Jah, jah: aritmeetiline progressioon pole sinu jaoks mänguasi :) Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemine cap-evidence ütleb mulle, et te ei tea veel, mis on aritmeetiline progressioon, aga te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade sissejuhatustega ja asun otse asja juurde.
Esiteks paar näidet. Vaatame mitut numbrite komplekti:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul mitte midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.
Otsustage ise. Esimene komplekt koosneb lihtsalt järjestikustest numbritest, millest iga järgmine on ühe võrra suurem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvuti asetsevate arvude vahe juba viis, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul on juured üldse olemas. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ja $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. ja sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).
Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse aritmeetilisteks progressioonideks. Anname range määratluse:
Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.
Tähistus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.
Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist tellitud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Numbreid ei saa ümber paigutada ega vahetada.
Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui sa kirjutad midagi vaimus (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõputu edasiminek. Ellips pärast nelja näib vihjavat, et tulemas on veel päris palju numbreid. Lõpmatult palju näiteks. :)
Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine võib suureneda või väheneda. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:
Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:
- suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;
- väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.
Lisaks on olemas nn statsionaarsed jadad - need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).
Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:
- Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine suureneb;
- Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
- Lõpuks on juhtum $d=0$ – sel juhul taandatakse kogu progressioon identsete arvude statsionaarseks jadaks: (1; 1; 1; 1; ...) jne.
Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta kaks kõrvuti asetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest numbrist vasakpoolne arv. See näeb välja selline:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Nagu näeme, osutus erinevus kõigil kolmel juhul tegelikult negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme määratlused enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas edenemist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.
Progressioonitingimused ja kordumise valem
Kuna meie jadade elemente ei saa vahetada, saab neid nummerdada:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \õige\)\]
Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistab number: esimene liige, teine liige jne.
Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberterminid seotud valemiga:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Seda valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi) teades. See on väga ebamugav, seetõttu on olemas kavalam valem, mis vähendab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Tõenäoliselt olete selle valemiga juba kohanud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja lahendusraamatutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.
Siiski soovitan teil veidi harjutada.
Ülesanne nr 1. Kirjutage üles kolm esimest terminit aritmeetiline progressioon$\left(((a)_(n)) \right)$, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.
Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progressiooni erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasak(1-1 \parem)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasak(3-1 \parem)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(joonda)\]
Vastus: (8; 3; −2)
See on kõik! Pange tähele: meie areng väheneb.
Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimene termin on meile juba teada. Ühtsust asendades olime aga veendunud, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.
Ülesanne nr 2. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on –40 ja seitsmeteistkümnes liige –50.
Lahendus. Kirjutame probleemiseisundi tuttavate sõnadega:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]
\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \õige.\]
Panin süsteemimärgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Pangem nüüd tähele, et kui lahutame teisest võrrandist esimese (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:
\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]
Nii lihtne on leida progresseerumise erinevust! Jääb üle vaid asendada leitud arv süsteemi mis tahes võrrandiga. Näiteks esimeses:
\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]
Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ja kolmas termin:
\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]
Valmis! Probleem on lahendatud.
Vastus: (-34; -35; -36)
Pange tähele meie avastatud huvitavat progressiooni omadust: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, saame progressiooni erinevuse, mis on korrutatud arvuga $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Lihtne aga väga kasulik vara, mida pead kindlasti teadma – selle abiga saad oluliselt kiirendada paljude progresseerumisprobleemide lahendamist. Siin on selle selge näide:
Ülesanne nr 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.
Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:
\[\begin(joona) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]
Kuid tingimusel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, millest saame:
\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]
Vastus: 20.4
See on kõik! Meil ei olnud vaja luua võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust - kõik lahendati vaid paari reaga.
Vaatame nüüd teist tüüpi probleeme – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete terminite otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb ja selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.
Samas pole elemente järjestikku läbides alati võimalik seda hetke “otspidi” leida. Tihti on ülesanded kirja pandud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu paberilehte – vastuse leidmise ajaks jääksime lihtsalt magama. Seetõttu proovime neid probleeme kiiremini lahendada.
Ülesanne nr 4. Mitu negatiivset liiget on aritmeetilises progressioonis −38,5; −35,8; ...?
Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kust leiame kohe vahe:
Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.
Proovime välja selgitada, kui kauaks (st millise naturaalarvuni $n$) püsib terminite negatiivsus:
\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]
Viimane rida nõuab mõningast selgitust. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest rahuldume ainult arvu täisarvu väärtustega (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), nii et suurim lubatud arv on täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16 .
Ülesanne nr 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.
See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:
Lisaks proovime väljendada viiendat liiget esimese kaudu ja erinevust standardvalemi abil:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]
Nüüd jätkame analoogselt eelmise ülesandega. Uurime välja, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]
Selle ebavõrdsuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.
Pange tähele: viimases ülesandes taandus kõik rangele ebavõrdsusele, seega valik $n=55$ meile ei sobi.
Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt uurime veel ühte väga kasulikku aritmeetilise progressiooni omadust, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid. :)
Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded
Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:
Aritmeetilise progressiooni tingimused arvteljelMärkisin konkreetselt suvalised terminid $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma teile nüüd räägin, töötab sama kõigi "segmentide" puhul.
Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde korduva valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud terminite jaoks üles:
\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]
Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:
\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]
No mis siis? Ja tõsiasi, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n)) $-st samal kaugusel . Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta – need eemaldatakse ka $((a)_(n) hulgast )$ samal kaugusel, mis võrdub $2d$. Võime jätkata lõpmatuseni, kuid tähendust illustreerib hästi pilt
Progressiooni tingimused asuvad keskpunktist samal kaugusel Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et $((a)_(n))$ võib leida, kui naaberarvud on teada:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Oleme tuletanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne tema naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Veelgi enam: me saame oma $((a)_(n))$-st vasakule ja paremale tagasi astuda mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra – ja valem jääb ikka õigeks:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Need. leiame lihtsalt mõned $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Kuid praktikas on paljud ülesanded spetsiaalselt kohandatud aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Vaata:
Ülesanne nr 6. Leia kõik $x$ väärtused, mille puhul numbrid $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ on järjestikused liikmed aritmeetiline progressioon (näidatud järjekorras).
Lahendus. Kuna need arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskelementi $x+1$ saab väljendada naaberelementidena:
\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]
See osutus klassikaliseks ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.
Vastus: −3; 2.
Ülesanne nr 7. Leidke $$ väärtused, mille puhul arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).
Lahendus. Avaldame keskmist liiget taas naaberterminite aritmeetilise keskmise kaudu:
\[\begin(joona) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]
Jälle ruutvõrrand. Ja jällegi on kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.
Vastus: 1; 6.
Kui probleemi lahendamise käigus jõuate mõne jõhkra numbrini või pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on olemas suurepärane tehnika, mis võimaldab teil kontrollida: kas oleme probleemi õigesti lahendanud?
Oletame, et ülesandes nr 6 saime vastused −3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peavad moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendame $x=-3$:
\[\begin(joonda) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]
Saime numbrid −54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:
\[\begin(joona) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]
Jällegi progressioon, aga vahega 27. Seega sai probleem õigesti lahendatud. Teise probleemi saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.
Üldiselt sattusime viimaste probleemide lahendamisel teise otsa huvitav fakt, mida tuleb ka meeles pidada:
Kui kolm arvu on sellised, et teine on esimese ja viimase aritmeetiline keskmine, moodustavad need arvud aritmeetilise progressiooni.
Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine sõna otseses mõttes "konstrueerida" probleemi tingimustest lähtuvalt vajalikud progressid. Kuid enne sellise “ehitamise” tegemist peaksime tähelepanu pöörama veel ühele faktile, mis tuleneb otseselt juba räägitust.
Elementide rühmitamine ja summeerimine
Pöördume uuesti arvtelje juurde. Märgime seal mitu progressi liiget, mille vahel ehk. on väärt paljusid teisi liikmeid:
Numbrireale on märgitud 6 elementiProovime väljendada “vasakpoolset saba” läbi $((a)_(n))$ ja $d$ ning “parem saba” läbi $((a)_(k))$ ja $d$. See on väga lihtne:
\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]
Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(joonda)\]
Lihtsamalt öeldes, kui võtta alguseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdsed mingi arvuga $S$, ja seejärel hakata nendest elementidest vastassuundades (üksteise poole või vastupidi, et eemalduda) astuma, siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige selgemalt graafiliselt kujutada:
Võrdsed taanded annavad võrdsed summad Selle fakti mõistmine võimaldab meil lahendada põhimõtteliselt kõrgema keerukusega probleeme kui need, mida eespool käsitlesime. Näiteks need:
Ülesanne nr 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.
Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:
\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]
Seega me ei tea progresseerumise erinevust $d$. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]
Nende jaoks, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja kogukordaja 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui laiendame sulgusid, saame:
\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(joonda)\]
Nagu näete, on kõrgeima liikme koefitsient 11 - see on positiivne arv, seega on meil tegelikult tegemist parabooliga, mille oksad on ülespoole:
ruutfunktsiooni graafik - parabool
Pange tähele: see parabool võtab minimaalse väärtuse oma tipus abstsissiga $((d)_(0))$. Muidugi saame selle abstsissi arvutada standardskeemi abil (seal on valem $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), kuid palju mõistlikum oleks märkida et soovitud tipp asub parabooli telje sümmeetrial, seetõttu on punkt $((d)_(0)) $ võrrandi $f\left(d \right)=0$ juurtest võrdsel kaugusel:
\[\begin(joonda) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]
Seetõttu ma sulgude avamisega eriti ei kiirustanud: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]
Mida avastatud number meile annab? Sellega omandab vajalik toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud kunagi $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Samas on see arv algse progressiooni erinevus, s.o. leidsime vastuse. :)
Vastus: −36
Ülesanne nr 9. Sisestage numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele kolm arvu, nii et need koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni.
Lahendus. Põhimõtteliselt peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistame puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel numbritest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac (1) (6) $. Ja kui numbritest $x$ ja $z$ oleme sees Sel hetkel me ei saa $y$, siis on olukord progressi otstega erinev. Meenutagem aritmeetilist keskmist:
Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast
Sarnast põhjendust kasutades leiame ülejäänud arvu:
Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse selles järjekorras, millises järjekorras need tuleb sisestada algsete numbrite vahele.
Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Ülesanne nr 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu numbrit, mis koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui teate, et sisestatud arvu esimese, teise ja viimase summa on 56.
Lahendus. Veelgi keerulisem ülesanne, mis aga lahendatakse sama skeemi järgi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, kui palju numbreid tuleb sisestada. Seetõttu oletame kindluse mõttes, et pärast kõige sisestamist on täpselt $n$ arvud, millest esimene on 2 ja viimane 42. Sel juhul saab vajaliku aritmeetilise progressiooni esitada kujul:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \parem\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Pange tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadakse numbritest 2 ja 42 servades ühe sammu võrra üksteise suunas, st . jada keskele. Ja see tähendab seda
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Kuid siis saab ülal kirjutatud väljendi ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]
Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progressi erinevuse:
\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]
Jääb üle vaid leida ülejäänud terminid:
\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]
Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - arv 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Sõnaprobleemid edenemisega
Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nii lihtne: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need probleemid tunduda rasked. Sellegipoolest ilmnevad sellised probleemid OGE-s ja matemaatika ühtsel riigieksamil, seega soovitan teil nendega tutvuda.
Ülesanne nr 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel kuul. Mitu osa tootis meeskond novembris?
Lahendus. Ilmselt tähistab kuude kaupa loetletud osade arv kasvavat aritmeetilist progressiooni. Enamgi veel:
\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]
November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Seetõttu toodetakse novembris 202 osa.
Ülesanne nr 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja igal järgneval kuul 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?
Lahendus. Kõik on sama:
$\begin(joona) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$
Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.
Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni "noore võitleja kursuse". Võite julgelt liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime edenemise summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.
Näiteks jada \(2\); \(5\); \(8\); \(üksteist\); \(14\)... on aritmeetiline progressioon, kuna iga järgnev element erineb eelmisest kolme võrra (saab eelmisest kolme liites):
Selles progressioonis on erinevus \(d\) positiivne (võrdne \(3\)) ja seetõttu on iga järgmine liige suurem kui eelmine. Selliseid progressioone nimetatakse suureneb.
Siiski võib \(d\) olla ka negatiivne arv. Näiteks, aritmeetilises progressioonis \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresseerumise erinevus \(d\) võrdub miinus kuuega.
Ja sel juhul on iga järgmine element väiksem kui eelmine. Neid progressioone nimetatakse väheneb.
Aritmeetiline progressiooni tähistus
Edenemist tähistab väike ladina täht.
Arve, mis moodustavad progressiooni, nimetatakse liikmed(või elemendid).
Neid tähistatakse sama tähega kui aritmeetilise progressiooni, kuid numbrilise indeksiga, mis on võrdne elemendi numbriga järjekorras.
Näiteks aritmeetiline progressioon \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koosneb elementidest \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja nii edasi.
Teisisõnu, progressi jaoks \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine
Põhimõtteliselt on ülaltoodud teave juba piisav peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniprobleemide lahendamiseks (kaasa arvatud OGE-s pakutavad).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(b_1=7; d=4\). Otsige üles \(b_5\).
Lahendus:
Vastus: \(b_5=23\)
Näide (OGE).
Aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: \(62; 49; 36…\) Leidke selle progressiooni esimese negatiivse liikme väärtus.
Lahendus:
|
Meile antakse jada esimesed elemendid ja teame, et see on aritmeetiline progressioon. See tähendab, et iga element erineb naabrist sama numbri võrra. Uurime välja, milline, lahutades järgmisest elemendist eelmise: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Nüüd saame taastada oma arengu (esimese negatiivse) elemendini, mida vajame. |
|
|
Valmis. Võite kirjutada vastuse. |
Vastus: \(-3\)
Näide (OGE).
Antud aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Leia tähega \(x\) tähistatud elemendi väärtus.
Lahendus:
|
|
\(x\) leidmiseks peame teadma, kui palju erineb järgmine element eelmisest ehk teisisõnu progresseerumise erinevus. Leiame selle kahe teadaoleva naaberelemendi järgi: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Ja nüüd leiame lihtsalt selle, mida otsime: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Valmis. Võite kirjutada vastuse. |
Vastus: \(7,5\).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse järgmiste tingimustega: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Leidke selle progressiooni esimese kuue liikme summa.
Lahendus:
|
Peame leidma progressiooni esimese kuue liikme summa. Kuid me ei tea nende tähendusi, meile antakse ainult esimene element. Seetõttu arvutame esmalt väärtused ükshaaval, kasutades meile antud: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Vajalik summa on leitud. |
Vastus: \(S_6=9\).
Näide (OGE).
Aritmeetilises progressioonis \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Leidke selle edenemise erinevus.
Lahendus:
Vastus: \(d=7\).
Aritmeetilise progressiooni olulised valemid
Nagu näete, saab paljusid aritmeetilise progressiooni ülesandeid lahendada lihtsalt peamise mõistmisega - et aritmeetiline progressioon on arvude ahel ja iga järgnev element selles ahelas saadakse, lisades sama arvu eelmisele ( progresseerumise erinevus).
Kuid mõnikord tuleb ette olukordi, kus "peapealt" otsustamine on väga ebamugav. Näiteks kujutage ette, et kõige esimeses näites peame leidma mitte viienda elemendi \(b_5\), vaid kolmesaja kaheksakümne kuuenda \(b_(386)\). Kas peaksime lisama neli \(385\) korda? Või kujutage ette, et eelviimases näites peate leidma esimese seitsmekümne kolme elemendi summa. Sa oled väsinud loendamisest...
Seetõttu ei lahenda nad sellistel puhkudel asju “peapeale”, vaid kasutavad aritmeetiliseks progressiooniks tuletatud spetsiaalseid valemeid. Ja peamised neist on progressiooni n-nda liikme valem ja \(n\) esimeste liikmete summa valem.
\(n\)-nda liikme valem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kus \(a_1\) on progressiooni esimene liige;
\(n\) – nõutava elemendi number;
\(a_n\) – progressi liige numbriga \(n\).
See valem võimaldab meil kiiresti leida isegi kolmesajanda või miljonilise elemendi, teades ainult esimest ja progressiooni erinevust.
Näide.
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Otsige üles \(b_(246)\).
Lahendus:
Vastus: \(b_(246)=1850\).
Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kus
\(a_n\) – viimane summeeritud liige;
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(a_n=3,4n-0,6\). Leidke selle progressiooni esimeste \(25\) liikmete summa.
Lahendus:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Esimese kahekümne viie liikme summa arvutamiseks peame teadma esimese ja kahekümne viienda liikme väärtust. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Nüüd leiame kahekümne viienda liikme, asendades \(n\) asemel kakskümmend viis. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Noh, nüüd saame lihtsalt vajaliku summa arvutada. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Vastus on valmis. |
Vastus: \(S_(25)=1090\).
Esimeste terminite summa \(n\) jaoks saate teise valemi: peate lihtsalt \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) asemel asenda selle valem \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saame:
Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kus
\(S_n\) – \(n\) esimese elemendi nõutav summa;
\(a_1\) – esimene summeeritud liige;
\(d\) – progresseerumise erinevus;
\(n\) – elementide arv kokku.
Näide.
Leidke aritmeetilise progressiooni esimeste \(33\)-ex liikmete summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lahendus:
Vastus: \(S_(33)=-231\).
Keerulisemad aritmeetilised progressiooniülesanded
Nüüd on teil kogu teave, mida vajate peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamiseks. Lõpetagem teema, kaaludes probleeme, mille puhul peate mitte ainult valemeid rakendama, vaid ka veidi mõtlema (matemaatikas võib see olla kasulik ☺)
Näide (OGE).
Leidke progressiooni kõigi negatiivsete liikmete summa: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lahendus:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ülesanne on väga sarnane eelmisele. Hakkame lahendama sama asja: kõigepealt leiame \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Nüüd tahaksin asendada \(d\) summa valemis... ja siit tuleb välja väike nüanss - me ei tea \(n\). Teisisõnu, me ei tea, kui palju termineid tuleb lisada. Kuidas teada saada? Mõelgem. Lõpetame elementide lisamise, kui jõuame esimese positiivse elemendini. See tähendab, et peate välja selgitama selle elemendi numbri. Kuidas? Kirjutame üles valemi aritmeetilise progressiooni mis tahes elemendi arvutamiseks: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meie juhtumi jaoks. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Peame \(a_n\) olema suuremad kui null. Uurime välja, mis \(n\) see juhtub. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Jagame võrratuse mõlemad pooled arvuga \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Kanname üle miinus ühe, unustamata märke vahetada |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Arvutame... |
|
|
\(n> 65 333…\) |
...ja selgub, et esimese positiivse elemendi arv on \(66\). Vastavalt sellele on viimasel negatiivsel \(n=65\). Igaks juhuks kontrollime seda. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Seega peame lisama esimesed \(65\) elemendid. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Vastus on valmis. |
Vastus: \(S_(65)=-630,5\).
Näide (OGE).
Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Leidke summa elemendist \(26\) kuni \(42\) (kaasa arvatud).
Lahendus:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Selles ülesandes peate leidma ka elementide summa, kuid alustades mitte esimesest, vaid \(26\)-ndast. Selliseks juhuks meil valemit ei ole. Kuidas otsustada? |
|
|
Meie progressiooni \(a_1=-33\) ja erinevuse \(d=4\) jaoks (lõppkokkuvõttes lisame järgmise leidmiseks eelmisele elemendile need neli). Seda teades leiame esimeste \(42\)-y elementide summa. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Nüüd esimeste \(25\) elementide summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Ja lõpuks arvutame vastuse. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Vastus: \(S=1683\).
Aritmeetilise progressiooni jaoks on veel mitu valemit, mida me selles artiklis ei käsitlenud nende vähese praktilise kasulikkuse tõttu. Siiski saate neid hõlpsalt leida.
Või aritmeetika – see on järjestamise tüüp numbrijada, mille omadusi uuritakse koolialgebra kursusel. Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa.
Mis edasiminek see on?
Enne küsimuse juurde asumist (kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat) tasub aru saada, millest jutt.
Igasugust reaalarvude jada, mis saadakse igast eelnevast arvust mingi väärtuse liitmisel (lahutamisel), nimetatakse algebraliseks (aritmeetiliseks) progressiooniks. See määratlus on matemaatilise keelde tõlgituna järgmine:
siin ma - seerianumber seeria element a i . Seega, teades ainult ühte stardinumbrit, saate hõlpsalt taastada kogu seeria. Valemis olevat parameetrit d nimetatakse progresseerumise erinevuseks.
On lihtne näidata, et vaadeldava arvude jada puhul kehtib järgmine võrdsus:
a n = a 1 + d* (n - 1).
See tähendab, et järjekorras n-nda elemendi väärtuse leidmiseks tuleks esimesele elemendile a lisada vahe d 1 n-1 korda.
Mis on aritmeetilise progressiooni summa: valem
Enne näidatud summa valemi andmist tasub kaaluda lihtsat erijuhtumit. Edasiminek on antud naturaalarvud 1 kuni 10, peate leidma nende summa. Kuna progressioonis (10) on vähe liikmeid, on võimalik ülesanne lahendada otse, st kõik elemendid järjestikku summeerida.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Tasub kaaluda üht huvitavat asja: kuna iga liige erineb järgmisest sama väärtusega d = 1, siis esimese paarikaupa liitmine kümnendaga, teine üheksandaga jne annab sama tulemuse. Tõesti:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Nagu näete, on neid summasid ainult 5, see tähendab täpselt kaks korda vähem kui seeria elementide arv. Seejärel korrutades summade arvu (5) iga summa tulemusega (11), jõuate esimeses näites saadud tulemuseni.
Kui me need argumendid üldistame, saame kirjutada järgmise avaldise:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
See avaldis näitab, et kõiki reas olevaid elemente pole üldse vaja summeerida, piisab, kui teada esimese a 1 ja viimase a n väärtust, aga ka terminite koguarvu n.
Arvatakse, et Gauss mõtles sellele võrdsusele esmakordselt, kui otsis lahendust oma kooliõpetaja antud ülesandele: summeerida esimesed 100 täisarvu.
Elementide summa m-st n-ni: valem
Eelmises lõigus toodud valem vastab küsimusele, kuidas leida aritmeetilise progressiooni (esimesed elemendid) summat, kuid sageli on ülesannetes vaja summeerida arvjada progressiooni keskel. Kuidas seda teha?
Lihtsaim viis sellele küsimusele vastata on vaadeldes järgmist näidet: olgu vaja leida liikmete summa m-ndast n-ndani. Ülesande lahendamiseks peaksite esitama progressiooni antud lõigu m-st n-ni uue arvurea kujul. Sellises m-nda esitus liige a m on esimene ja a n nummerdatakse n-(m-1). Sel juhul saadakse summa standardvalemit kasutades järgmine avaldis:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Näide valemite kasutamisest
Teades, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat, tasub kaaluda lihtsat näidet ülaltoodud valemite kasutamisest.
Allpool on numbriline jada, peaksite leidma selle liikmete summa, alustades 5-ndast ja lõpetades 12-ndaga:
Antud numbrid näitavad, et erinevus d on võrdne 3-ga. Kasutades n-nda elemendi avaldist, leiate progressiooni 5. ja 12. liikme väärtused. Selgub:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Teades vaadeldava algebralise progressiooni otstes olevate arvude väärtusi, samuti teades, milliseid numbreid seerias need hõivavad, saate kasutada eelmises lõigus saadud summa valemit. Selgub:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Väärib märkimist, et selle väärtuse võib saada erinevalt: esmalt leidke standardvalemi abil esimese 12 elemendi summa, seejärel arvutage sama valemi abil esimese 4 elemendi summa, seejärel lahutage esimene summast teine.
Mis on valemi põhiolemus?
See valem võimaldab teil leida ükskõik milline TEMA NUMBRI JÄRGI " n" .
Loomulikult peate teadma ka esimest terminit a 1 ja progresseerumise erinevus d, ilma nende parameetriteta ei saa te konkreetset edenemist üles kirjutada.
Selle valemi päheõppimisest (või nutmisest) ei piisa. Peate mõistma selle olemust ja rakendama valemit erinevates probleemides. Ja ka õigel hetkel mitte unustada, jah...) Kuidas mitte unustada- Ma ei tea. Ja siin kuidas meeles pidada Vajadusel annan kindlasti nõu. Neile, kes lõpetavad õppetunni lõpuni.)
Niisiis, vaatame aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemit.
Mis on valem üldiselt? Muide, vaadake, kui te pole seda lugenud. Seal on kõik lihtne. Jääb üle välja mõelda, mis see on n-s tähtaeg.
Edasiminek sisse üldine vaade saab kirjutada numbrite jadana:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- tähistab aritmeetilise progressiooni esimest liiget, a 3- kolmas liige, a 4- neljas ja nii edasi. Kui meid huvitab viies ametiaeg, siis oletame, et me töötame sellega a 5, kui saja kahekümnendik - s a 120.
Kuidas me saame seda üldiselt määratleda? ükskõik milline aritmeetilise progressiooni termin, koos ükskõik milline number? Väga lihtne! Nagu nii:
a n
Seda see on aritmeetilise progressiooni n-s liige. Täht n peidab korraga kõik liikmenumbrid: 1, 2, 3, 4 jne.
Ja mida selline rekord meile annab? Mõelda vaid, numbri asemel kirjutasid nad üles tähe...
See tähistus annab meile võimsa tööriista aritmeetilise progressiooniga töötamiseks. Märke kasutamine a n, leiame kiiresti ükskõik milline liige ükskõik milline aritmeetiline progressioon. Ja lahendage hulk muid edenemisprobleeme. Edasi näete ise.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemis:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmeetilise progressiooni esimene liige;
n- liikme number.
Valem ühendab mis tahes edenemise põhiparameetrid: a n; a 1; d Ja n. Kõik progresseerumisprobleemid keerlevad nende parameetrite ümber.
N-nda termini valemit saab kasutada ka konkreetse progressi kirjutamiseks. Näiteks võib probleem öelda, et edenemist määrab tingimus:
a n = 5 + (n-1) 2.
Selline probleem võib olla ummiktee... Ei ole ei seeriat ega vahet... Aga kui võrrelda tingimust valemiga, siis on lihtne aru saada, et selles progressis a 1 = 5 ja d = 2.
Ja see võib olla veelgi hullem!) Kui võtame sama tingimuse: a n = 5 + (n-1) 2, Jah, avage sulud ja tooge sarnased? Saame uue valemi:
a n = 3 + 2n.
See Lihtsalt mitte üldiseks, vaid konkreetseks arenguks. Siin varitseb lõks. Mõned inimesed arvavad, et esimene termin on kolm. Kuigi tegelikkuses on esimene tähtaeg viis... Natuke madalamal töötame sellise modifitseeritud valemiga.
Progressiooniprobleemides on veel üks tähis - a n+1. See on, nagu arvasite, progresseerumise termin "n pluss esimene". Selle tähendus on lihtne ja kahjutu.) See on progressiooni liige, mille arv on arvust n ühe võrra suurem. Näiteks kui mõnes probleemis me võtame a n siis viies ametiaeg a n+1 saab kuuendaks liikmeks. Jne.
Enamasti tähistus a n+1 leitud kordumise valemites. Ärge kartke seda hirmutavat sõna!) See on lihtsalt viis aritmeetilise progressiooni liikme väljendamiseks eelmise kaudu. Oletame, et meile antakse sellel kujul aritmeetiline progressioon, kasutades korduvat valemit:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Neljas – läbi kolmanda, viies – läbi neljanda jne. Kuidas me saame kohe lugeda näiteks kahekümnendat liiget? a 20? Aga pole mingit võimalust!) Kuni 19. ametiaega pole teada, ei saa me 20ndat lugeda. See on põhimõtteline erinevus korduva valemi ja n-nda liikme valemi vahel. Korduvad töötab ainult läbi eelmine termin ja n-nda liikme valem on läbi esiteks ja lubab kohe leida mõni liige tema numbri järgi. Ilma tervet arvujada järjekorras välja arvutamata.
Aritmeetilises progressioonis on korduvat valemit lihtne tavaliseks muuta. Loendage järjestikuste terminite paar, arvutage erinevus d, leida vajadusel esimene termin a 1, kirjutage valem selle tavapärasel kujul ja töötage sellega. Riigi Teaduste Akadeemias tuleb selliseid ülesandeid sageli ette.
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi rakendamine.
Kõigepealt vaatame valemi otsest rakendamist. Eelmise tunni lõpus tekkis probleem:
Antakse aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.
Seda ülesannet saab lahendada ilma valemiteta, lihtsalt aritmeetilise progressiooni tähenduse põhjal. Lisa ja lisa... Tund või kaks.)
Ja valemi järgi võtab lahendus vähem kui minuti. Saate seda ajastada.) Otsustame.
Tingimustes on kõik andmed valemi kasutamiseks: a 1 = 3, d = 1/6. Jääb üle välja mõelda, mis on võrdne n. Pole probleemi! Me peame leidma a 121. Nii et me kirjutame:
Palun pane tähele! Indeksi asemel n ilmus konkreetne arv: 121. Mis on üsna loogiline.) Meid huvitab aritmeetilise progressiooni liige number sada kakskümmend üks. See on meie oma n. See on tähendus n= 121 asendame sulgudes oleva valemiga. Asendame kõik arvud valemis ja arvutame:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23
See on kõik. Sama kiiresti võib leida viissada kümnenda liikme ja tuhande kolmanda liikme. Panime selle asemele n soovitud number tähe indeksis " a" ja sulgudes ja me loeme.
Lubage mul teile meelde tuletada: see valem võimaldab teil leida ükskõik milline aritmeetilise progressiooni liige TEMA NUMBRI JÄRGI " n" .
Lahendame probleemi kavalamal moel. Tutvume järgmise probleemiga:
Leidke aritmeetilise progressiooni esimene liige (a n), kui a 17 =-2; d = -0,5.
Kui teil on raskusi, ütlen teile esimese sammu. Pane kirja aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Jah Jah. Kirjutage oma kätega otse märkmikusse:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ja nüüd, vaadates valemi tähti, saame aru, millised andmed meil on ja mis puuduvad? Saadaval d = -0,5, on seitsmeteistkümnes liige... Kas see on see? Kui arvate, et see on nii, siis te ei lahenda probleemi, jah...
Meil on number alles n! Seisundis a 17 =-2 peidetud kaks parameetrit. See on nii seitsmeteistkümnenda liikme väärtus (-2) kui ka selle arv (17). Need. n = 17. See “pisiasi” libiseb sageli peast mööda ja ilma selleta (ilma “pisiasjata”, mitte peata!) ei saa probleemi lahendada. Kuigi... ja ka ilma peata.)
Nüüd saame lihtsalt rumalalt oma andmed valemiga asendada:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh jah, a 17 me teame, et see on -2. Olgu, asendame:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
See on põhimõtteliselt kõik. Jääb üle valemist väljendada aritmeetilise progressiooni esimene liige ja see arvutada. Vastus on järgmine: a 1 = 6.
See tehnika – valemi üleskirjutamine ja lihtsalt teadaolevate andmete asendamine – on suureks abiks lihtsate ülesannete puhul. No muidugi peab saama muutujat valemist väljendada, aga mis teha!? Ilma selle oskuseta ei pruugi matemaatikat üldse õppida...
Teine populaarne mõistatus:
Leia aritmeetilise progressiooni erinevus (a n), kui a 1 =2; a 15 = 12.
Mida me teeme? Teid üllatab, me kirjutame valemit!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Mõelgem sellele, mida me teame: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (eriti tõstan esile!) n = 15. Asendage see julgelt valemiga:
12=2 + (15-1)d
Teeme aritmeetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
See on õige vastus.
Niisiis, ülesanded a n, a 1 Ja d otsustanud. Jääb üle vaid õppida, kuidas numbrit leida:
Arv 99 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 =12; d=3. Leidke selle liikme number.
Asendame meile teadaolevad kogused n-nda liikme valemiga:
a n = 12 + (n-1) 3
Esmapilgul on siin kaks tundmatut kogust: a n ja n. Aga a n- see on mingi arvuga progressi liige n...Ja me teame seda progressi liiget! See on 99. Me ei tea selle numbrit. n, Nii et see number on see, mida peate leidma. Asendame progressiooni liikme 99 valemiga:
99 = 12 + (n-1) 3
Väljendame valemist n, arvame. Saame vastuse: n = 30.
Ja nüüd probleem samal teemal, kuid loomingulisem):
Määrake, kas arv 117 on aritmeetilise progressiooni liige (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Kirjutame valemi uuesti. Mis, parameetreid pole? Hm... Miks meile antakse silmad?) Kas me näeme edenemise esimest liiget? Me näeme. See on -3,6. Võite julgelt kirjutada: a 1 = -3,6. Erinevus d Kas saate sarjast öelda? See on lihtne, kui teate, mis vahe on aritmeetilisel progressioonil:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Niisiis, me tegime kõige lihtsamat asja. Jääb üle tegeleda tundmatu numbriga n ja arusaamatu arv 117. Eelmises ülesandes oli vähemalt teada, et see oli progressiooni tähtaeg. Aga siin me isegi ei tea... Mida teha!? Noh, mida teha, mida teha... Lülitage sisse Loomingulised oskused!)
Meie oletada et 117 on lõppude lõpuks meie progressi liige. Tundmatu numbriga n. Ja nagu eelmises ülesandes, proovime seda numbrit leida. Need. kirjutame valemi (jah, jah!)) ja asendame oma numbrid:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Jällegi väljendame valemistn, loeme ja saame:
Oih! Number selgus murdosa! Sada üks ja pool. Ja murdarvud progressioonides ei saa olla. Millise järelduse saame teha? Jah! Number 117 ei ole meie progressi liige. See on kuskil saja esimese ja saja teise termini vahel. Kui number osutus loomulikuks, s.t. on positiivne täisarv, siis oleks arv leitud arvuga progressiooni liige. Ja meie puhul on vastus probleemile järgmine: Ei.
GIA pärisversioonil põhinev ülesanne:
Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:
a n = -4 + 6,8n
Leidke progressiooni esimene ja kümnes liige.
Siin on edenemine seatud ebatavaliselt. Mingi valem... Juhtub.) Kuid see valem (nagu ma eespool kirjutasin) - ka aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem! Ta lubab ka leidke progressiooni mõni liige selle numbri järgi.
Otsime esimest liiget. See, kes mõtleb. et esimene liige on miinus neli, on saatuslikult eksinud!) Kuna ülesande valemit on muudetud. Aritmeetilise progressiooni esimene liige selles peidetud. Pole hullu, me leiame selle kohe.)
Nii nagu eelmistes probleemides, asendame n = 1 sellesse valemisse:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Siin! Esimene liige on 2,8, mitte -4!
Kümnendat terminit otsime samamoodi:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
See on kõik.
Ja nüüd neile, kes on neid ridu lugenud, lubatud boonus.)
Oletame, et riigieksami või ühtse riigieksami keerulises lahinguolukorras olete unustanud aritmeetilise progressiooni n-nda liikme kasuliku valemi. Midagi ma mäletan, aga kuidagi ebakindlalt... Või n seal või n+1 või n-1... Kuidas olla!?
Rahune! Seda valemit on lihtne tuletada. See ei ole väga range, kuid kindlasti piisab enesekindluseks ja õigeks otsuseks!) Järelduste tegemiseks piisab, kui meeles pidada aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja varuda paar minutit aega. Peate lihtsalt pildi joonistama. Selguse huvides.
Joonistage numbrijoon ja märkige sellele esimene. teine, kolmas jne. liikmed. Ja me märkame erinevust d liikmete vahel. Nagu nii:
Vaatame pilti ja mõtleme: millega võrdub teine liige? Teiseks üks d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mis on kolmas termin? Kolmandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kaks d.
a 3 =a 1 + 2 d
Kas saad aru? Pole asjata, et ma tõstan mõned sõnad paksus kirjas esile. Olgu, veel üks samm).
Mis on neljas termin? Neljandaks tähtaeg võrdub esimese terminiga pluss kolm d.
a 4 =a 1 + 3 d
On aeg mõista, et lünkade arv, s.o. d, Alati ühe võrra vähem kui otsitava liikme arv n. See tähendab, et numbrile n, tühikute arv tahe n-1. Seetõttu on valem (ilma variatsioonideta!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Üldiselt on visuaalsetest piltidest palju abi paljude matemaatikaülesannete lahendamisel. Ärge jätke pilte tähelepanuta. Aga kui pilti on raske joonistada, siis... ainult valem!) Lisaks võimaldab n-nda liikme valem ühendada lahendusega kogu võimsa matemaatika arsenali - võrrandid, võrratused, süsteemid jne. Te ei saa võrrandisse pilti lisada...
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.
Soojenduseks:
1. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Leia 3.
Vihje: pildi järgi saab probleemi lahendatud 20 sekundiga... Valemi järgi selgub keerulisem. Kuid valemi valdamiseks on see kasulikum.) Jaotises 555 on see probleem lahendatud nii pildi kui ka valemi abil. Tunneta erinevust!)
Ja see pole enam soojendus.)
2. Aritmeetilises progressioonis (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Leidke 3 .
Mis, sa ei taha pilti joonistada?) Muidugi! Valemi järgi parem, jah...
3. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle progressiooni saja kahekümne viies liige.
Selles ülesandes täpsustatakse edenemist korduval viisil. Aga saja kahekümne viienda liikmeni lugedes... Mitte igaüks pole selliseks vägiteoks võimeline.) Aga n-nda liikme valem on igaühe võimuses!
4. Antud aritmeetiline progressioon (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Leidke progresseerumise väikseima positiivse liikme arv.
5. Leia vastavalt ülesande 4 tingimustele progressi väikseima positiivse ja suurima negatiivse liikme summa.
6. Kasvava aritmeetilise progressiooni viienda ja kaheteistkümnenda liikme korrutis võrdub -2,5 ning kolmanda ja üheteistkümnenda liikme summa on võrdne nulliga. Leidke 14.
Pole just kõige lihtsam ülesanne, jah...) "Sõrmeotsa" meetod siin ei tööta. Peate kirjutama valemeid ja lahendama võrrandeid.
Vastused (segaduses):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Juhtus? See on tore!)
Kas kõik ei õnnestu? Juhtub. Muide, viimases ülesandes on üks peen punkt. Probleemi lugemisel tuleb olla ettevaatlik. Ja loogika.
Kõigi nende probleemide lahendust käsitletakse üksikasjalikult jaotises 555. Neljanda jaoks on fantaasia element ja kuuenda jaoks peen punkt ning üldised lähenemisviisid probleemide lahendamiseks, mis hõlmavad n-nda liikme valemit - kõike kirjeldatakse. Ma soovitan.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Arvujada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla kas suvaline või omada teatud omadusi – progressiooni. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.
Aritmeetiline progressioon – jada arvväärtusi, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama numbri võrra (kõikidel seeria elementidel, alates 2.-st, on sarnane omadus). See arv – eelmise ja järgneva termini erinevus – on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.
Progressi erinevus: määratlus
Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuulub naturaalarvude hulka N. Aritmeetika progressioon on oma definitsiooni järgi jada , milles a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Väärtus d on selle progresseerumise soovitud erinevus.
d = a(j) – a(j-1).
Esiletõstmine:
- Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progresseerumine väheneb, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Erinevuste progresseerumine ja selle suvalised elemendid
Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab antud jada erinevuse määrata seose alusel:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, mis tähendab d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg
See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.
Progressi vahe ja selle summa
Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage sobivat valemit:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.