Если все векторы напряжений параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние называется плоским (рис. 1). Иначе: напряженное состояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю.
Рисунок 1.
Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).
Направления напряжений на рис. 1 приняты за положительные. Угол α положителен, если он откладывается от оси х к оси у. На площадке с нормалью n:
Нормальное напряжение σ n положительно, если оно растягивающее. Положительное напряжение показано на рис. 1. Правило знаков для по формуле (1) то же самое, что для напряжений по формуле (1).
Данное здесь правило знаков относится к наклонным площадкам. В статье «Объёмное напряженное состояние» сформулировано правило знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для напряжений на площадках, перпендикулярных осям координат. Это правило знаков принято в теории упругости.
Главные напряжения на площадках, перпендикулярных плоскости напряжений:
(Поскольку здесь рассматриваются только два главных напряжения, они обозначены через σ 1 и σ 2 , хотя может оказаться, что σ 2 <0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:
Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к первой и второй главным площадкам.
Если главные напряжения σ 1 и σ 2 имеют одинаковый знак, то наибольшее касательное напряжение действует на площадке, расположенной под углом 45° к плоскости напряжений (плоскости ху). В этом случае:
В стенке балки (здесь имеется в виду обычная балка, а не балка-стенка) при ее изгибе силами реализуется частный случай плоского напряженного состояния. В стенках балки одно из нормальных напряжений σ y равно нулю. В этом случае напряжения получатся по формулам (1), (2) и (4), если в этих формулах положить σ y =0. Положение первой главной площадки определяется формулой (3).
РАСТЯЖЕНИЕ ПО ДВУМ НАПРАВЛЕНИЯМ (рис 2).
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Лекция 15
Примером конструкции, все точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, к примеру, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.
В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. Отсюда понятно внимание, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ уделяется анализу этого вида напряженного состояния.
При изображении элементарного параллелепипеда, находящегося в плоском напряженном состоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1).Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рисунке компоненты напряженного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений
t xy = t yx , плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами - s x , s y , t xy . .
НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Выделим из элемента͵ изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy . Положение наклонной площадки и связанных с ней осей x 1 , y 1 зададим с помощью угла a, который будем считать положительным при повороте осей против часовой стрелки.
Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2, напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения s x , s y , t xy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA , тогда площади координатных граней найдутся так:
dA x = dA cos a,
dA y = dA sin a.
Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x 1 и y 1:
Сократив на общий множитель dA , и выполнив элементарные преобразования, получим
В случае если учесть, что
выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:
На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x 1 ,y 1 . Напряжения на его гранях, нормальных к оси x 1 , определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y 1 , крайне важно вместо угла a подставить значение a + 90°:
Касательные напряжения и в повернутой системе координат x 1 y 1 подчиняются закону парности, т. е.
Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее - ϶ᴛᴏ площадка, на которой нет напряжений, ᴛ.ᴇ. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис.15.1). Найдем перпендикулярные ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим
Угол a 0 показывает направление нормали к главной площадке, или главное направление , в связи с этим его называют главным углом. Поскольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом p/2 , то угол
a 0 + p/2 – тоже главный угол. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всего имеется три главных площадки, причем все они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество – к примеру, при всестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всех проходящих через точку площадках.
Стоит сказать, что для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла a последовательно значения a 0 и
Здесь учтено, что
Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство
А так же учесть формулу (15.4). Тогда получим
Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений s 1 ,s 2 ,s 3 , учитывая, что s 1 – алгебраически наибольшее, а s 3 – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим
В случае если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь
Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны
НАИБОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В случае если мысленно поворачивать оси x 1 y 1 и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла a нормальное напряжение достигнет максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение будет в данный момент наименьшим.
Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение , рассматривая его как функцию аргумента a:
Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.
Чтобы найти наибольшее по величине касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол a будет теперь отсчитываться от направления s 1 , получат вид:
Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда
sin 2a = ±1 . Их максимальное значение при этом равно
Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГИ МОРА
Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:
Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ :
Индекс “ α “, в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на данный угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R . Изображенная на рис. 15.5 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции принято называть кругом Мора, по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835 – 1918 ᴦ.ᴦ.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τ α в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σ α, τ α ) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам, у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K ’, лежащие на противоположных концах диаметра.
Здесь учтено, что
поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90 0 дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5)
В случае если в качестве исходных площадок выступают главные, ᴛ.ᴇ. известна величина σ 1 и σ 2 , круг Мора легко строится по точкам 1 и 2. Луч, проведённый из центра круга под углом 2a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. При этом, удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом a. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A , будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. В случае если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ - t наносятся изображающие точки K (σ x ,t xy ) и K ’(σ y ,-t xy ), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На рис. 15.7 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K ’A . Луч AM , проведённый из полюса под углом a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку M (σ a ,t a), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы a 0 и a 0 +90 0 . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.
б) Напряжение на грани элемента͵ повёрнутого на 45 0 , найдём по (15.1)
Нормальное напряжение на перпендикулярной площадке
(a = 45 0 +90 0) будет равно
в) Наибольшие касательные напряжения найдём по (15.8)
2. Графическое решение.
Построим круг Мора по изображающим точкам K (160,40) и K ’ (60, -40)
Полюс круга A найдем на пересечении нормалей к исходным площадкам.
Круг пересечёт горизонтальную ось в точках 1 и 2. Точка 1 соответствует главному напряжению σ 1 =174 МПа, точка 2 – значению главного напряжения σ 2 = 46 МПа. Луч, проведенный из полюса A через точки 1 и 2, покажет значение главных углов. Напряжения на площадке, повёрнутой на 45 0 к исходной, равны координатам изображающей точки M , находящейся на пересечении окружности с лучом, проведенным из полюса A под углом 45 0 . Как видим, графическое решение задачи анализа напряжённого состояния совпадает с аналитическим.
При плоском напряженном состоянии в одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю. Совместим эту площадку с плоскостью чертежа и выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (элементарную) треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота (в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа) равна основания призмы представляют собой прямоугольные треугольники (рис. 2.3, а).
Приложим к выделенной призме те же напряжения, которые действовали на нее до выделения ее из тела. В связи с тем, что все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по ее боковым граням можно считать распределенными равномерно и равными напряжениям в площадках, проходящих параллельно ее граням.
Выберем систему координат, совместив оси и у (в плоскости чертежа) с гранями призмы (рис. 2.3, а). Обозначим напряжения, параллельные оси и - оси у.
Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклоненной под углом а к грани, по которой действуют напряжения обозначим
Примем следующее правило знаков. Растягивающее нормальное напряжение положительно, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор стремится вращать призму по часовой стрелке относительно любой точки, лежащей на внутренней нормали к этой грани. Угол а положителен, если грань призмы (по которой действует напряжение ) для совмещения с гранью (по которой действует напряжение ) поворачивается на этот угол против часовой стрелки. На рис. 2.3, а все напряжения, а также угол а положительны.
Умножив каждое из напряжений на площадь грани, по которой оно действует, получим систему сосредоточенных сил Ту и Та, приложенных в центрах тяжести соответствующих граней (рис. 2.3, б):
Эти силы должны удовлетворять всем уравнениям равновесия, так как призма, выделенная из тела, находится в равновесии.
Составим следующие уравнения равновесия:
В уравнение (4.3) силы не входят, так как линии их действия проходят через точку (начало системы координат ).
Подставив в уравнение (4.3) выражения и Ту из равенств (1.3), получим
Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между называется законом парности касательных напряжений.
Из закона парности касательных напряжений следует, что в двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения направлены либо к линии пересечения этих площадок (рис. 3.3, а), либо от нее (рис. 3.3, б).
Подставим в уравнения (2.3) и (3.3) выражения сил из равенств (1.3):
Сократим эти уравнения на , учитывая при этом, что (см. рис. 2.3, а):
Теперь заменим на [см. формулу (5.3)]:
Формулы (6.3) и (7.3) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения в любых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.
Определим по формуле (6.3) сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол а равен а для другой
т. е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то в другой они имеют минимальное значение.
При исследовании напряженного состояния сначала определяют напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку тела.
Если одна из этих площадок оказывается свободной от напряжении, то напряженное состояние является плоским. Бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда, выделенный из тела указанными тремя площадками и тремя другими, им параллельными, показан на рис. 4.3, с. Его принято изображать в виде прямоугольника (или квадрата), представляющего собой проекцию элемента на плоскость, совпадающую с площадкой, свободной от напряжений (рис. 4.3,б). Значения напряжений достаточно указывать на двух взаимно перпендикулярных боковых гранях параллелепипеда.
Если требуется показать напряжения, возникающие не в одной паре взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через данную точку, а в нескольких, то соответствующие прямоугольники (или квадраты) могут изображаться, как это, например, показано на рис. 4.3, в.
По напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках можно вычислить [с помощью формул (6.3) и (7.3)] напряжения в любых площадках; поэтому рисунок (например, 4.3, б, в), на котором показаны эти напряжения, можно рассматривать как изображение напряженного состояния в точке.
Любое напряженное состояние можно рассматривать как сумму нескольких напряженных состояний (принцип наложения напряжений). Так, например, напряженное состояние, показанное на рис. 5.3, а, можно рассматривать как сумму напряженных состояний, изображенных на рис. 5.3, б,в.
Плоское напряженное состояние (σ z = 0; 0)
Плоская пластина нагружена в ее плоскости (рис.2.13, а). Толщина её δ очень мала по сравнению с размерами а и с. Если выделить элемент с размерами dх, dy и δ в любой точке пластины, то на его гранях возникнут напряжения σ х, σ y , τ xy и τ yx (рис.2.13, б).
На боковых гранях этого элемента напряжения отсутствуют: σ z = 0; τ zx =0; τ zy = 0, и мы имеем плоское напряженное состояние тела, то есть две параллельных грани бесконечно малого элемента, выделенного в любой точке тела, свободны от напряжений. Напряжения σ х, σ y , τ xy и τ yx равномерно распределены по толщине пластины.
Рисунок 2.13 – Схема определения плоского напряженного состояния
При плоском напряженном состоянии в каждой точке изменяется толщина пластины. Деформация в направлении оси Z по закону Гука равна:
Толщина пластины в каждой точке вследствие поперечной деформации изменяется на величину δ = z δ = - (σ x + σ y).
Плоская деформация ( z = 0; σ z 0)
Имеем очень длинное цилиндрическое тело, равномерно нагружен-ное по всей длине в (рис.2.14, а). Мысленно рассечем это тело на отде-льные слои толщиной δ=1. Если бы эти слои испытывали плоское напря-женное состояние, то в каждой точке пластины толщина изменялась бы на величину Δδ. Но в результате противодействия соседних слоёв это невоз-можно, поэтому каждый слой деформируется в условиях (рис.2.14, б), где он как бы зажат между двумя абсолютно твердыми поверхностями, прину-дительно обеспечивающими условия неизменяемости толщины слоя
Δδ = 0. При этом перемещение во всех точках тела происходит только в параллельных плоскостях XY (см.рис.2.14, б). Так как перемещения W, U, V относительно оси Z отсутствуют, то имеем:
Рисунок 2.14 – Схема определения плоской деформации
Это и есть плоская деформация. По закону Гука имеем:
Z = (σ z - μσ x - μσ y) / E = 0 .
В местах, где пластина должна была утолщаться, появятся сжимаю-щие напряжения σ z , а в местах возможного утонения – растягивающие напряжения σ z (рис.2.14,в) В обоих случаях
Выделим вокруг некоторой точки К тела параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины. На гранях этого элементарного параллелепипеда в общем случае могут действовать нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений на всевозможных площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке . Доказано, что можно так расположить в пространстве параллелепипед, что на его гранях останутся только нормальные напряжения. Такие грани называются главными площадками , а напряжения на них – главными напряжениями . Наибольшее главное напряжение обозначается σ 1 , наименьшее – σ 3 , а промежуточное – σ 2 , поэтому .
Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное (рис. 3.1).
Рис.1. Виды напряженного состояния в точке: а – линейное; б – плоское; в – объемное
2. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим более подробно плоское напряженное состояние. Выделим из тонкой пластинки толщиной t бесконечно малый элемент, по боковым граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 2, а ). Принимаем, что напряжения по толщине пластинки распределены равномерно, поэтому конкретный размер t не влияет на дальнейший анализ. Будем смотреть на элемент с острия оси z , а напряжения на боковых гранях элемента считать положительными (рис. 2, б ).
Рис. 2. Плоское напряженное состояние
Согласно закону парности касательных напряжений , т. е. касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках равны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях.
Главные площадки (рис. 3) составляют угол a 0 с исходными площадками, величину которого определяют из выражения
Рис. 3. Главные площадки и главные напряжения
Главные напряжения, обозначаемые как и, вычисляют по формуле
Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 45°
Деформации бесконечно малого элемента при плоском напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации
и угловая деформация (относительный сдвиг ) в виде угла сдвига (рис. 4,б ).
Рис.4. Плоское напряженное состояние: а – напряжения; б – деформации
Между относительными линейными деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука:
Здесь – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода);– коэффициент Пуассона.
Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 5).
Такой случай называется чистым сдвигом , а исходные площадки называются площадками чистого сдвига. Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений ;
Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину , которая называетсяуглом сдвига (рис. 4 и 5).
Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге
где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см 2 .
Три характеристики упругих свойств изотропного материала оказываются связанными между собой зависимостью, которую наиболее часто записывают в следующей форме:
