Нахождение стороны шестиугольника. Построение правильных многоугольников

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник - такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны .

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? - То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника - в шесть раз больше.

Где - сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне .
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / - // - /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Математические свойства

Особенность правильного шестиугольника - равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

Периметр правильного шестиугольника равен:

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

Шестиугольники замощают плоскость, то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений, образуя так называемый паркет.

Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) - замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета - {6,3}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.

Шестиугольный паркет является наиболее плотной упаковкой кругов на плоскости. В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки равна . В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

Правильный шестиугольник со стороной является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра можно покрыть правильным шестиугольником со стороной (лемма Пала).

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.

Некоторые сложные кристаллы и молекулы , например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.

Образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них - новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.

Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры - овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.

Памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.

Верхушки колонн образуют подобие трамплина, который начинается у подножья скалы и исчезает под поверхностью моря. Большинство колонн шестиугольные, хотя у некоторых четыре, пять, семь и восемь углов. Самая высокая колонна высотой около 12 м.

Около 50-60 миллионов лет назад, во время палеогенового периода, месторасположение Антрим подвергалось интенсивной вулканической активности, когда расплавленный базальт проникал через отложения, формируя обширные лавовые плато. По мере быстрого охлаждения происходило сокращение объёма вещества (подобное наблюдается при высыхании грязи). Горизонтальное сжатие приводило к характерной структуре шестигранных столбов.

Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник - такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны .

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника - в шесть раз больше.

Где - сторона правильного шестиугольника.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Самая известная фигура, у которой больше четырех углов - это правильный шестиугольник. В геометрии он часто используется в задачах. А в жизни именно такой вид имеют соты на срезе.

Чем он отличается от неправильного?

Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.

В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.

В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.

Какие свойства требуется знать при решении задач?

К тому, что указано выше, следует добавить:

диагонали фигуры, проведенные через центр, делят ее на шесть треугольников, которые являются равносторонними;
сторона правильного шестиугольника имеет значение, которое совпадает с радиусом описанной около него окружности;
используя такую фигуру, есть возможность заполнить плоскость, причем между ними не получится пропусков и не будет наложений.

Введенные обозначения

Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

Формулы, которые описывают фигуру

Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Задачи

№ 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.

Решение. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Последняя совпадает с ребром призмы. А она равна стороне правильного шестиугольника. То есть высота цилиндра - тоже 4 см.

Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (см 2).

Ответ . V = 150,72 см 3 .

№ 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?

Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.

Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.

Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

№ 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?

Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.

Ответ. а = 4√3 см.

Нахождение стороны шестиугольника. Построение правильных многоугольников - техническое черчение