Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2
Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим
S = = [-0,25=11,25 кв. ед
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.
Решение. Выполним построение фигуры.
Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).
Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой
Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.
Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:
кв. ед.
кв. ед.
9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции
= = 6кв. ед.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)
По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.
Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).
Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.
Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).
Следовательно, её площадь находим по формуле (3)
= =
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)
Пример 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0
доr; имеем: 1 = = [
Следовательно, 1 =
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х
Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2
Используя для нахождения площади формулу (5), получим
= . То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.
Боковые отрезки могут вырождаться в точки . Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси "иксов". А значит с пределами интегрирования всё в порядке.
Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
Если же f (x ) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox ), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f (x ) и y = φ (x ) , то площадь такой фигуры вычисляется по формуле
. (3)
Решаем задачи вместе
Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).
Пример 1. Ox ) и прямыми x = 1 , x = 3 .
Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox ).
Решение. Результат применения формулы (1):
Если то s = 1/2 ; если то s = 1/3 , и т.д.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox ) и прямой x = 4 .
Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:
.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC . При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A , а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox ). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A ) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D ). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:
Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB , если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.
Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):
.
Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс (Ox ).
Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox . Следовательно,
Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox ) и двумя соседними волнами синусоиды.
Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):
.
Найдём отдельно каждое слагаемое:
.
.
Окончательно находим площадь:
.
Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .
Решение. Выразим уравнения линий через игрек:
Площадь по формуле (2) получим как
,
где a и b - абсциссы точек A и B . Найдём их, решая совместно уравнения:
Окончательно находим площадь:
И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).
Пример 9. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами и .
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями
Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор
Тип урока : урок-лекция
Цели урока :
- воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
- развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
- образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур
Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока
В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.
Криволинейная трапеция (слайд 1 )
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс
Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)
Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая
Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)
Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f
И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:
Задание 1:
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.
Решение: (по алгоритму слайд 3 )
Начертим график функции и прямые
Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :
Самопроверка по слайду
Интеграл
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.
Запишем эти рассуждения в виде формул.
Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму
Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)
Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)
Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,
Определение:
Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм
= (щ.м.)
Формула Ньютона- Лейбница.
Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:
Sк.т. =(щ.м.)
С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
S к. т.(щ.м.)
Сравнивая эти формулы, получим:
= (щ.м.)Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.
Для удобства вычислений формулу записывают в виде:
= = (щ.м.)Задания: (щ.м.)
1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )
2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )
Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )
Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?
Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)
Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:
- Построить графики функций
- Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
- Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
- Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
- Вычислить площадь каждой из них
- Найти разность или сумму площадей
Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)
Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
- Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.