Да, да: арифметическая прогрессия — это вам не игрушки:)
Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.
Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt{2};\ 2\sqrt{2};\ 3\sqrt{2};...$
Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число .
Судите сами. Первый набор — это просто идущие подряд числа, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Во втором случае разница между рядом стоящими числами уже равна пяти, но эта разница всё равно постоянна. В третьем случае вообще корни. Однако $2\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}$, а $3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}$, т.е. и в этом случае каждый следующий элемент просто возрастает на $\sqrt{2}$ (и пусть вас не пугает, что это число — иррациональное).
Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:
Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Сама величина, на которую отличаются числа, называется разностью прогрессии и чаще всего обозначается буквой $d$.
Обозначение: $\left({{a}_{n}} \right)$ — сама прогрессия, $d$ — её разность.
И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.
Во-вторых, сама последовательность может являться как конечной, так и бесконечной. К примеру, набор {1; 2; 3} — это, очевидно, конечная арифметическая прогрессия. Но если записать что-нибудь в духе {1; 2; 3; 4; ...} — это уже бесконечная прогрессия. Многоточие после четвёрки как бы намекает, что дальше идёт ещё довольно много чисел. Бесконечно много, например.:)
Ещё хотел бы отметить, что прогрессии бывают возрастающими и убывающими. Возрастающие мы уже видели — тот же набор {1; 2; 3; 4; ...}. А вот примеры убывающих прогрессий:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt{5};\ \sqrt{5}-1;\ \sqrt{5}-2;\ \sqrt{5}-3;...$
Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:
Определение. Арифметическая прогрессия называется:
- возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего;
- убывающей, если, напротив, каждый последующий элемент меньше предыдущего.
Кроме того, существуют так называемые «стационарные» последовательности — они состоят из одного и того же повторяющегося числа. Например, {3; 3; 3; ...}.
Остаётся лишь один вопрос: как отличить возрастающую прогрессию от убывающей? К счастью, тут всё зависит лишь от того, каков знак числа $d$, т.е. разности прогрессии:
- Если $d \gt 0$, то прогрессия возрастает;
- Если $d \lt 0$, то прогрессия, очевидно, убывает;
- Наконец, есть случай $d=0$ — в этом случае вся прогрессия сводится к стационарной последовательности одинаковых чисел: {1; 1; 1; 1; ...} и т.д.
Попробуем рассчитать разность $d$ для трёх убывающих прогрессий, приведённых выше. Для этого достаточно взять любые два соседних элемента (например, первый и второй) и вычесть из числа, стоящего справа, число, стоящее слева. Выглядеть это будет вот так:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt{5}-1-\sqrt{5}=-1$.
Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.
Члены прогрессии и рекуррентная формула
Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:
\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ {{a}_{1}},\ {{a}_{2}},{{a}_{3}},... \right\}\]
Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.
Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:
\[{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=d\Rightarrow {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d\]
Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется рекуррентной, поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:
\[{{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d\]
Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.
Тем не менее предлагаю немного потренироваться.
Задача №1. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$, если ${{a}_{1}}=8,d=-5$.
Решение. Итак, нам известен первый член ${{a}_{1}}=8$ и разность прогрессии $d=-5$. Воспользуемся только что приведённой формулой и подставим $n=1$, $n=2$ и $n=3$:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d; \\ & {{a}_{1}}={{a}_{1}}+\left(1-1 \right)d={{a}_{1}}=8; \\ & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+\left(2-1 \right)d={{a}_{1}}+d=8-5=3; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+\left(3-1 \right)d={{a}_{1}}+2d=8-10=-2. \\ \end{align}\]
Ответ: {8; 3; −2}
Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.
Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.
Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.
Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:
\[{{a}_{7}}=-40;\quad {{a}_{17}}=-50.\]
\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{7}}={{a}_{1}}+6d \\ & {{a}_{17}}={{a}_{1}}+16d \\ \end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}+6d=-40 \\ & {{a}_{1}}+16d=-50 \\ \end{align} \right.\]
Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}+16d-\left({{a}_{1}}+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & {{a}_{1}}+16d-{{a}_{1}}-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\ & d=-1. \\ \end{align}\]
Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:
\[\begin{matrix} {{a}_{1}}+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ {{a}_{1}}-6=-40; \\ {{a}_{1}}=-40+6=-34. \\ \end{matrix}\]
Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:
\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=-34-1=-35; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+2d=-34-2=-36. \\ \end{align}\]
Готово! Задача решена.
Ответ: {−34; −35; −36}
Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:
\[{{a}_{n}}-{{a}_{m}}=d\cdot \left(n-m \right)\]
Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:
Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.
Решение. Поскольку ${{a}_{5}}=8,4$, ${{a}_{10}}=14,4$, а нужно найти ${{a}_{15}}$, то заметим следующее:
\[\begin{align} & {{a}_{15}}-{{a}_{10}}=5d; \\ & {{a}_{10}}-{{a}_{5}}=5d. \\ \end{align}\]
Но по условию ${{a}_{10}}-{{a}_{5}}=14,4-8,4=6$, поэтому $5d=6$, откуда имеем:
\[\begin{align} & {{a}_{15}}-14,4=6; \\ & {{a}_{15}}=6+14,4=20,4. \\ \end{align}\]
Ответ: 20,4
Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.
Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.
При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.
Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?
Решение. Итак, ${{a}_{1}}=-38,5$, ${{a}_{2}}=-35,8$, откуда сразу находим разность:
Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.
Попробуем выяснить: до каких пор (т.е. до какого натурального числа $n$) сохраняется отрицательность членов:
\[\begin{align} & {{a}_{n}} \lt 0\Rightarrow {{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac{7}{27}\Rightarrow {{n}_{\max }}=15. \\ \end{align}\]
Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n \lt 15\frac{7}{27}$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $n\in \mathbb{N}$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.
Задача №5. В арифметической прогрессии ${{}_{5}}=-150,{{}_{6}}=-147$. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии.
Это была бы точь-в-точь такая же задача, как и предыдущая, однако нам неизвестно ${{a}_{1}}$. Зато известны соседние члены: ${{a}_{5}}$ и ${{a}_{6}}$, поэтому мы легко найдём разность прогрессии:
Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & {{a}_{5}}={{a}_{1}}+4d; \\ & -150={{a}_{1}}+4\cdot 3; \\ & {{a}_{1}}=-150-12=-162. \\ \end{align}\]
Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow {{n}_{\min }}=56. \\ \end{align}\]
Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.
Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит.
Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)
Среднее арифметическое и равные отступы
Рассмотрим несколько последовательных членов возрастающей арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$. Попробуем отметить их на числовой прямой:
Члены арифметической прогрессии на числовой прямойЯ специально отметил произвольные члены ${{a}_{n-3}},...,{{a}_{n+3}}$, а не какие-нибудь ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}}$ и т.д. Потому что правило, о котором я сейчас расскажу, одинаково работает для любых «отрезков».
А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:
\[\begin{align} & {{a}_{n-2}}={{a}_{n-3}}+d; \\ & {{a}_{n-1}}={{a}_{n-2}}+d; \\ & {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+d; \\ \end{align}\]
Однако эти равенства можно переписать иначе:
\[\begin{align} & {{a}_{n-1}}={{a}_{n}}-d; \\ & {{a}_{n-2}}={{a}_{n}}-2d; \\ & {{a}_{n-3}}={{a}_{n}}-3d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{n+3}}={{a}_{n}}+3d; \\ \end{align}\]
Ну и что с того? А то, что члены ${{a}_{n-1}}$ и ${{a}_{n+1}}$ лежат на одном и том же расстоянии от ${{a}_{n}}$. И это расстояние равно $d$. То же самое можно сказать про члены ${{a}_{n-2}}$ и ${{a}_{n+2}}$ — они тоже удалены от ${{a}_{n}}$ на одинаковое расстояние, равное $2d$. Продолжать можно до бесконечности, но смысл хорошо иллюстрирует картинка
Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра
Что это значит для нас? Это значит, что можно найти ${{a}_{n}}$, если известны числа-соседи:
\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}}}{2}\]
Мы вывели великолепное утверждение: всякий член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов! Более того: мы можем отступить от нашего ${{a}_{n}}$ влево и вправо не на один шаг, а на $k$ шагов — и всё равно формула будет верна:
\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-k}}+{{a}_{n+k}}}{2}\]
Т.е. мы спокойно можем найти какое-нибудь ${{a}_{150}}$, если знаем ${{a}_{100}}$ и ${{a}_{200}}$, потому что ${{a}_{150}}=\frac{{{a}_{100}}+{{a}_{200}}}{2}$. На первый взгляд может показаться, что данный факт не даёт нам ничего полезного. Однако на практике многие задачи специально «заточены» под использование среднего арифметического. Взгляните:
Задача №6. Найдите все значения $x$, при которых числа $-6{{x}^{2}}$, $x+1$ и $14+4{{x}^{2}}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).
Решение. Поскольку указанные числа являются членами прогрессии, для них выполняется условие среднего арифметического: центральный элемент $x+1$ можно выразить через соседние элементы:
\[\begin{align} & x+1=\frac{-6{{x}^{2}}+14+4{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=\frac{14-2{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=7-{{x}^{2}}; \\ & {{x}^{2}}+x-6=0. \\ \end{align}\]
Получилось классическое квадратное уравнение. Его корни: $x=2$ и $x=-3$ — это и есть ответы.
Ответ: −3; 2.
Задача №7. Найдите значения $$, при которых числа $-1;4-3;{{}^{2}}+1$ составляют арифметическую прогрессию (в указанном порядке).
Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:
\[\begin{align} & 4x-3=\frac{x-1+{{x}^{2}}+1}{2}; \\ & 4x-3=\frac{{{x}^{2}}+x}{2};\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6={{x}^{2}}+x; \\ & {{x}^{2}}-7x+6=0. \\ \end{align}\]
Снова квадратное уравнение. И снова два корня: $x=6$ и$x=1$.
Ответ: 1; 6.
Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?
Допустим, в задаче №6 мы получили ответы −3 и 2. Как проверить, что эти ответы верны? Давайте просто подставим их в исходное условие и посмотрим, что получится. Напомню, что у нас есть три числа ($-6{{}^{2}}$, $+1$ и $14+4{{}^{2}}$), которые должны составлять арифметическую прогрессию. Подставим $x=-3$:
\[\begin{align} & x=-3\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4{{x}^{2}}=50. \end{align}\]
Получили числа −54; −2; 50, которые отличаются на 52 — несомненно, это арифметическая прогрессия. То же самое происходит и при $x=2$:
\[\begin{align} & x=2\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4{{x}^{2}}=30. \end{align}\]
Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.
В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:
Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.
В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.
Группировка и сумма элементов
Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:
На числовой прямой отмечены 6 элементовПопробуем выразить «левый хвост» через ${{a}_{n}}$ и $d$, а «правый хвост» через ${{a}_{k}}$ и $d$. Это очень просто:
\[\begin{align} & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{k-1}}={{a}_{k}}-d; \\ & {{a}_{k-2}}={{a}_{k}}-2d. \\ \end{align}\]
А теперь заметим, что равны следующие суммы:
\[\begin{align} & {{a}_{n}}+{{a}_{k}}=S; \\ & {{a}_{n+1}}+{{a}_{k-1}}={{a}_{n}}+d+{{a}_{k}}-d=S; \\ & {{a}_{n+2}}+{{a}_{k-2}}={{a}_{n}}+2d+{{a}_{k}}-2d=S. \end{align}\]
Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:
Одинаковые отступы дают равные суммы
Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:
Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.
Решение. Запишем всё, что нам известно:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}=66; \\ & d=? \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\min . \end{align}\]
Итак, нам неизвестна разность прогрессии $d$. Собственно, вокруг разности и будет строиться всё решение, поскольку произведение ${{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}$ можно переписать следующим образом:
\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=66+d; \\ & {{a}_{12}}={{a}_{1}}+11d=66+11d; \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end{align}\]
Для тех, кто в танке: я вынес общий множитель 11 из второй скобки. Таким образом, искомое произведение представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $d$. Поэтому рассмотрим функцию $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ — её графиком будет парабола ветвями вверх, т.к. если раскрыть скобки, то мы получим:
\[\begin{align} & f\left(d \right)=11\left({{d}^{2}}+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11{{d}^{2}}+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end{align}\]
Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:
график квадратичной функции — парабола
Обратите внимание: минимальное значение эта парабола принимает в своей вершине с абсциссой ${{d}_{0}}$. Конечно, мы можем посчитать эту абсциссу по стандартной схеме (есть же формула ${{d}_{0}}={-b}/{2a}\;$), но куда разумнее будет заметить, что искомая вершина лежит на оси симметрии параболы, поэтому точка ${{d}_{0}}$ равноудалена от корней уравнения $f\left(d \right)=0$:
\[\begin{align} & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & {{d}_{1}}=-66;\quad {{d}_{2}}=-6. \\ \end{align}\]
Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:
\[{{d}_{0}}=\frac{-66-6}{2}=-36\]
Что даёт нам обнаруженное число? При нём требуемое произведение принимает наименьшее значение (мы, кстати, так и не посчитали ${{y}_{\min }}$ — от нас это не требуется). Одновременно это число является разностью исходной прогрессии, т.е. мы нашли ответ.:)
Ответ: −36
Задача №9. Между числами $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$ вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.
Решение. По сути, нам нужно составить последовательность из пяти чисел, причём первое и последнее число уже известно. Обозначим недостающие числа переменными $x$, $y$ и $z$:
\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ -\frac{1}{2};x;y;z;-\frac{1}{6} \right\}\]
Отметим, что число $y$ является «серединой» нашей последовательности — оно равноудалено и от чисел $x$ и $z$, и от чисел $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$. И если из чисел $x$ и $z$ мы в данный момент не можем получить $y$, то вот с концами прогрессии дело обстоит иначе. Вспоминаем про среднее арифметическое:
Теперь, зная $y$, мы найдём оставшиеся числа. Заметим, что $x$ лежит между числами $-\frac{1}{2}$ и только что найденным $y=-\frac{1}{3}$. Поэтому
Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:
Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.
Ответ: $-\frac{5}{12};\ -\frac{1}{3};\ -\frac{1}{4}$
Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.
Решение. Ещё более сложная задача, которая, однако, решается по той же схеме, что и предыдущие — через среднее арифметическое. Проблема в том, что нам неизвестно, сколько конкретно чисел надо вставить. Поэтому положим для опредлённости, что после вставки всего будет ровно $n$ чисел, причём первое из них — это 2, а последнее — 42. В этом случае искомая арифметическая прогрессия представима в виде:
\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ 2;{{a}_{2}};{{a}_{3}};...;{{a}_{n-1}};42 \right\}\]
\[{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56\]
Заметим, однако, что числа ${{a}_{2}}$ и ${{a}_{n-1}}$ получаются из стоящих по краям чисел 2 и 42 путём одного шага навстречу друг другу, т.е. к центру последовательности. А это значит, что
\[{{a}_{2}}+{{a}_{n-1}}=2+42=44\]
Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:
\[\begin{align} & {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56; \\ & \left({{a}_{2}}+{{a}_{n-1}} \right)+{{a}_{3}}=56; \\ & 44+{{a}_{3}}=56; \\ & {{a}_{3}}=56-44=12. \\ \end{align}\]
Зная ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{1}}$, мы легко найдём разность прогрессии:
\[\begin{align} & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=12-2=10; \\ & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end{align}\]
Осталось лишь найти остальные члены:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}=2; \\ & {{a}_{2}}=2+5=7; \\ & {{a}_{3}}=12; \\ & {{a}_{4}}=2+3\cdot 5=17; \\ & {{a}_{5}}=2+4\cdot 5=22; \\ & {{a}_{6}}=2+5\cdot 5=27; \\ & {{a}_{7}}=2+6\cdot 5=32; \\ & {{a}_{8}}=2+7\cdot 5=37; \\ & {{a}_{9}}=2+8\cdot 5=42; \\ \end{align}\]
Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Текстовые задачи с прогрессиями
В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.
Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?
Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:
\[\begin{align} & {{a}_{1}}=62;\quad d=14; \\ & {{a}_{n}}=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end{align}\]
Ноябрь — это 11-й месяц в году, поэтому нам нужно найти ${{a}_{11}}$:
\[{{a}_{11}}=62+10\cdot 14=202\]
Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.
Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?
Решение. Всё то же самое:
$\begin{align} & {{a}_{1}}=216;\quad d=4; \\ & {{a}_{n}}=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end{align}$
Декабрь — это последний, 12-й месяц в году, поэтому ищем ${{a}_{12}}$:
\[{{a}_{12}}=216+11\cdot 4=260\]
Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.
Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.
Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):
В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .
Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.
И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .
Обозначение арифметической прогрессии
Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.
Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).
Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.
Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)
Решение задач на арифметическую прогрессию
В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:
Ответ: \(b_5=23\)
Пример (ОГЭ).
Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:
|
Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента. |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(-3\)
Пример (ОГЭ).
Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:
|
|
Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: \(7,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
|
Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам : \(n=1\); \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Искомая сумма найдена. |
Ответ: \(S_6=9\).
Пример (ОГЭ).
В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:
Ответ: \(d=7\).
Важные формулы арифметической прогрессии
Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).
Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…
Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.
Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).
Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.
Пример.
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:
Ответ: \(b_{246}=1850\).
Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где
\(a_n\) – последний суммируемый член;
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\) \(\cdot 25\) |
Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять. |
|
|
\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\) |
Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму. |
|
|
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{25}=1090\).
Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:
Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)
\(\cdot n\), где
\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.
Пример.
Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:
Ответ: \(S_{33}=-231\).
Более сложные задачи на арифметическую прогрессию
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)
Пример (ОГЭ).
Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:
|
\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\) |
Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Делим обе части неравенства на \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) |
Переносим минус единицу, не забывая менять знаки |
|
|
\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) \(+1\) |
Вычисляем… |
|
|
\(n>65,333…\) |
…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это. |
|
|
\(n=65;\) \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов. |
|
|
\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\)
\(\cdot 65\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(S_{65}=-630,5\).
Пример (ОГЭ).
Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:
|
\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\) |
В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? |
|
|
Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов. |
|
\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\)
\(\cdot 42=\) |
Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов. |
|
\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\)
\(\cdot 25=\) |
Ну и наконец, вычисляем ответ. |
|
\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\) |
Ответ: \(S=1683\).
Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .
Или арифметическая - это вид упорядоченной числовой последовательности, свойства которой изучают в школьном курсе алгебры. В данной статье подробно рассмотрен вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии.
Что это за прогрессия?
Прежде чем переходить к рассмотрению вопроса (как найти сумму арифметической прогрессии), стоит понять, о чем пойдет речь.
Любая последовательность действительных чисел, которая получается путем добавления (вычитания) некоторого значения из каждого предыдущего числа, называется алгебраической (арифметической) прогрессией. Это определение в переводе на язык математики принимает форму:
Здесь i - порядковый номер элемента ряда a i . Таким образом, зная всего одно начальное число, можно с легкостью восстановить весь ряд. Параметр d в формуле называется разностью прогрессии.
Можно легко показать, что для рассматриваемого ряда чисел выполняется следующее равенство:
a n = a 1 + d * (n - 1).
То есть для нахождения значения n-го по порядку элемента следует n-1 раз добавить разность d к первому элементу a 1 .
Чему равна сумма арифметической прогрессии: формула
Прежде чем приводить формулу для указанной суммы, стоит рассмотреть простой частный случай. Дана прогрессия натуральных чисел от 1 до 10, необходимо найти их сумму. Поскольку членов в прогрессии немного (10), то можно решить задачу в лоб, то есть просуммировать все элементы по порядку.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Стоит учесть одну интересную вещь: поскольку каждый член отличается от последующего на одно и то же значение d = 1, то попарное суммирование первого с десятым, второго с девятым и так далее даст одинаковый результат. Действительно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Как видно, этих сумм всего 5, то есть ровно в два раза меньше, чем число элементов ряда. Тогда умножая число сумм (5) на результат каждой суммы (11), вы придете к полученному в первом примере результату.
Если обобщить эти рассуждения, то можно записать следующее выражение:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Это выражение показывает, что совсем не обязательно суммировать подряд все элементы, достаточно знать значение первого a 1 и последнего a n , а также общего числа слагаемых n.
Считается, что впервые до этого равенства додумался Гаусс, когда искал решение на заданную его школьным учителем задачу: просуммировать 100 первых целых чисел.
Сумма элементов от m до n: формула
Формула, приведенная в предыдущем пункте, дает ответ на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии (первых элементов), но часто в задачах необходимо просуммировать ряд чисел, стоящих в середине прогрессии. Как это сделать?
Ответить на этот вопрос проще всего, рассматривая следующий пример: пусть необходимо найти сумму членов от m-го до n-го. Для решения задачи следует представить заданный отрезок от m до n прогрессии в виде нового числового ряда. В таком представлении m-й член a m будет первым, а a n станет под номер n-(m-1). В этом случае, применяя стандартную формулу для суммы, получится следующее выражение:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Пример использования формул
Зная, как найти сумму арифметической прогрессии, стоит рассмотреть простой пример использования приведенных формул.
Ниже дана числовая последовательность, следует найти сумму ее членов, начиная с 5-го и заканчивая 12-м:
Приведенные числа свидетельствуют, что разность d равна 3. Используя выражение для n-го элемента, можно найти значения 5-го и 12-го членов прогрессии. Получается:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Зная значения чисел, стоящих на концах рассматриваемой алгебраической прогрессии, а также зная, какие номера в ряду они занимают, можно воспользоваться формулой для суммы, полученной в предыдущем пункте. Получится:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Стоит отметить, что это значение можно было получить иначе: сначала найти сумму первых 12 элементов по стандартной формуле, затем вычислить сумму первых 4 элементов по той же формуле, после этого вычесть из первой суммы вторую.
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.
Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.
Разность прогрессии: определение
Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.
d = a(j) – a(j-1).
Выделяют:
- Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
- Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Разность прогрессии и ее произвольные элементы
Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Разность прогрессии и ее первый член
Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.
Разность прогрессии и ее сумма
Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.