Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа с.Сторожевка»
Татищевского района Саратовской области
Проектно-исследовательская работа
по теме:
Выполнили: учащиеся 11 класса
«МОУ СОШ с.Сторожевка»
Давыдова Катерина Олеговна,
Орешенкова Дарья Олеговна.
Руководитель: учитель математики
Жогаль Марина Александровна
2011г.
Содержание
I. Краткая аннотация…………………………………………………..3
II. Введение ……………………………………………………………4
III. Этот удивительно симметричный мир……………………….......5
1.Что такое симметрия? Место симметрии в окружающем мире…..5
2.Виды симметрии……………………………………………………..8
3.Симметрия в физике и технике …………………………………….10
4.Симметрия в природе ……………………………………………….14
В животном мире
5.Симметрия в творчестве…………………………………………….18
В архитектуре
В литературе
В музыке и в танце
6.Симметрия рядом ……………………………………………………22
Симметрия в одежде
Симметрия в быту (дома, в школе)
Симметрия посёлка Сторожевка и города Саратова
IV. Заключение………………………………………………………….24
V.Литература…………………………………………………………….25
VI.Приложение…………………………………………………………..26
Краткая аннотация проекта
Данный проект расчитан на учащихся 9-11 классов. Он охватывает изучение учебных тем: «Симметрия» по геометрии, «Города и страны», "Транспорт", "Архитектура" по географии, «Особенности строения растительных и животных организмов» по биологии, литературе, «законы сохранения» по физике. Данный проект формирует осознание того, что нужно жить в мире и согласии с природой, развивает наблюдательность, творческие способности.
При проведении проекта учитель помогает ученикам в развитии их навыков критического мышления, умения находить и обрабатывать большое количество информации, формировании коммуникативных навыков, организует самостоятельные исследования по учебной теме.
Введение
Математика неисчерпаема и многозначна.
Ни один математик, даже самый, самый, самый, уже не в состоянии изучить всю математику, а выбирает лишь какую-нибудь ветвь. Вот и мы сегодня выбираем маленькую ветвь симметрии.
Математики и биологи, кристаллографы и искусствоведы, инженеры и философы, астрономы и селекционеры, физики и врачи пытаются сообща справиться с загадками симметрии.
В школьном курсе математики теме «Симметрия» отведено всего несколько часов. В 8 классе учащиеся знакомятся с осевой и центральной симметрией, в 10 классе вводится понятие зеркальной симметрии. У ребят возникает вопрос: зачем нужна эта тема и где она применяется?
Проект «Этот удивительно симметричный мир» призван расширить познания учащихся по теме «Симметрия» в разных областях науки, техники, живой и неживой природы, в окружающем нас мире.
Основополагающий вопрос:
Как проявляется симметрия в окружающем нас мире?
Цель: изучение понятия симметрии, проведение исследовательской работы по изучению явлений симметрии в природе, архитектуре, технике, в окружающей нас повседневной действительности, приобретение навыков самостоятельной работы с большим объёмом информации.
Задачи:
Углубить и расширить знания по теме «Симметрия»;
Узнать о видах симметрии и уметь отличать один вид от другого;
Получить наглядное представление о проявлении симметрии в природе, различных областях науки и человеческой деятельности;
Развить навыки работы в команде и навыки принятия решений
III. Этот удивительно симметричный мир
§1. Что такое симметрия? Место симметрии в окружающем мире.
«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Г. Вейль.
С симметрией мы встречаемся всюду - в природе, технике, искусстве, науке, например, симметрия форм автомобиля и самолета, симметрия в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрия орнаментов и бордюров, симметрия атомной структуры молекул и кристаллов. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.
Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.
Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? А какая бывает симметрия? Какие виды симметрии вы уже знаете (осевая и центральная, зеркальная). Симметрия делится на две группы.
К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.
Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией. На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению.
Для этого обратимся к определению симметрии. Термин “симметрия” по–гречески означает соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.
Согласно Вейлю, симметричным называется такой предмет, с которым можно проделать какую-то операцию, получив в итоге первоначальное состояние. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии. «Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен, - устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...".
Слово «симметрия» имеет два значения.
В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей Природы - закономерности о двойственности. Пристальное внимание уделяли симметрии Пифагор и его ученики. Исходя из учения о числе, пифагорейцы дали первую математическую трактовку гармонии, симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни.
К наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливались факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физиками в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются, прежде всего, законы сохранения классической физики.
Симметричны животные, довольно симметричны растения, совсем симметричны кристаллы, почти идеально симметрична наша шарообразная планета, близка к симметрии ее траектория. После сказанного, может быть, покажется не столь уж фантастичным утверждение, что все законы природы определяются симметрией мира. (приложение рис 1)
Итак, мы живем в довольно симметричном мире. Не удивительно, что сами мы симметричны и склонны считать красивым все симметричное.
§2.Виды симметрии
Виды симметрии:
ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2π /n, где n=2,3,4, и т.д. ось симметрии называется осью симметрии n-го порядка.(рис 2)
ПЕРЕНОСНАЯ (ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) СИММЕТРИЯ. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние a, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, расстояние a – элементарным переносом или периодом.
С данным видом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими и пространственными.(рис 3)
ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии. (рис 4)
Форма всех объектов, которые двигаются по поверхности Земли или возле – шагают, плывут, летят, катятся – обладают плоскостью симметрии.
Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения.
СИММЕТРИИ ПОДОБИЯ представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними.
Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.(рис 5)
ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит.
НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ – это тоже определенная симметрия.(рис 7)
КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ связаны с изменением масштаба.
Макет является уменьшенной копией оригинала (рис 8)
КОНФОРМНАЯ симметрия(круговая) симметрия - преобразование относительно сферы с центром в т.О радиуса R, которое любую точку Р переводит в точку, лежащую на продолжении радиуса, проходящего через т.Р на расстоянии от центра = R2/ОР. Конформная симметрия обладает большой общностью. Зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.
(рис 9а,б)
§3.Симметрия в физике и технике.
В физике.
Существует старинная притча о буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осел. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две совершенно одинаковые охапки сена – одну слева, а другую справа. Осел не смог решить с какой охапки ему начать, и умер с голоду… Левое и правое на столько одинаковы, что нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому. Иными словами, в обоих случаях мы имеем дело с симметрией, проявляющейся в полном равноправии, уравновешенности левого и правого.
В самом деле, если шарик неподвижен на столе, значит стол ровный и слева наклон тот же самый, что и справа. Если ток не идет по проводу, значит нет разности потенциалов. Если тучка застыла на небе, значит давление вокруг одинаково и стих ветер. Было бы странным, если бы все происходило наоборот. Природа никогда не отдает предпочтения при равенстве.
Симметрия - это и есть равенство в широком смысле этого слова. Например, зеркальная симметрия означает, что правая часть в точности равна левой. Значит, если имеет место симметрия, то чего-то не произойдет и, значит, что-то обязательно останется неизменным, сохранится.
В природе, как и у людей, существует два типа законов. Один тип говорит, что должно происходить при определенных обстоятельствах. Например, закон Ома утверждает, что при таком-то напряжении и таком-то сопротивлении проводника сила идущего по нему электрического тока будет равна частному от деления первого на второе. Ответ единственный. Второй тип законов - так называемые законы сохранения. Они описывают, чего не должно быть. Например, закон сохранения материи и энергии утверждает, что при любом процессе эти величины должны сохраниться.
В 1915 году немецкий математик Эми Нётер чисто математически доказала, что все законы сохранения связаны с симметриями природы. На равноправии места (однородность пространства) покоится закон сохранения импульса. На равноправии направлений (изотропность пространства) - законы сохранения момента количества движения. На равноправии времени - закон сохранения материи и энергии. Это было выдающееся открытие.
В физике существует огромное количество законов и все они пронизаны несколькими общими принципами, которые содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии. Одно из важнейших свойств симметрии физических законов – постоянство во времени, сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения описывает не меняющийся во времени факт взаимного притяжения тел. Это притяжение существовало до Ньютона, оно будет существовать и в последующие века. Закон идеального газа широко используется в современной науке и технике. Если бы физические законы изменялись со временем, то каждое физическое исследование имело бы “сиюминутное” значение. Важным законом сохранения в физике является закон сохранения импульса замкнутой системы.
Все симметричное в природе считают отражением фундаментальных качеств мира, а несимметричное - игрой случая.
Говоря о симметрии в неживой природе, возникает точка зрения, что симметрия в неживой природе - отнюдь не частый гость. Например, нагромождение камней, неправильная линия холмов на горизонте. Конечно груда камней это беспорядок, но каждый камень состоит из кристаллов. А кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему идеальная форма его кристалла. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов(молекул)
Вспомните снежинки. Это маленькие кристаллы замерзшей воды. Они обладают симметрией поворотной и зеркальной (осевой, центральной). Почему снежинки шестиугольные. Почему не бывает пятиугольных снежинок; (пчелиные соты, зернышки граната).
Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией (рис 2)
Все твердые тела состоят из кристаллов.
В технике
Симметрию можно наблюдать и в технике, и в быту, и в нашей окружающей жизни. Зачем используется симметрия в технике?
Технические объекты – самолёты, автомашины, ракеты, молотки, гайки – практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надёжностью, устойчивостью в работе (рис 10 а,б,в)
Симметричная форма дирижабля, самолёта, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению.
На заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла и условий его полёта.(прил.рис 11а,б)
Большую роль в этом сыграла, конечно, симметрия.
Глядя на транспортные средства, возникает вопрос: Чем объясняется частое присутствие симметрии в технике? Изучив необходимую литературу, понимаешь, что симметрия, прежде всего, определяется целесообразностью. Никому не нужен кривой автомобиль или самолёт с крыльями разной длины. Кроме того, симметричные объекты красивы.
Виды симметрии в технике:
-Осевая
-Центральная
-Поворотная
-Зеркальная
§4.Симметрия в природе
Симметрия пронизывает весь окружающий нас мир.
В настоящее время в естествознании преобладают определения категорий симметрии и асимметрии на основании перечисления определенных признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, гармоничности. Все признаки симметрии во многих ее определениях рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях, при установлении симметрии какого-то явления, можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность, в других - соразмерность и т. д.
С вопросами зеркальной симметрии – асимметрии тесно связана проблема возникновение жизни на Земле– ведь живая материя возникла в свое время из неживой. Это обусловлено нарушением существовавшей до этого зеркальной симметрии, образованием чистых молекул, т.е. зеркально симметричных. Современная наука пришла к выводу, что переход от мира зеркального – симметричных соединений к чистому миру произошел не в процессе длительной эволюции, а скачком в виде своеобразного большого биологического взрыва.
Итак, нашей жизни на Земле мы обязаны нарушению зеркальной симметрии и образованию асимметричных молекул.
С симметрией мы встречается повсюду в живой природе.(рис 12)
Симметрия проявляется и в явлениях природы:
Времен года;
В цветении растений;
В появлении снега относительно смещения во времени на 12 месяцев,
Симметрия присутствует в регулярности смены дня и ночи;
Раскаты грома повторяются через определенный интервал времени.
В растительном мире .
«На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией»
М. Гарднер
Термин «зеркальная» используется в геометрии и физике, а «билатеральная»- в биологии.
Для цветов характерна поворотная симметрия.
Поворотной симметрией обладают: веточка боярышника, цветок зверобоя, веточка акации, лапчатка гусиная. (рис.13 а,б,в)
Веточка акации имеет зеркальную и поворотную симметрию.(рис.14) Веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии. Гусиная лапчатка имеет поворотную симметрию и зеркальную.
Присмотревшись к растениям можно обнаружить многочисленные проявления винтовой симметрии в расположении листьев на стебле, веток на стволе, в строении шишек. Ярко выраженными винтами являются вьющиеся растения.(рис 15а,б,в)
В мире цветов встречаются поворотные оси симметрии разных порядков. Наиболее распространенная поворотная симметрия 5-го порядка.
«Пятерная ось является своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации…»
(Н. В. Белов)
Поворотная симметрия 5-го порядка встречается: у колокольчика, луговой герани, незабудки, зверобоя, вишни, груши, рябины, боярышника, шиповника.(рис.16 а,б,в)
Симметрия конуса видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу а, остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть сверху. (рис.17а,б)
Лучевая симметрия. Присмотритесь внимательно и вы увидите, что лепестки многих цветов расходятся во все стороны, как лучи от источника света. В математике - это симметрия относительно точки, в биологии –лучевая симметрия. (рис.18а,б)
Человек передает свои наследственные признаки из поколения в поколение. Также растения переходя от одного поколения к другому, наблюдается сохранение определенных свойств. Так из семечка вырастает новый подсолнух (подсолнечник) с таким же огромным соцветием- корзинкой, также исправно поворачивается к Солнцу. Это тоже есть симметрия, ее обычно называют наследственностью.
В растительном мире встречается билатеральная (зеркальная), лучевая, поворотная, симметрия конуса, осевая, центральная, наследственная симметрия, винтовая симметрия.
Симметрия в животном мире .
«Что может быть больше похоже на мою руку или ухо, чем их собственные отражения в зеркале? И же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки…»
И. Кант
Если мысленно провести вертикальную линию, разделяющую пополам человеческую фигуру, то левая и правая стороны тоже превратятся в части симметричной «композиции».(Рис 19а,б)
Форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле – шагают, плывут, летят, катятся,- обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии.
Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных процессов являются биологические ритмы , циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам.
Вопрос о красоте, связанной с симметрией, очевиден. Рассматривая соразмерные, взаимно уравновешенные, закономерно повторяющиеся части симметричного объекта мы ощущаем покой, порядок, стабильность. И в результате объект воспринимаем как красивый. И напротив, случайное отклонение от симметрии (обрушивающийся угол здания, оторванный кусочек буквы, необычно рано выпавший снег), воспринимается отрицательно, как неожиданный эффект, угрожающий нашей уверенности.
Попытаемся вообразить себе мир, который устроен полностью симметрией. Такой мир должен был бы совмещаться сам с собой при любом повороте, при отражении в зеркале. Это было бы что-то однородное, неизменное. Такой мир невозможен. Мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии.
§5.Симметрия в творчестве.
Замечательным примером использования симметрии является человеческая деятельность, а именно – творческая.
В архитектуре.
Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры.
Можно сказать, что как искусство архитектура начинается именно тогда, когда удаётся отыскать изящное, гармоничное и оригинальное соотношение между симметрией и асимметрией.
На примере архитектуры хорошо видно диалектическое единство симметрии и асимметрии.
Многие архитектурные объекты окружающего мира имеют ось симметрии или центр симметрии.
А какой симметрией обладает Египетская пирамида? (поворотной, если повернуть на 90 градусов вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину пирамиды), зеркальной (совмещается сама с собой при отражении (мысленной) в любой из 4-х вертикальных плоскостей, проходящих через вершину перпендикулярно основанию). (рис20)
Большинство зданий зеркальной симметрии. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию. Много примеров использования симметрии даёт старая русская архитектура: колокольни, внутренние опорные столбы. Все церковные храмы построены на симметрии, которые имеют оси и центры симметрии.
Примеры симметрии можно увидеть в архитектуре Саратова:
Храм «утоли моя печали», цирк, ЦУМ, дом книги, консерватория, старинные здания в центре города и др.(рис.21а,б,в,г, рис 25а,б)
Пропорция, которая присутствует в симметрии, вносит красоту в архитектуру. Значит симметрия – душа гармонии.
Русский язык и литературное творчество
Обсудим симметрию букв А,В,Д,Е,Ж,З,К,Л,М,Н,П,С,Т,Ф,Х,Ш,Э,Ю,-
это есть пример зеркальной симметрии. Буквы О,Ж, Н,Ф,Х обладают центральной (поворотной) и зеркальной симметрией.
В литературных произведениях красота, связана с симметрией, противопоставляется уродству, обусловленному асимметрией. Так, в Пушкинской «Сказке о царе Салтане» это прекрасная Царевна – Лебедь и окривевшие злодейки ткачихи с поварихой. В литературных произведениях существует целый ряд забавных словесных конструкций, основанных на свойствах зеркальной симметрии. Например слова «топот», «казак», «шалаш» в литературе такой тип слов называют палиндромами.
Вся поэзия- симметрия. Симметрия в творчестве А. А. Фета представлена достаточно широко, как и в творчестве любого русского поэта. Это и кольцевая композиция, и равномерное чередование ударных и безударных слогов: размер
Тихая звёздная ночь…
Трепетно светит луна
Сладки уста красоты
В тихую звёздную ночь.
Дактиль: абсолютно точно повторяются ударные и безударные слоги, создаётся напевность.
Симметричны рефрены: повторение строк через определённый промежуток.
Тихо вечер догорает,
Горы золотя;
Знойный воздух холодает
Спи дитя
Соловьи давно запели,
Сумрак возвестя;
Струны робко зазвенели –
Спи дитя.
Выводы:
Симметрия играет определяющую роль не только в процессе научного познания мира, но также и в процессе его чувственного эмоционального восприятия.
Симметрия – источник эстетического удовлетворения и художественного восприятия.
Симметрия в изобразительном искусстве
Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела. Леонардо да Винчи открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Все мы симметричны! Некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.
РАФАЭЛЬ. Сикстинская мадонна (рис22а)
Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. В симметричной композиции люди или предметы расположены почти зеркально по отношению к центральной оси картины. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.
Ф. ХОДЛЕР. Озеро Тан (рис 22б)
Симметрия в искусстве основана на реальной действительности. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.
В. ВАСНЕЦОВ. Богатыри (рис 22в)
Бордюры.
«Математик, так же как художник или поэт, создаёт узоры». Г. Харди.
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называют бордюром. Это может быть настенная роспись, украшающая стены зданий, галереи, лестничные переходы. Это может быть чугунное литьё, используемое в оградах парков, решётках мостов и набережных. Это могут быть гипсовые барельефы или керамика. Бордюры обладают зеркальной и переносной симметрией. (рис23-25)
Орнаменты.
Удивительные рисунки, часто встречающиеся в декоративном художественном творчестве называют орнаментами. В них можно обнаружить затейливое сочетание переносной, зеркальной и поворотной симметрии. В зависимости от того, из каких элементов состоит орнамент, его относят к тому или иному типу.) 1геометрический орнамент (чёткое чередование геометрических элементов). 2) растительный орнамент.
3) каллиграфический (может состоять или из отдельных букв, или из целых предложений, высказываний, пословиц, лозунгов).
Геометрический орнамент: чёткое чередование геометрических элементов. Растительный орнамент: растительный мотив. Каллиграфический орнамент: чередование отдельных букв, предложений, пословиц. Фантастический орнамент: изображения мифических существ. Животный орнамент: изображения птиц и зверей. Геральдический орнамент: гербы, атрибуты войны, музыкальное и театральное искусство. (рис 26)
Украшения (рис.27)
Симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.(рис.28а,б)
§6. Симметрия рядом.
В одежде
В одежде человек тоже, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина – левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.
Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем ассиметрию. Например, помещая на костюме ассиметричный кармашек на груди.
Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшое отклонение от нее и придает характерные, индивидуальные черты. И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов. В не столь отдаленные дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.
Деловая одежда всегда строго симметрична.(рис 29-30) Праздничный наряд можно сделать ассиметричным, чтобы внести индивидуальность образа. Но при этом правый рукав (или штанина) не будет короче левого. Кроят правую и левую часть одежды чаще всего по одной и той же выкройке, накладывая на согнутый вдвое материал выкройку половины изделия.(рис 31)
Обувь всегда строго симметрична.
В быту.
«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло в рисунке и в предметах быта.
…Применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».
А.В.Шубников
Игрокам в бильярд знакомо действие отражения. Их зеркала – это борта игрового поля, а роль луча исполняют траектории шаров.
Симметричны бытовая техника и мебель, посуда и столовые приборы, одеяла и ковры, портьеры, салфетки, вазочки и т.д.(Рис.40-45)
Симметрия поселка Сторожевка и Саратова
Много примеров симметрии можно увидитесь в архитектуре города Саратова и своего посёлка. (рис 21,25, рис 32-39)
IV. Заключение.
Рассматривая некоторые аспекты использования симметрии в физике, искусстве, технике, биологии, литературе, можно заметить важный аспект – это философский аспект симметрии, или точнее говоря, диалектика симметрии и асимметрии. Она лежит в основе любой научной классификации. Именно она определяет степень красоты, содержащейся в том или ином произведении искусства, зодчества. Если симметрия связана с сохранением, общим, необходимым. То асимметрия связана с изменением, частным, различным, случайным. Мир не мог бы быть абсолютно симметричным (ничто бы не изменялось, не было бы никаких различий, в таком мире ничего не наблюдалось – никаких явлений, объектов). Не мог бы существовать абсолютно асимметричный мир. Это был бы мир, без каких – либо законов, где ничто не сохраняется, где нет каких-либо причинных связей.
V. Использованная литература:
Погорелов Геометрия 7-11, Москва: Просвещение, 1992.
Л. Тарасов, Этот удивительно симметричный мир, Москва: Просвещение,1982
М. Гарднер, Этот правый, левый мир.
Вейль Г.Симметрия. М.: Едиториал УРСС,2003.
Зенкевич И.Г.,Эстетика урока математики: Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1981.
Журнал «Вокруг света»
Ресурсы ИНТЕРНЕТ:
«Симметрия в геометрии» - Применение симметрии в различных областях науки и техники. Нахождение координаты точки. Фигуры, обладающие осевой симметрией. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ - симметрия относительно точки, которая задается следующим образом: Поворотная. Вот центр, вот ось. Осевая и центральная симметрия в растительном мире. Винтовая.
«Зеркальная симметрия» - Зеркальная симметрия. Плоскость симметрии. Самые симметричные фигуры. Очень известные, но иногда загадочные. Построение изображения с помощью зеркальной симметрии сходно с отражением в зеркале. Зеркальная симметрия – симметрия относительно плоскости.
«Симметрия в мире» - Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Почему симметрия пронизывает весь окружающий нас мир? Осевая симметрия хорошо видна у бабочек. Веточки деревьев могут обладать скользящей осью симметрии. Симметрия в неживой природе. В природе красивое всегда целесообразно, а целесообразное – всегда красиво.
«Симметрия в природе» - На явление симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции. Осевая симметрия в жизни и природе встречается довольно часто. Осевая Центральная. Рассмотрим два вида симметрии. Греческое слово симметрия буквально обозначает «соразмерность». Учение о различных видах симметрии представляет большую и важную ветвь геометрии, тесно связанную со многими отраслями естествознания и техники, начиная от текстильного производства и кончая тонкими вопросами строения вещества.
«Симметрия в архитектуре» - Здесь мы увидели такие виды симметрии: Где же еще, как ни здесь, мог поселиться Дед Мороз? Каждая колонна – поворотная симметрия! На фото: ансамбль Соборное Дворище ночью. Рим, Акрополь. Триумфальные ворота в Петербурге в честь победы русского оружия. Не правда ли – нисколько не хуже заграницы! Страны и города.
«Осевая симметрия» - Симметрия в древней и современной архитектуре. Симметрия в природе. Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. А роза упала на лапу Азора. Симметричны ли фигуры относительно прямой? Симметричный обман. Симметрия простейших фигур. Написаны тысячи таких предложений. В узорах знаменитых павловопосадских платков сочетание повторяющихся элементов.
Всего в теме 32 презентации
Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»
Исследовательская работа
Симметрия в окружающем мире
(секция точных наук)
Выполнила: Меризанова Анна,
ученица 8 класса,
Елисеенко Вера,
ученица 8 класса
Руководитель: Колесникова
Людмила Александровна,
учитель математики
Введение
В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т.к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.
А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.
Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук
В результате работы перед собой мы поставили вопросы:
Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?
Мы поставили перед собой цель:
сформироватьпредставлений о симметрии, черезсистематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.
Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:
Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.
Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.
Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.
Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).
Для написание работы мной были использованы различные методы:
изучение и анализ научной литературы;
метод индуктивного обобщения, конкретизации;
использование компьютерного инвентаря.
Глава 1. Первые представления о симметрии
В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».
Историческое развитие и осмысление понятия симметрии
В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.
Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т.д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н.э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».
Математическое представление о симметрии
Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.
Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.
Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.
Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.
В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.
Определение 2. Две точки A и A 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.
Каждая точка прямой а
Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.
О
пределение
3.
Две точки А и А 1
называются симметричными
относительно точки О
, если
О – середина отрезка АА 1
. Точка О
считается симметричной самой себе.
Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.
Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).
Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.
Исследовательские задания.
Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.
Обсуждение.
1 случай.
Пусть
М
и N
лежат по разные стороны
от
,
кратчайшее расстояние между ними есть
,
следовательно, искомая точка Х лежит
на пересечении
и
.
В
сякая
другая точка
прямой АВ
не
обладает этим свойством, так как
.
2 случай . М и N лежат по одну сторону Строим М 1 , симметричную М относительно , после чего задача сводится к случаю 1. если
То искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .
Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на такую точку, чтобы разность (по модулю её расстояния от точек М и N была наибольшей.
О
бсуждение.
1 случай.
Точки М
и N
лежат по одну сторону от
прямой АВ (и притом на разных расстояниях
от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для
которой разность расстояний от точек
М
и N
наибольшая, есть точка
пересечения прямой АВ с продолжением
отрезка MN.
Тогда
всякая другая точка Х 1
прямой АВ не обладает этим свойством,
так как
(следствие аксиомы треугольника). Если
М
и N
находится на одинаковом
расстоянии от
,
задача не имеет решения.
2
случай.
Точки М
и N
лежат по разные стороны
от
.
Тогда искомая точка
,
где
.
Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.
Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.
Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да
Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.
Обсуждение. О и Х
Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.
Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.
Обсуждение. А, Е, О
Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.
Симметрия древнерусского орнамента
Д
ля
русского орнамента характерны как
растительные и геометрические формы,
так и изображения птиц, зверей и
фантастических животных.
Особенно ярко русский орнамент выражен
в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее
часто использовались так называемые
плетенки – переплетения лент, ремней,
стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан
Иванов создал свой
знаменитый орнамент «Павлинье око».
По мнению академика Б. А. Рыбакова, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.
Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который Б. А. Рыбаков трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.
Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.
Мотив дерева жизни.
К числу традиционных узоров на протяжении столетий использовавшихся в русском декоративно-прикладном искусстве, относится узор, изображавший дерево жизни с симметрично расположенными на нём или около него птицами.
Древнерусский орнамент сочетал в себе воду, дождь, солнце и растительный мир в его надземной и подземной (корневой) части.
Водная стихия представлялась рядами точек и чёрточек, воспроизводящих дождевые капли, а также зигзагообразными линиями, что служит примером переносной симметрии.
Земля была представлена
прямоугольником, разделённым диагоналями
на четыре части с повторяющимися в них
рисунком. Для такой конфигурации
характерна осевая симметрия в сочетании
с центральной. Эти виды симметрии
преобладают в изображении растительного
мира.
В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.
Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.
1.4. Симметрия сквозь века
В
своих размышлениях над картиной мира
человек с давних пор активно использовал
идею симметрии. По преданию, термин
«симметрия» придумал скульптор Пифагор
Регийский, живший в г. Регул. Отклонение
от симметрии он определил термином
«асимметрия». Древние греки полагали,
что Вселенная симметрична просто потому,
что она прекрасна. Считая сферу наиболее
симметричной и совершенной формой, они
делали вывод о сферичности Земли и ее
движения по сфере вокруг некоего
«центрального огня», где двигались
также 6 известных тогда планет вместе
с луной, Солнцем, звездами.
Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.
Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.
Глава 2. Симметрия вокруг нас
В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.
2.1. Роль симметрии в познании природы
Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.
Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (1828-1892). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.
И
так,
симметрию кристаллов научились изучать
и сравнивать. Существуют 9
элементов симметрии и только 32 различных
набора элементов симметрии – групп
симметрии, которые и определяют внешнюю
форму кристаллов. Но коль скоро число
элементов симметрии кристаллов, конечно,
то конечно число их наборов – комбинации,
описывающих симметрию внешней формы.
Отсюда следует, что симметрия – строгий
и всеобъемлющий закон, управляющий
царством кристаллов. Она задаёт форму
кристалла, число его граней и ребер, она
же диктует и его внутреннее строение.
Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.
Я
рко
выраженной симметрией обладают листья,
ветви, цветы и плоды растений.
Для некоторых из них характерна только
зеркальная симметрия, или только
поворотная симметрия, скользящая.
Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.
Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.
А в 1960г. Академик А.В. Шубников ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.
Симметрия в архитектурных сооружениях
Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т.е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.
Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.
М
ожно
привести много примеров использования
симметрии и асимметрии в
скульптуре. Например, скульптура
пелопонесского мастера из школы Пифагора
«Дельфийский возничий», которая
изображает победителя на состязаниях
конных колесниц. Фигура юноши в длинном
хитоне в целом симметрична, но легкий
поворот торса и головы нарушает зеркальную
симметрию, что порождает иллюзию
движения, и статуя кажется живой.
Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.
Заключение
Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.
Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.
В результате реализации проекта:
расширили знания о симметрии;
узнали, какие явления из жизни и
некоторых наук описывает симметрия;
новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;
обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.
Библиографический список
Афанасьев А.Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.
Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.
Гнеденго Б.В. Очерки по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.
Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.
Климова Н. Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.
Класс: 8
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока: обучить строить осевую симметрию геометрических фигур.
Задачи:
- Образовательная:
- рассмотреть симметричных точек и фигур относительно прямой;
- научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией;
- рассмотреть осевую симметрию как свойство некоторых геометрических фигур.
- получить представление о симметрии в математике и окружающем нас мире.
- развивать логическое мышление;
- активизировать мыслительную деятельность с помощью применения информационных технологий
Формы организации учебной деятельности: общеклассная, индивидуальная, парная.
Тип урока: Изучение и первичное закрепление новых знаний.
План урока:
- симметрия точки относительно прямой;
- построение осевой симметрии точки на плоскости;
- симметрия фигуры относительно прямой;
- построение осевой симметрии геометрических фигур;
- применение полученных знаний при решении задач.
Оборудование: проектор; экран; двусторонняя доска (мел, маркер); угольник; раздаточный материал; указка учителя; цветные карандаши; линейки.
Ход урока
I . Организация начала урока
Слайд.
Здравствуйте ребята, садитесь.
Сегодня на уроке мы будем выполнять много творческих и занимательных заданий. Итак, внимание на экран!
II. Сообщение темы, цели и задач урока
Тема нашего урока «Симметрия в математике и окружающем нас мире».
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием симметрии, научимся строить точки симметричные относительно прямой; будем решать задачи на построение симметрии геометрических фигур.
При выполнении заданий мы будем оценивать работу. По моему указанию за каждое верно выполненное задание вы закрасите один из кружков, находящихся в верхней части Листа 1 (приложение).
III. Усвоение новых знаний
Слайд.
Начнем с того, что выясним, что определим термин «симметрия».
Как вы думаете, что означает слово «симметрия»?
Где мы можем встретиться с симметрией в жизни?
Обобщу ваши ответы. Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований.
Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии.
Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться не только в геометрии, но и в других разделах математики, например в алгебре - при построении графиков функций.
Симметрия бывает двух видов: осевая и центральная. Заполним схему в раздаточном материале Листа 1.
Мы сегодня рассмотрим только осевую симметрию.
Найдите предложение, в котором говорится, какие две точки называются симметричными.
ОПР: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярно к нему.
Проанализируем определение. Какие условия должны выполняться, что бы можно было однозначно сказать, что точка А симметрична точке А1 относительно прямой а? ( АА 1 ⊥ а и АО=ОА 1)
Запишем более языком геометрии в скобках условие симметричности точек А и А 1 .
Научимся строить вместе точку симметричную данной относительно прямой. Для этого найдем в раздаточном материале Задание 1 . Возьмем в руки угольник и карандаш. (учитель строит на доске)
Этапы решения задачи: (на экране)
- Построить перпендикуляр из точки А к прямой а;
- О – точка пересечения перпендикуляра и прямой а;
- Продлить перпендикуляр за прямую а;
- Отложить на продолжении перпендикуляра отрезок равный отрезку ОА;
- АО=ОА 1
- Точки А и А 1 – симметричны относительно прямой а.
Выполним устно задание: Какие точки на рисунках являются симметричными?
Ответ: Только рисунок 2.
Кто готов объяснить?
Кто согласен с ответом поднимите руки? Закрась один кружок в верхней части Листа 1 .
Осевой симметрией обладают и многие фигуры.
ОПР: Фигура называется симметричной относительно прямой a , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
VI I. Закрепление знаний
Рассмотрим геометрические фигуры и определим, имеют или не имеют они осевую симметрию.
Работаем с заданием 2 Лист2 .
- Задача2: На изображенных геометрических фигурах начертить все оси симметрии и записать, сколько их в столбце «Количество осей».
Вы можете посоветоваться соседом по парте.
Фигура |
Количество осей симметрии |
Учебная деятельность |
Неразвернутый угол |
1 ось симметрии - |
Ученик у доски
|
Равнобедренный треугольник |
1 ось симметрии - биссектриса, медиана, высота |
Учитель:
|
4 оси симметрии |
Самостоятельно
|
|
Окружность |
осей симметрии бесконечное множество |
Самостоятельно
|
Итак, проверим решение задачи по экрану, исправим неточности при решении задачи.
Поднимите руки, кто начертил все оси квадрата? Закрасили один кружок.
Поднимите руки кто, верно, определил оси окружности? Закрасили один кружок.
Как вы думаете, все ли геометрические фигуры имеют оси симметрии? Верно, не все. Давайте посмотрим на экран.
Отложили ручки, устно решим задачу : Сколько осей имеет: отрезок; прямая; луч?
Давайте рассуждать. Каждый случай разбираем последовательно.
Кто готов ответить?
Кто согласен подняли руки. Закрась один из кружков.
Гимнастика для глаз 1 мин.
- Наши глаза устали от напряженной работы. Дадим им возможность немного отдохнуть, выполнив несколько упражнений для глаз.
VIII. Обобщение и систематизация
А теперь решим две практические задачи, используя лист «материалы к уроку».
Задача 3: Построить отрезок, симметричный данному.
Проанализируем условие задачи: Как построить отрезок симметричный данному относительно прямой?
Что такое отрезок? (Часть прямой, ограниченная с двух сторон. )
Что достаточно построить для решения задачи? (Симметрию точек, являющихся концами отрезка. )
Вывод: Так как отрезок ограничен двумя точками, достаточно построить точки симметричные точкам А и В относительно прямой с и соединить их.
Работаем самостоятельно, один человек у доски.
X. Подведение итогов урока
С каким понятием мы познакомились сегодня на уроке? (Симметрия. )
Какой вид симметрии мы рассмотрели? (Осевая. )
Чему вы научились на уроке? (Строить точку симметричную относительно данной прямой; строить ось симметрии геометрических фигур; строить фигуру симметричную данной относительно данной прямой. )
А теперь каждый посчитайте закрашенные кружки.
Поднимите руки у кого закрашенных кружков оказалось ровно 4 или 5? Поставьте рядом с кружками отметку «5».
Поднимите руки у кого закрашенных кружков оказалось ровно 3? Поставьте рядом с кружками отметку «4».
Кто получил меньше кружков не расстраивайтесь – вы просто не сразу смогли найти ответ на поставленный вопрос.
В заключение отметить, что симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Спасибо за активную работу.
Игнатовская Елена, Дорохов Анатолий
Осмотритесь вокруг! Мы восхищаемся ярким цветком, красивой бабочкой, загадочной снежинкой, высокими деревьями, куполами церквей, прекрасными скульптурами и стройными спортсменами. Что лежит в основе этой красоты? Симметрия приятна для глаза и часто ассоциируется с прекрасным. «Симметрия является той идеей, посредством которой человек пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство», - писал известный ученый Г.Вейль. Многие процессы, происходящие в мире, можно рассматривать с помощью математической модели. Изучив математические основы понятия симметрия мы научимся видеть красоту мира и создавать ее своими руками!
Метод проектов позволяет школьникам перейти от усвоения готовых знаний к их осознанному приобретению.
Данный проект подготовлен учениками 8 класса при изучении темы «Осевая и центральная симметрия». Его целью является формирование понятия о симметрии, умения видеть явления симметрии в окружающем мире, расширение представления о сферах применения математики и ее связь с другими предметами. Помимо основных целей, мы преследовали еще одну: прикосновение к прекрасному, к различным видам искусства.
Защита проекта состоялась на школьной научно-практической конференции « Математика в современном мире», используется учителем на уроках математики при изучении темы « Осевая и центральная симметрия».
Скачать:
Предварительный просмотр:
Окружающий нас мир – это мир симметрии
Игнатовская Елена, Дорохов Анатолий ученики 8 «Б» класса, Сигодина Лариса Владимировна,
учитель математики
МБОУ «Благовещенская средняя образовательная школа №1»
Слайд 1
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как эквиваленте уравновешенности и гармонии. Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счете, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства. Сегодня мы предлагаем вам рассмотреть проявление этой идеи в различных областях.
Слайд 2
Симметрия (от греческого «соразмерность») – это свойство геометрического объекта совмещаться с собой при некоторых преобразованиях, образующих группу.
Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Древние греки считали, что вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна.
Слайд 3
Основными видами симметрии являются осевая, центральная и зеркальная.
Слайд 4
Две точки Аи А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.
Слайд 5
Центральная симметрия.
Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1.
Слайд 6
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. В некоторых источниках такую симметрию называют зеркальной.
Слайд 7
Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. Вот на ваш рукав упал с дерева обыкновенный лист. Форма его не является случайной, она строго закономерна. Листок, как бы склеен из двух одинаковых половинок, одна из этих половинок расположена зеркально относительно другой. Лист обладает зеркальной симметрией, но он обладает и осевой симметрией.
Слайд 8
О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке.
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан и роза, и снежный рой – творение мороза!
Слайд 9
Оглянувшись вокруг, мы можем заметить симметрию.
Слайд 10
Рассмотрим примеры геометрических фигур, обладающих симметрией.
Осевой симметрией обладают равнобедренный треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, равносторонний треугольник.
Слайд 11
Центральную симметрию можно увидеть у параллелограмма, окружности, квадрата, прямоугольника.
Слайд 12 Симметрия в алгебре.
Осевой симметрией обладает парабола, центральной - кубическая парабола.
Слайд 13
На явления симметрии в живой природе обратили внимание еще в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием учения о гармонии (V века до н. э.). В XIX веке появились единичные работы, посвященные симметрии в растительном и животном мире.
Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Большинство из нас
рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделен на две половины. Эти две части – два полушария – плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого.
Слайд 14
Вертикальная ориентация оси корпуса характеризует симметрию дерева. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, ветви, плоды.
Слайд 15
Симметрия широко встречается в природе, в особенности у растений, например, симметрия цветка. Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной симметрией и т.д. Тройная симметрия обычна для однодольных растений, пятерная – для двудольных.
Слайд 16
Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.
Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тела которых сферической формы, а части распределены вокруг центра сферы и отходят от нее. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведенная через центр, делит животное на одинаковые половинки.
При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звезды.
При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны – брюшная и спинная – друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.
Слайд 17
Принципы симметрии являются в физики инструментом для отыскания новых законов природы. К числу симметричных принципов относится принцип относительности Галилея и Эйнштейна.
Слайд 18- 19 Симметрия в химии.
Симметрия обнаруживается на атомном уровне изучения вещества. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул.
В 1810 году Д. Дальтон, желая показать своим слушателям как атомы, комбинируясь образуют химические соединения, построил деревянные модели шаров и стержней. Эти модели оказались превосходным наглядным пособием.
Молекула воды имеет плоскость симметрии. Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения. Все твердые тела являются кристаллами, а кристаллы обладают симметрией.
На рисунке вы видите кристаллы топаза, берилла, дымчатого кварца.
Симметрия внешней формы хорошо видна на рисунке. Кристаллы каменной соли, кварца, арагонита.
Слайд 20-23
Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией. У настоящих природных снежинок всегда шесть осей симметрии.
Слайд 24-26
Симметрия играет огромную роль в искусстве, особенно ясную в орнаментах и архитектуре.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Например, здание Большого театра в Москве. Именно с симметрией связана красота этого здания. Также примером, может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Это композиция из десяти различных храмов, каждый храм геометрически симметричен. Однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни осевой симметрией.
Слайд 27
Поразительные по красоте примеры симметрии дают кружева.
Слайд 28
Симметрия использовалась разными народами для крашения предметов быта и культуры.
Слайд 29
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется орнаментом. На практике орнаменты встречаются в различных видах: настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика. Орнаменты применяют маляры и художники при оформление комнаты. Долгие века люди верили в охранную силу орнамента, считали, что он оберегает от бед и приносит счастье, благополучие. Постепенно функция оберега была утрачена, но сохранилась его основная задача – сделать предмет более нарядным и привлекательным, художественно выразительным.
Слайд 30
Орнаменты покрывали стены и в древности, вы видите древнеегипетский орнамент. Красивы орнаменты, созданные современным известным голландским художником Эшером. Голландский художник Морис Эшер в своих оригинальных, ни на что не похожих картинах – головоломках с необыкновенной изобретательностью использует эффекты симметрии. Не правда ли, плотно сплетенные друг с другом изображения белых, красных и черных ящериц, которые заполняют без остатка всю плоскость картины, воспринимаются как своеобразный гимн всепроникающей симметрии.
Слайд 31
Зеркальную симметрию также называют геральдической, так как ее можно увидеть в гербах разных стран. Двуглавый орел хорошо послужил государству Российскому, как символ объединенных русских земель вокруг богатого города и умного, волевого лидера. В 1997 году отмечался полутысячилетний юбилей Российского герба. За 5 веков исторической судьбы России многократно менялись, но государственный герб нашей страны – ее изобразительное имя неизменно служили Родине, и остаются ее главным символом в наши дни.
Слайд 32
Некоторые буквы обладают симметрией. Например, буква А. М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии. Буквы В, З, К, С, Э, Е имеют горизонтальную симметрию.
А буква Ж, Н, О, Ф, Х имеют по обе оси симметрии. Симметрию можно увидеть и в словах: радар, заказ, казак, шалаш. Такие слова, читающиеся одинаково в обоих направлениях, называются палиндромами. Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): «Искать такси», « Аргентина манит негра»,
«Ценит негра аргентинец», «Леша на полке клопа нашел». Ими увлекались многие поэты.
Слайд 33 Симметрия в музыке.
Душа музыки, ритм, состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения. Правильное повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность музыки. Мы с большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот. Самое непосредственное отношение имеет к симметрии композиция. Великий немецкий поэт И. В. Гете утверждал, что всякая композиция основана на скрытой симметрии. Владеть законами композиции – это значит владеть законами симметрии.
Слайд 34
Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон. Мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая- либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.
Литература:
1. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. Книга для учащихся 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений: - М:Просвещение, 1996.
2. Пойа Д. Математическое открытие.- М.:Наука, 1970
3. Баткин Л. М. Леонардо да Винчи и особенности ренесанского творческого мышления. – М. : Искусство, 1990
4. Гутков А. Мир архитектуры: Язык архитектуры. –М.: Мол. Гвардия, 1985
5. Н.В. Корнева, Ю.Е. Новоселова, Е.С. Тимакина Интегрированный урок 9-го класса