएँ

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूँगा। खैर, यह उतना ही सरल है: अधिकांश छात्र जो स्कूल में गणित पढ़ते हैं और ऊपर लिखा हुआ नहीं पढ़ा है, उनके लिए ये समस्याएं कठिन लग सकती हैं। फिर भी, इस प्रकार की समस्याएं गणित में ओजीई और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में सामने आती हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप इनसे परिचित हो जाएं।

टास्क नंबर 11. टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और प्रत्येक अगले महीने में उन्होंने पिछले महीने की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में टीम ने कितने भागों का उत्पादन किया?

समाधान। जाहिर है, महीने के अनुसार सूचीबद्ध भागों की संख्या बढ़ती अंकगणितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करेगी। इसके अतिरिक्त:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(संरेखित)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए, नवंबर में 202 भागों का उत्पादन किया जाएगा।

टास्क नंबर 12. बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 किताबें बाइंड कीं, और प्रत्येक अगले महीने में इसने पिछले महीने की तुलना में 4 अधिक किताबें बाइंड कीं। दिसंबर में कार्यशाला में कितनी पुस्तकें बाइंड की गईं?

समाधान। सब एक जैसे:

$\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(संरेखित)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश में हैं:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये है जवाब - दिसंबर में 260 किताबों की बाइंडिंग हो जाएगी।

ठीक है, यदि आपने यहां तक ​​पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देना चाहता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। आप सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर आगे बढ़ सकते हैं, जहां हम प्रगति के योग के सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इसके महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणामों का भी अध्ययन करेंगे।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(8\); \(ग्यारह\); \(14\)... एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (तीन जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) सकारात्मक है (\(3\) के बराबर), और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) एक ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणितीय प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है।

वे संख्याएँ जो एक क्रम बनाती हैं, कहलाती हैं सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व की संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व \(a_1=2\) शामिल हैं; \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, ऊपर प्रस्तुत जानकारी लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या (ओजीई में पेश की गई समस्याओं सहित) को हल करने के लिए पहले से ही पर्याप्त है।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। \(b_5\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले नकारात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और हम जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व अपने पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। आइए अगले तत्व में से पिछले तत्व को घटाकर कौन सा पता लगाएं: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को उस (पहले नकारात्मक) तत्व पर पुनर्स्थापित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार तत्वों को देखते हुए: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निर्दिष्ट तत्व का मान ज्ञात करें।
समाधान:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले वाले से कितना अलग है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\).
	और अब हम जो खोज रहे हैं उसे आसानी से पा सकते हैं: \(x=5+2.5=7.5\).
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति को निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। परन्तु हम उनका अर्थ नहीं जानते, हमें केवल पहला तत्व ही दिया गया है। इसलिए, जो हमें दिया गया है उसका उपयोग करके, हम पहले एक-एक करके मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग ज्ञात करते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	आवश्यक राशि मिल गयी है.

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(d=7\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए महत्वपूर्ण सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणितीय प्रगति पर कई समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक बाद का तत्व पिछले एक में समान संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है ( प्रगति का अंतर)।

हालाँकि, कभी-कभी ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब "आम तौर पर" निर्णय लेना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासीवाँ तत्व \(b_(386)\) ढूँढ़ना है। क्या हमें चार \(385\) बार जोड़ना चाहिए? या कल्पना करें कि अंतिम उदाहरण में आपको पहले तिहत्तर तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। आप गिनते-गिनते थक जायेंगे...

इसलिए, ऐसे मामलों में वे चीजों को "सिर-पर-पर" हल नहीं करते हैं, बल्कि अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद का सूत्र और \(n\) प्रथम पदों के योग का सूत्र।

\(n\)वें पद का सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला पद है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) - संख्या \(n\) के साथ प्रगति का पद।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति के अंतर को जानकर, तीन सौवें या दसवें तत्व को भी तुरंत ढूंढने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) - अंतिम सारांशित पद;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस पदों का योग ज्ञात करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पदों का मान जानना होगा। हमारी प्रगति nवें पद के सूत्र द्वारा उसकी संख्या के आधार पर दी गई है (अधिक विवरण के लिए, देखें)। आइए \(n\) के स्थान पर एक तत्व रखकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		आइए अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करें।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम आवश्यक राशि की गणना आसानी से कर सकते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		उत्तर तैयार है.

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहले पदों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है (\cdot 25\ ) \(a_n\) के बजाय इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\). हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - \(n\) पहले तत्वों का आवश्यक योग;
\(a_1\) - पहला सारांशित पद;
\(d\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - कुल तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात करें: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
समाधान:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति समस्याएं

अब आपके पास लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचने की भी आवश्यकता है (गणित में यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी नकारात्मक पदों का योग ज्ञात करें: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		यह कार्य पिछले वाले के समान ही है। हम उसी चीज़ को हल करना शुरू करते हैं: सबसे पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब मैं योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करना चाहूंगा... और यहां एक छोटी सी बारीकियां उभर कर सामने आती है - हम \(n\) को नहीं जानते हैं। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्द जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता लगाएं? हमें सोचना चाहिए। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यानी आपको इस तत्व की संख्या पता करनी होगी. कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: हमारे मामले के लिए \(a_n=a_1+(n-1)d\)।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		हमें शून्य से बड़ा बनने के लिए \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस \(n\) पर होगा।
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0.3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		हम संकेतों को बदलना नहीं भूलते हुए माइनस वन को स्थानांतरित करते हैं
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		आइए गणना करें...
\(n>65,333...\)		...और यह पता चला कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम नकारात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसकी जाँच करें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		इसलिए हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ना होगा।
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		उत्तर तैयार है.

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)वें से \(42\) तत्व तक का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में आपको तत्वों का योग भी ज्ञात करना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। ऐसे मामले के लिए हमारे पास कोई फॉर्मूला नहीं है. कैसे निर्णय करें? यह आसान है - \(26\)वें से \(42\)वें तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)वें से \(42\)वें तक का योग ज्ञात करना होगा, और फिर घटाना होगा इसमें से पहले से \(25\)वें तक का योग (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने पर, हम पहले \(42\)-y तत्वों का योग ज्ञात करते हैं।
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\) तत्वों का योग।
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

उत्तर: \(S=1683\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

अथवा अंकगणित - यह एक प्रकार का क्रमबद्ध है संख्या क्रम, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख इस प्रश्न पर विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

यह किस प्रकार की प्रगति है?

प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने लायक है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या में कुछ मान जोड़ने (घटाने) से प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाता है। यह परिभाषा, जब गणितीय भाषा में अनुवादित की जाती है, तो यह रूप लेती है:

यहां मैं - क्रम संख्याश्रृंखला का तत्व ए मैं . इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या को जानकर, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन - 1)।

यानी क्रम से nवें तत्व का मान ज्ञात करने के लिए आपको अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ना चाहिए।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि का सूत्र देने से पहले, एक साधारण विशेष मामले पर विचार करना उचित है। प्रगति दी गई है प्राकृतिक संख्या 1 से 10 तक, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ पद हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

एक दिलचस्प बात पर विचार करना उचित है: चूँकि प्रत्येक पद अगले से समान मान d = 1 से भिन्न होता है, तो पहले का दसवें के साथ, दूसरे का नौवें के साथ, इत्यादि का जोड़ीवार योग समान परिणाम देगा। वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, यानी श्रृंखला के तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करने पर आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर पहुंचेंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि एक पंक्ति में सभी तत्वों का योग करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है; यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान, साथ ही शब्दों n की कुल संख्या जानने के लिए पर्याप्त है।

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में तब सोचा जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा दी गई समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग करें।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों) का योग कैसे पाया जाए, लेकिन अक्सर समस्याओं में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि m-वें से n-वें तक पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, आपको प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए। ऐसे में एम-वें प्रतिनिधित्वपद a m पहला होगा, और a n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के लिए मानक सूत्र लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, आपको इसके पदों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें पदों के मान पा सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के अंत में संख्याओं के मूल्यों को जानने के साथ-साथ यह जानने के साथ कि वे श्रृंखला में किन संख्याओं पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यह निकलेगा:

एस 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग-अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं।

सूत्र का मुख्य सार क्या है?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से " एन" .

बेशक, आपको पहला पद भी जानना होगा एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या दोहराना) पर्याप्त नहीं है। आपको इसके सार को समझने और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है। और यह भी कि सही समय पर न भूलें, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मुझें नहीं पता। और यहां कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हुआ तो मैं तुम्हें अवश्य सलाह दूँगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक पूरा करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र को देखें।

सामान्यतः सूत्र क्या है? वैसे, अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है. यह पता लगाना बाकी है कि यह क्या है नौवाँ पद.

में प्रगति सामान्य रूप से देखेंसंख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, ......

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य, एक 4- चौथा, इत्यादि। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, यदि एक सौ बीसवाँ - एस एक 120.

हम इसे सामान्य शब्दों में कैसे परिभाषित कर सकते हैं? कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि, के साथ कोईसंख्या? बहुत सरल! इस कदर:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद।अक्षर n सभी सदस्य संख्याओं को एक साथ छुपाता है: 1, 2, 3, 4, इत्यादि।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक पत्र लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और अन्य प्रगति समस्याओं का एक समूह हल करें। आगे आप खुद ही देख लेंगे.

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र में:

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला पद;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; ए 1 ; डीऔर एन. प्रगति की सभी समस्याएँ इन्हीं मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमती हैं।

nवें पद सूत्र का उपयोग किसी विशिष्ट प्रगति को लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या यह कह सकती है कि प्रगति शर्त द्वारा निर्दिष्ट है:

ए एन = 5 + (एन-1) 2.

ऐसी समस्या एक गतिरोध हो सकती है... इसमें न तो कोई श्रृंखला है और न ही कोई अंतर... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करने पर, यह समझना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 =5, और डी=2.

और यह और भी बुरा हो सकता है!) यदि हम भी वही स्थिति लें: ए एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान कोष्ठक लाओ? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए एन = 3 + 2एन.

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर ख़तरा छिपा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालाँकि वास्तव में पहला पद पाँच है... थोड़ा नीचे हम ऐसे संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति समस्याओं में एक और संकेतन है - ए एन+1. जैसा कि आपने अनुमान लगाया, यह प्रगति का "एन प्लस प्रथम" पद है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है जिसकी संख्या संख्या n से एक अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकफिर पाँचवाँ कार्यकाल ए एन+1छठे सदस्य होंगे. वगैरह।

बहुधा पदनाम ए एन+1पुनरावृत्ति सूत्रों में पाया गया. इस डरावने शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति के सदस्य को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले वाले के माध्यम से.मान लीजिए कि हमें आवर्ती सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

ए एन+1 = ए एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पाँचवाँ - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। हम बीसवें पद को तुरंत कैसे गिन सकते हैं? एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं है!) जब तक हमें 19वाँ ​​पद नहीं मिल जाता, हम 20वाँ पद नहीं गिन सकते। यह आवर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। आवर्ती के माध्यम से ही कार्य करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र है पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। क्रम में संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना किए बिना।

अंकगणितीय प्रगति में, आवर्ती सूत्र को नियमित सूत्र में बदलना आसान है। लगातार पदों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला पद खोजें एक 1, सूत्र को उसके सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। राज्य विज्ञान अकादमी में अक्सर ऐसे कार्य सामने आते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है। यदि 1 =3 और d=1/6 है तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर हल किया जा सकता है। जोड़ें और जोड़ें... एक या दो घंटे।)

और फॉर्मूले के मुताबिक समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा. आप इसे समयबद्ध कर सकते हैं।) आइए निर्णय लें।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 =3, डी=1/6.यह पता लगाना बाकी है कि बराबर क्या है एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. तो हम लिखते हैं:

कृपया ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं एक सौ इक्कीस नंबर.ये हमारा होगा एन।यही मतलब है एन= 121 हम आगे सूत्र में कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। हम सभी संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

इतना ही। उतनी ही तेजी से कोई पांच सौ दसवां पद, और हजार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनअक्षर की अनुक्रमणिका में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम गिनते हैं।

मैं आपको बात याद दिला दूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईअंकगणितीय प्रगति पद उसके नंबर से " एन" .

आइए समस्या को और अधिक चालाकी से हल करें। आइए निम्नलिखित समस्या से परिचित हों:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए, यदि a 17 =-2; d=-0.5.

यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं आपको पहला कदम बताऊंगा। एक अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हां हां। अपने हाथों से लिखें, सीधे अपनी नोटबुक में:

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखकर, हम समझते हैं कि हमारे पास कौन सा डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध d=-0.5,सत्रहवाँ सदस्य है... क्या यही है? यदि आप सोचते हैं कि बस इतना ही, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर पाएंगे, हाँ...

हमारे पास अभी भी एक नंबर है एन! इस शर्त ए 17 =-2छिपा हुआ दो पैरामीटर.यह सत्रहवें पद (-2) और उसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन=17.यह "ट्रिफ़ल" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाता है, और इसके बिना, ("ट्रिफ़ल" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालाँकि... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण ढंग से अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

ए 17 = ए 1 + (17-1)·(-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, आइए प्रतिस्थापित करें:

-2 = ए 1 + (17-1)·(-0.5)

मूलतः बस इतना ही। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और उसकी गणना करने के लिए बना हुआ है। उत्तर होगा: ए 1 = 6.

यह तकनीक - एक सूत्र लिखना और ज्ञात डेटा को बस प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में एक बड़ी मदद है। बेशक, आपको एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें!? इस कौशल के बिना, गणित का अध्ययन बिल्कुल भी नहीं किया जा सकता है...

एक और लोकप्रिय पहेली:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का अंतर ज्ञात करें, यदि a 1 =2; ए 15 =12.

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिख रहे हैं!)

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

आइए विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 =2; ए 15 =12; और (मैं विशेष रूप से प्रकाश डालूँगा!) एन=15. बेझिझक इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

12=2 + (15-1)डी

हम अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14 दिन

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, के लिए कार्य ए एन, ए 1और डीफैसला किया। जो कुछ बचा है वह यह सीखना है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ=3. इस सदस्य का नंबर ढूंढें.

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: ए एन और एन.लेकिन एक- यह एक संख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन...और हम प्रगति के इस सदस्य को जानते हैं! यह 99 है। हम इसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या वह है जिसे आपको खोजने की आवश्यकता है। हम प्रगति 99 के पद को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन=30.

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

चलिए फिर से सूत्र लिखते हैं. क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आंखें क्यों दी गई हैं?) क्या हम प्रगति का पहला पद देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है. आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 = -3.6.अंतर डीक्या आप श्रृंखला से बता सकते हैं? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

तो, हमने सबसे सरल काम किया। अज्ञात नंबर से निपटना बाकी है एनऔर समझ से परे संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का पद था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ तो हमें पता ही नहीं... क्या करें!? खैर, क्या करें, क्या करें... चालू करें रचनात्मक कौशल!)

हम कल्पना करनावह 117, आख़िरकार, हमारी प्रगति का एक सदस्य है। एक अज्ञात नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ, हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

पुनः हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!एक सौ डेढ़. और भिन्नात्मक संख्याएँ प्रगति में हैं हो नहीं सकता।हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? हाँ! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य. यह एक सौ पहले और एक सौ दूसरे शब्दों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात्। एक धनात्मक पूर्णांक है, तो संख्या पाई गई संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित एक कार्य:

एक अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = -4 + 6.8एन

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से निर्धारित किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... ऐसा होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र भी!वह इजाजत भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं. जो सोचता है. यह कि पहला पद शून्य से चार है, घातक रूप से गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।यह ठीक है, हम इसे अभी ढूंढ लेंगे।)

पिछली समस्याओं की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन=1इस सूत्र में:

ए 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

यहाँ! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

हम दसवें पद को इसी प्रकार देखते हैं:

ए 10 = -4 + 6.8 10 = 64

इतना ही।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा की कठिन स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए उपयोगी सूत्र भूल गए हैं। मुझे कुछ याद है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से... या एनवहाँ, या n+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र प्राप्त करना आसान है. यह बहुत सख्त नहीं है, लेकिन यह आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए निश्चित रूप से पर्याप्त है!) निष्कर्ष निकालने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाना है. विस्तृत जानकारी के लिए।

एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर पहली रेखा अंकित कीजिए। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य. और हम अंतर नोट करते हैं डीसदस्यों के बीच. इस कदर:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा पद क्या है? तीसरापद प्रथम पद प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 =ए 1 + 2 डी

आपको समझ आया? यह अकारण नहीं है कि मैं कुछ शब्दों को मोटे अक्षरों में उजागर करता हूँ। ठीक है, एक और कदम)।

चौथा पद क्या है? चौथीपद प्रथम पद प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 =ए 1 + 3 डी

यह समझने का समय आ गया है कि अंतरालों की संख्या, अर्थात्। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या को n, रिक्त स्थान की संख्याइच्छा एन-1.इसलिए, सूत्र होगा (बिना किसी बदलाव के!):

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित की कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें. लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानताएं, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में कोई चित्र सम्मिलित नहीं कर सकते...

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

तैयारी करना # तैयार होना:

1. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 2 =3; ए 5 =5.1. एक 3 खोजें.

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या को 20 सेकंड में हल किया जा सकता है... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए, यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों का उपयोग करके हल किया गया है। फर्क महसूस करो!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 =19.1; a 236 =49, 3. a 3 खोजें।

क्या, आप चित्र नहीं बनाना चाहते?) बिल्कुल! सूत्र के अनुसार बेहतर, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्ती तरीके से निर्दिष्ट किया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक गिनती करते हुए... हर कोई ऐसी उपलब्धि हासिल करने में सक्षम नहीं है।) लेकिन एनवें पद का सूत्र हर किसी के वश में है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्तों के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक और सबसे बड़े नकारात्मक शब्दों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 के बराबर है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य के बराबर है। एक 14 खोजें.

सबसे आसान काम नहीं, हां...) "उंगलियों की नोक" विधि यहां काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने होंगे और समीकरण हल करने होंगे।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

घटित? यह अच्छा है!)

सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। वैसे आखिरी टास्क में एक सूक्ष्म बात है. समस्या पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क.

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए कल्पना का तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म बिंदु, और एनवें पद के सूत्र से जुड़ी किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ वर्णित है। मेरा सुझाव है।

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

संख्या अनुक्रम की अवधारणा का तात्पर्य है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या कुछ वास्तविक मूल्य से मेल खाती है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला या तो मनमानी हो सकती है या इसमें कुछ निश्चित गुण हो सकते हैं - एक प्रगति। बाद वाले मामले में, अनुक्रम के प्रत्येक बाद के तत्व (सदस्य) की गणना पिछले वाले का उपयोग करके की जा सकती है।

अंकगणितीय प्रगति - अनुक्रम संख्यात्मक मूल्य, जिसमें इसके पड़ोसी सदस्य एक दूसरे से समान संख्या में भिन्न होते हैं (श्रृंखला के सभी तत्व, दूसरे से शुरू होकर, समान गुण रखते हैं)। यह संख्या - पिछले और बाद के पदों के बीच का अंतर - स्थिर है और इसे प्रगति अंतर कहा जाता है।

प्रगति अंतर: परिभाषा

j मानों वाले अनुक्रम पर विचार करें A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N से संबंधित है। एक अंकगणित प्रगति, इसकी परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम है, जिसमें a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – ए(जे-1) = डी. मान d इस प्रगति का वांछित अंतर है।

डी = ए(जे) – ए(जे-1).

प्रमुखता से दिखाना:

• एक बढ़ती हुई प्रगति, जिस स्थिति में d > 0. उदाहरण: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• घटती हुई प्रगति, फिर d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

अंतर प्रगति और उसके मनमाने तत्व

यदि प्रगति के 2 मनमाने शब्द ज्ञात हैं (i-th, k-th), तो किसी दिए गए अनुक्रम के लिए अंतर संबंध के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, जिसका अर्थ है d = (a(i) – a(k))/(i-k).

प्रगति का अंतर और उसका पहला पद

यह अभिव्यक्ति केवल उन मामलों में अज्ञात मान निर्धारित करने में मदद करेगी जहां अनुक्रम तत्व की संख्या ज्ञात है।

प्रगति अंतर और उसका योग

किसी प्रगति का योग उसके पदों का योग होता है। इसके पहले j तत्वों के कुल मूल्य की गणना करने के लिए, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, लेकिन तब से a(j) = a(1) + d(j – 1), फिर S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j.