В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?
Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.
Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
- Раскрыть скобки, если они есть;
- Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
- Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
- Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .
Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:
- Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
- Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.
А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.
Примеры решения уравнений
Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.
Решаются такие конструкции примерно одинаково:
- Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
- Затем свести подобные
- Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.
Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.
В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».
Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.
Схема решения простейших линейных уравнений
Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:
- Раскрываем скобки, если они есть.
- Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
- Приводим подобные слагаемые.
- Разделяем все на коэффициент при «иксе».
Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.
Решаем реальные примеры простых линейных уравнений
Задача №1
На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:
Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]
Вот мы и получили ответ.
Задача №2
В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:
Приведем подобные:
При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.
Задача №3
Третье линейное уравнение уже интересней:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:
Выполняем второй уже известный нам шаг:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Посчитаем:
Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]
Что необходимо помнить при решении линейных уравнений
Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:
- Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
- Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.
Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.
Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.
Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.
Решение сложных линейных уравнений
Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.
Пример №1
Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
Теперь займемся уединением:
\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]
Приводим подобные:
Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
\[\varnothing \]
или корней нет.
Пример №2
Выполняем те же действия. Первый шаг:
Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
Приводим подобные:
Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
\[\varnothing \],
либо корней нет.
Нюансы решения
Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.
Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:
Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.
И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.
Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:
Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.
Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.
Решение ещё более сложных линейных уравнений
То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.
Задача №1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]
Давайте перемножим все элементы в первой части:
Давайте выполним уединение:
Приводим подобные:
Выполняем последний шаг:
\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]
Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.
Задача №2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:
А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]
Приводим подобные слагаемые:
Мы вновь получили окончательный ответ.
Нюансы решения
Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.
Об алгебраической сумме
На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.
Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.
В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.
Решение уравнений с дробью
Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:
- Раскрыть скобки.
- Уединить переменные.
- Привести подобные.
- Разделить на коэффициент.
Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.
Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:
- Избавиться от дробей.
- Раскрыть скобки.
- Уединить переменные.
- Привести подобные.
- Разделить на коэффициент.
Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.
Пример №1
\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]
Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]
Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]
Теперь раскроем:
Выполняем уединение переменной:
Выполняем приведение подобных слагаемых:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]
Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.
Пример №2
\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]
Здесь выполняем все те же действия:
\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]
\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]
Задача решена.
Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.
Ключевые моменты
Ключевые выводы следующие:
- Знать алгоритм решения линейных уравнений.
- Умение раскрывать скобки.
- Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
- Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.
Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!
Ученые изучили ритмы активности мозга и определили тот, который лучше всего подходит для творческого озарения и поиска полезных идей
Ученые изучили ритмы активности мозга и определили тот, который лучше всего подходит для творческого озарения и поиска полезных идей.
Есть. Спать. Решать проблемы. Повторить. Скорее всего, не считая ночного сна, вы тратите большую часть своего времени на решение разнообразных проблем - особенно на работе.
Не то чтобы это было плохо. Многие из лучших предпринимателей мира, от Сары Блейкли до Ричарда Брэнсона, обязаны своим успехом способности обнаруживать проблемы (в данном случае - неудовлетворенные потребности потребителей) и предлагать решения.
Но какой бы важной частью нашей жизни не было решение проблем, это все-таки стресс, и некоторые люди, кажется, справляются с ним лучше, чем другие.
Поэтому тем, кто хочет стать успешнее в этой игре, можно попробовать кое-что новое: искать решения во сне . Буквально. Это называется «поймать свой тета-ритм» . Нет, речь не о самогипнозе или медитации: это чистая наука, и она работает.
Но давайте для начала разберемся:
Что такое ритмы головного мозга?
Как объясняет преподаватель Нед Херрманн, это ритмы, которым подчиняется электрическая активность мозга . В зависимости от вашего уровня активности можно выделить четыре различных ритма . Перечислим их в порядке уменьшения частоты волны.
- В периоды максимальной активности (например, во время важного собеседования) ваш мозг работает в бета-ритме .
- Когда вы расслаблены, - например, только что завершили большой проект и можете наконец выдохнуть, - мозг переключается на альфа-ритм .
- Теперь забежим вперед: четвертый ритм обозначается буквой «дельта» и фиксируется, когда вы находитесь в глубоком сне.
Мы пропустили третий этап, тета-ритм, потому что именно он лучше всего подходит для решения проблем. Херрманн говорит:
«Люди, которые много времени проводят за рулем, часто приходят к хорошим идеям именно в эти периоды, когда находятся в тета-ритме... Такое может случиться и в душе или ванне, и даже во время бритья или расчесывания волос. Это состояние, при котором решение задачи становятся настолько автоматическим, что вы можете мысленно абстрагироваться от нее. При тета-ритме часто кажется, что поток мыслей ничем не ограничен - ни внутренней цензурой, ни чувством вины».
Мозг приходит в это состояние, в том числе и во время засыпания или пробуждения, когда вы балансируете между бодрствованием и глубоким сном. Херрманн объясняет:
«Во время пробуждения мозг может поддерживать тета-ритм в течение длительного периода, скажем, от 5 до 15 минут, и это время можно использовать, чтобы в свободном режиме поразмыслить о вчерашних событиях или о том, что предстоит сделать в новом дне. Этот период может быть весьма продуктивным и принести много значимых и творческих идей».
Есть ли реальные доказательства того, что это работает?
Ловить момент, когда ваш мозг готов подарить вам лучшие идеи, - техника, которой успешные люди следуют уже сотни лет.
Художники, писатели и великие мыслители давно заметили, что те моменты, когда мы «клюем носом» - то есть именно тогда, когда в головном мозге преобладает тета-ритм, - лучшее время для пробуждения творческих способностей.
Привычку решать сложные задачи в полусне имели Альберт Эйнштейн и Томас Эдисон. Быстрый, творческий ум создан для решения проблем, и именно поэтому даже краткое размышление о задачах нового дня рано утром, пока вы еще находитесь в этом состоянии (или даже ночью, когда вы начинаете засыпать), может принести удивительные результаты. То, что сработало для Эйнштейна, может сработать и для вас, - хотя мы не обещаем, что бы станете автором новой теории относительности.
Как же использовать свой тета-ритм?
Это займет некоторое время. Но если обращаться к этой практике регулярно, у вас появится полезная привычка, которая поднимет вашу производительность на новый уровень. Вот что для этого нужно:
1. Выберите задачу
Утром, когда вы уже начали просыпаться, но ваши глаза еще закрыты, а мозг еще витает в полусне, вспомните о самой насущной проблеме или задаче из тех, с которыми вам придется столкнуться сегодня. Может быть, это будет каверзный разговор, важные переговоры с клиентом, составление отчета или разработка новой маркетинговой кампании. Но сколько бы задач ни витало в вашем уме, вы должны выбрать одну - и дать мозгу над ней потрудиться.
Не пытайтесь как-то направлять или ограничивать свои мысли, только следите за тем, чтобы они не уходили слишком далеко от заданной темы. Скорее всего, ваш мозг бессознательно начнет подбирать решение.
Часто в результате вы получите пару полезных идей. Иногда - даже гениальное озарение. Скорее всего, поначалу вы будете забывать воспользоваться этим методом каждый день, но со временем он станет еще одной привычкой, частью ваших утренних ритуалов.
2. Делайте заметки
Возможно, самым неприятным моментом в решении проблем методом тета-ритма для вас станет то, что вы будете забывать эти вдохновенные идеи, как только ваша голова оторвется от подушки. Вы будете терзать свой мозг в душе, пытаясь извлечь из него блестящий план из трех пунктов, который только что мысленно набросали. Вот почему нужно записывать свои решения сразу же, как только вы достаточно проснетесь, чтобы открыть глаза.
Хватайте смартфон (он же все равно заряжается у изголовья, не так ли?) и сразу записывайте ваши мысли - текстом или на диктофон. Не теряйте времени. Ограничьтесь ключевыми словами, описаниями и фразами, которые подтолкнут вашу память позже, когда вы будете готовы использовать эту информацию.
Дополнительное преимущество: синий свет экрана телефона поможет вам проснуться. А если вы хотите прибегнуть к тому же методу вечером, в процессе засыпания, лучше использовать ручку и бумагу - так искусственный свет не нарушит ваш сон.
3. Анализируйте опыт
Ведите журнал своих «тета-мыслей», - со временем это поможет вам найти типичные решения и сферы их применения. Вы можете обнаружить, что для вас этот метод наиболее эффективен при решении творческих задач, или заметить, что он дает вам преимущество в общении с людьми или планировании. Это поможет понять, какие задачи стоит решать с помощью тета-ритма в будущем.
Вдохновение может прийти откуда угодно.
Но то же самое верно и для препятствий.
«Тета-мышление» использует универсальную способность мозга к решению задач так, чтобы вы могли вспомнить эти решения и использовать их. Часто оно помогает обойти очередную помеху на пути или преодолеть разрыв между полусырой идеей и действительно полезным решением, и почему бы не воспользоваться таким преимуществом? Для этого даже не придется вставать с постели! опубликовано
Как научиться решать простые и сложные уравнения
Уважаемые родители!
Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для многих смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью становится непрерывное образование, что требует базовой общешкольной подготовки, в том числе и математической.
В начальной школе закладываются не только знания по основным темам, но и развивается логическое мышление, воображение и пространственные представления, а также формируется интерес к данному предмету.
Соблюдая принцип преемственности, мы сделаем упор на важнейшую тему, а именно «Взаимосвязь компонентов действий при решении составных уравнений».
С помощью данного урока можно без труда научиться решать усложненные уравнения. На уроке вы подробно познакомитесь с пошаговой инструкцией решения усложненных уравнений.
Многих, родителей ставит в тупик вопрос - как же заставить детей научиться решать простые и сложные уравнения. Если уравнения простые - это еще пол беды, но ведь бывают и сложные - например интегральные. Кстати, для сведения, есть и такие уравнения, над решением которых бьются лучшие умы нашей планеты и за решение которых выдаются очень весомые денежные премии. Например, если вспомнить Перельмана и невостребованную им денежную премию в размере нескольких миллионов.
Однако вернемся для начала к простым математическим уравнениям и повторим виды уравнений и названия компонентов. Небольшая разминка:
_________________________________________________________________________
РАЗМИНКА
Найди лишнее число в каждом столбике:
2) Какого слова не хватает в каждом столбике?
3) Соедините слова из первого столбика со словами из 2 столбика.
«Уравнение» «Равенство»
4) Как вы объясните, что такое «равенство»?
5) А «уравнение»? Это равенство? Что в нем особенного?
слагаемое сумма
уменьшаемое разность
вычитаемое произведение
множитель равенство
делимое
уравнение
Вывод: Уравнение - это равенство с переменной, значение которой надо найти.
_______________________________________________________________________
Предлагаю каждой группе написать на листке фломастером уравнения: (на доску)
| 1 группе - с неизвестным слагаемым; 2 группе - с неизвестным уменьшаемым; 3 группе - с неизвестным вычитаемым; 4 группе - с неизвестным делителем; 5 группе - с неизвестным делимым; 6 группе - с неизвестным множителем. | 1 группа х + 8 = 15 2 группа х - 8 = 7 3 группа 48 - х = 36 4 группа 540: х = 9 5 группа х: 15 = 9 6 группа х * 10 = 360 |
Один из группы должен на математическом языке прочитать свое уравнение и прокомментировать их решение, т. е. проговорить выполняемую операцию с известными компонентами действий (алгоритм).
Вывод: Умеем решать простые уравнения всех видов по алгоритму, читать и записывать буквенные выражения.
Предлагаю решить задачу, в которой появляется новый тип уравнений.
Вывод: Познакомились с решением уравнений, в одной из частей которых содержится числовое выражение, значение которого надо найти и получить простое уравнение.
________________________________________________________________________
Рассмотрим еще один вариант уравнения, решение которого сводится к решению цепочки простых уравнений. Вот один из введения составных уравнений.
| а + в * с (х - у) : 3 2 * d + (m - n) Являются ли уравнениями записи? Почему? Как называют такие действия? Прочитайте их, называя последнее действие: | Нет. Это не уравнения, т. к. в уравнении должен быть знак «=». Выражения а + в * с - сумма числа а и произведения чисел в и с; (х - у) : 3 - частное разности чисел х и у; 2 * d + (m - n) - сумма удвоенного числа d и разности чисел m и n. |
Предлагаю каждому записать на математическом языке предложение:
Произведение разности чисел х и 4 и числа 3 равно 15.
ВЫВОД: Возникшая проблемная ситуация мотивирует постановку цели урока: научиться решать уравнения в которых неизвестный компонент является выражением. Такие уравнения являются составными уравнениями.
__________________________________________________________________________
А может нам помогут уже изученные виды уравнений? (алгоритмы)
На какое из известных уравнений похоже наше уравнение? Х * а = в
ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ ВОПРОС : Чем является выражение в левой части - суммой, разностью, произведением или частным?
(х - 4) * 3 = 15 (Произведением)
Почему? (т.к. последнее действие - умножение)
Вывод: Такие уравнения еще не рассматривались. Но можно решить, если на выражение х - 4 наложить карточку (у - игрек), и получится уравнение, которое легко можно решить, используя простой алгоритм нахождения неизвестного компонента.
При решении составных уравнений необходимо на каждом шаге осуществлять выбор действия на автоматизированном уровне, комментируя, называя компоненты действия.
| Упростить часть |
| Нет ↓ Да |
(у - 5)
*
4
=
28
у - 5
= 28: 4
у - 5 = 7
у = 5 +7
у = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (и)
Вывод: В классах с разной подготовкой эта работа может быть организована по-разному. В более подготовленных классах даже для первичного закрепления могут быть использованы выражения, в которых не два, а три и более действий, но их решение требует большего числа шагов с каждым шагом упрощая уравнение, до тех пор пока не получится простое уравнение. И каждый раз можно наблюдать, как меняется неизвестный компонент действий.
_____________________________________________________________________________
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Когда речь идёт о чём-нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два — четыре!».
А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два — четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет.
Многие правила из школьных учебников арифметики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад.
Всюду, где надо что-то считать, измерять, сравнивать, без математики не обойтись.
Трудно представить, как жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика.
Сегодня Вы окунулись в школьную жизнь, побывали в роли учеников и я предлагаю Вам, уважаемые родители, оценить свои умения по шкале.
| Мои умения | Дата и оценка |
| Компоненты действий. | |
| Составление уравнения с неизвестным компонентом. | |
| Чтение и запись выражений. | |
| Находить корень уравнения в простом уравнении. | |
| Находить корень уравнения, в одной из частей которых содержится числовое выражение. | |
| Находить корень уравнения, в которых неизвестный компонент действия является выражением. |
52. Более сложные примеры уравнений
.
Пример 1
.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 и x = 3½
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
Пример 2 .
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 - от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо - получим:
3x = 3 или x = 1
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) - ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
что невозможно.
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
6x + 10 = 2x + 18
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Пример 3 .
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Отсюда получим:
–x = –13 и x = 13.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
Бывают в жизни моменты, когда перед вами появляется, казалось бы, безвыходная ситуация, - или проблема, любое разрешение которой обещает быть не в вашу пользу. Не спешите отказываться от воплощения своей мечты, достижения поставленной цели или паниковать. Один мудрец древности сказал: «Выбери время подумать – это источник силы». Что ж, с ним трудно не согласиться, ведь разум – мощное оружие. Даже у самой сложной задачи есть десятки решений, и она находятся вне поля зрения лишь потому, что люди привыкли мыслить в определённых рамках. Чтобы решить сложную задачу, необходимо скоординировать работу сознания и подсознания – это расширит ваш «кругозор» и позволит увидеть новые возможности.
Техника «100 идей»
Для освоения техники «100 идей» вам потребуется всего лишь 1-2 часа свободного времени, удобный личный уголок, где вас никто не побеспокоит, а так же бумага и карандаш. Заранее попросите близких и знакомых не овлекать вас во время «медитации», отключите телефон и просто раслабьтесь. Вверху листа бумаги сформулируйте и запишите свой вопрос или дилемму. Пронумеруйте список от одного до 100 и приступайте к генерированию идей.
Поначалу идеи приходят одна за одной, хоть они, увы, и не новы – вы опишете все свои «козыри», среди которых умения, знакомства, связи, финансовые ресурсы, время, которые вы можете посвятить решению проблемы. Затем покажется всё же невероятным найти сотню ответов, и запнувшись на 20-30 пункте, вы почувствуете себя опустошёнными. Вас ожидает небольшая заминка, естественно образующаяся тогда, когда сознание, ходящее по замкнутому кругу, исчерпало доступные ему варианты и перебрало всё, с чем уже сталкивалось на личном опыте.
Вторая фаза вашего путешествия к своему подсознанию – это ещё 40 пунктов, когда вы всё ещё используете своё сознание, но ваши скрытые силы начинают просыпаться и открывается второе дыхание. На этом этапе вырисовывается образ вашего мышления. Вы заметите, что ваши идеи начинают повторяться, и в них присутствуют разного рода клише и установки. Ваша цель – не отмахиваться от них, а старательно записывать на бумаге, и вот почему: именно эти штампы и являются рамками, за которые вы не можете выйти и осмотреться по сторонам. Это может быть общественное мнение, недовольство начальства, неуверенность в своих силах и любые другие «репьи» в вашей психике. Заодно вы можете обнаружить свои скрытые проблемы или страхи, которые мешают вам двигаться вперёд. Этот этап потребует от вас наибольшей выдержки – ведь это совсем непросто отмахнуться от первых тридцати пунктов, явно лежащих в зоне вашего комфорта, и взяться за новые, неизвестные и потому порой пугающие нас идеи – это нормально, главное не сдавайтесь. Кроме того, эта внутренняя борьба лишь помогает перейти к третьей фазе путешествия.
Именно последние 30 пунктов откроют перед вами ящик Пандоры, ведь число 100 выбрано совсем не случайно. Именно оно позволяет вашей интуиции полностью раскрыться и удивить самого себя неожиданными «озарениями свыше» - экспромтами вашего просыпающегося подсознания, откуда идеи появляются без какой-либо обработки и фильтрации рассудком. В своих поисках вы уже отказались от логики, заметив, насколько на самом деле она квадратна, и понимаете, что ваш образ мышления лежал лишь в одной плоскости – а мир, оказывается, трёхмерный (не считая времени). Теперь, когда разум перестаёт диктовать вам, что «можно», а что «нельзя», дверь в подсознание распахивается. Вы запросто можете изобрести что-нибудь из ряда вон выходящее и на первый взгляд совершенно абсурдное. Вам даже может показаться, что не стоит записывать явно неподходящую вам идею, непонятно каким образам появившуюся в голове. Однако именно странные, подчас глупые фразы могут оказаться неочищенными алмазами. Вспомните, как люди считали Землю плоской и боялись упасть с её края, и как называли когда-то ересью идею о том, что планета круглая и вертится. Бредовые идеи могут быть поначалу непонятны вам самим, но вы почувствуете, что в них что-то есть – это послужит соломинкой, которая подскажет вам верное направление.
Может случиться и так, что, изложив такое количество идей, вы вдруг осознаете, что это вообще не было проблемой – или вы видели только верхушку айсберга, поэтому вам нужно составлять новый список для ответа совсем на другой вопрос.
Есть ещё несколько правил, которые необходимо соблюдать при работе с этой техникой. Прежде всего, список должен составляться за один заход, без перерывов – иначе ваши дремлющие гениальные идеи так и остануться дремать под грузом обыденного мышления. Во время работы не стоит перечитывать список и оценивать, сколько уже сделано и сколько ещё осталось пунктов – это вас отвлечёт, и помешает вашим мыслям естественно повторяться – а значит, не позволит вам увидеть собственные камни преткновения. Сразу же настройтесь: оценивать и критиковать свои идеи вы будете уже после составления всей сотни пунктов – а пока процесс идёт, нужно записывать любые мысли (вы ведь никому не обязаны показывать эту бумагу, если не хотите). Если работа кипит – сокращайте слова, главное чтобы вы потом смогли прочесть, что имели ввиду. Можно, конечно, воспользоваться и ноутбуком вместо карандаша и бумаги, но помните: источник электромагнитных волн, по крайней мере теоретически, мешает вашему мозгу, ауре и, если угодно, чакрам подключаться к вселенскому разуму – да и вообще здорово функционировать. Но это на личное усмотрение.
«Вкусные» бонусы техники «100 идей» - не только в возможности глубокого самоанализа и нахождения оригинальных выходов их сложных ситуаций, но и в том, что с ней вы можете разносторонне развиваться и планировать своё будущее, находить новые стимулы для саморазвития и расти над собой. Для этого на досуге поразмышляйте над ответами на нижеизложенные (и ли любые свои) темы:
- Как самовоспитать себя
- Как улучшить отношения
- Как улучшить свою жизнь
- Как заработать денег
- Как улучшить бизнес
- Как помогать людям
- Как повысить личную эффективность
- Как стать здоровее
- Дела, которые я всё время откладываю на завтра
- Дела, которые у меня получаются лучше всего
- Вещи, которые демотивируют меня
- Качества, которые я хочу развить в себе
- Вопросы, на которые мне нужно найти ответы
- Ценности, в которые я верю
- Вещи, которые я ценю в жизни
- Профессии, в которых я хочу попробовать себя
- Вещи (люди), которые меня тормозят в достижении цели
- Вещи, которые поднимают мне настроение
- Выводы, которым научила меня жизнь
- Вещи, от которых можно избавиться
- Места, где я хотел бы побывать
- Ошибки, за которые я себя (других) прощаю
- Способы мыслить креативнее
