Для всех топографических карт в нашей стране применяется проекция Гаусса-Крюгера. Проекция равноугольная, средний меридиан изображается прямой линией без искажений, экватор изображается прямой, перпендикулярной к среднему меридиану. Все остальные меридианы криволинейны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора.
Полоса отображения в проекции представляет собой шестиградусную или трехградусную зону эллипсоида.
Координатными осями для каждой зоны являются прямолинейный средний меридиан – ось абсцисс и прямолинейный экватор – ось ординат. Счет координатных зон при разбиении земного эллипсоида ведется с запада на восток. Долгота осевого меридиана первой зоны равна 3° (т.к. он посередине зоны, а отсчет этой зоны идет от Гринвичского меридиана). Номер зоны N и долгота осевого меридиана L° связаны равенством
L° = 6° N – 3°
Номер зоны N в проекции Гаусса-Крюгера отличается от номера колонны карты масштаба 1:1 000 000 на 30.
Например, если номенклатура листа карты N-45, то это значит, что лист расположен в 15 зоне проекции Гаусса-Крюгера и его осевой меридиан имеет долготу
L° = 6°х15-3° = 90°-3° = 87°
Для построения топографических карт России прибегают к многополосному изображению земного эллипсоида, когда на плоскость переносят зоны эллипсоида, протяженностью 6° (рис.2.20).
Каждая зона строится на отдельном касательном поперечном цилиндре так, что ось касания проходит по среднему меридиану зоны PP΄, называемому осевым (рис.2.21). У каждой зоны свой осевой меридиан.
Рис. 2.20. Схема многополосного изображения земного эллипсоида
При развертывании цилиндра в плоскость осевой меридиан изображается без искажения прямой PP΄ (рис.2.22) и его принимают за ось xx . Экватор EE΄ также изображается прямой, перпендикулярной к осевому меридиану. Он соответствует оси yy . Началом координат в каждой зоне служит точка О – пересечение осевого меридиана и экватора. Таким образом, положение любой точки определяется прямоугольными координатами x и y .
Рис. 2.21. Схема развертывания поверхности эллипсоида
с помощью цилиндра
Рис. 2.22. Результат развертывания цилиндра на плоскости
Разграфка и номенклатура листов топографических карт и планов
Классификация карт и планов по масштабу осуществляется следующим образом:
Лист топографической карты любого масштаба по размерам должен быть удобным как при его создании, печатании тиража, так и при пользовании им. С учетом этого установлено, что размер одного листа не должен быть больше 50см х 50 см. Но на одном таком листе изображается незначительный участок местности, поэтому карты на значительную (обширную) территорию являются многолистными.
Определение 2.9. Система разделения карты или плана на отдельные листы называется разграфкой карты (плана).
Определение 2.10. Обозначение отдельных листов многолистных топографических карт и планов в единой системе есть номенклатура .
Система разграфки и номенклатура листов карт и планов отдельных масштабов дают возможность определять географические координаты углов рамки любого листа топографической карты всего масштабного ряда, а также по географическим координатам точки находить номенклатуру листа карты любого масштаба, на котором эта точка находится, а также находить прямоугольные координаты. Лист карты масштаба 1: 1 000 000 получается разбиением параллелями через 4°, а меридианами – через 6°.
Географические координаты углов рамки листа карты масштаба 1: 1 000 000 по его номенклатуре определяют следующим образом.
Порядковый номер в виде буквы латинского алфавита, которая принимает конкретное значение – числа натурального ряда и которой обозначен ряд, умножают на 4° и получают географическую (геодезическую) широту северной параллели. Для колонн с номерами 31-60 (к востоку от Гринвича) номер колонн уменьшают на 30. Тогда формула для расчета географической (геодезической) долготы восточного меридиана (правого угла листа) будет выглядеть
6°=М°
Соответствие масштабов и номенклатуры листов приведено в табл.1.
Таблица 1. Масштабы и номенклатура листов карты
Последние две строки для планов местности с площадью S > 20 км 2 .
Пример . Пусть N = 14 – порядковый номер ряда, тогда
СШ = 14 х 4° = 56°; ЮШ = 56° – 4° = 52° (учли, что отсчет угла идет от плоскости экватора)
ВД = 6° = 42°
ЗД = 42° – 6° = 36°
Переход от листа карты масштаба 1: 1 000 000 к листам карт других масштабов осуществляется по простейшему алгоритму, приведенному на рис. 2.23.
Известна также как Поперечная проекция Меркатора, эта проекция подобна проекции Меркатора, но в данном случае цилиндр разворачивается не вокруг экватора, а вокруг одного из меридианов. Результатом является равноугольная проекция, которая не сохраняет правильные направления. Центральный меридиан находится в регионе, который может быть выбран. По центральному меридиану искажения всех свойств объектов региона – минимальные. Эта проекция наиболее подходит для картографирования территорий, протяженных с севера на юг. Система координат Гаусса-Крюгера основывается на проекции Гаусса-Крюгера.
Метод проецирования
Поперечная цилиндрическая проекция с центральным меридианом, расположенным в конкретном регионе. В системе координат Гаусса-Крюгера поверхность Земли разделена на 60 зон шириной шесть градусов, и центральный меридиан первой зоны – 177° ЗД. Проецирование осуществляется в каждой зоне отдельно на цилиндр, ось которого поворачивается в плоскости экватора на 6 градусов от зоны к зоне. Коэффициент масштаба равен 1,000, а не 0,9996, в отличие от UTM. В некоторых странах к 500 000-метровому сдвигу по Y прибавляется число, которое равно номеру зоны. Зона 5 системы координат Гаусса-Крюгера может иметь значения сдвига по оси X – 500 000 метров или 5 500 000 метров.
Линии контакта
Любой меридиан для касательной проекции. (Гаусса-Крюгера). Две линии на одинаковом расстоянии от центрального меридиана для секущей проекции (Поперечной проекции Меркатора).
Линейные элементы картографической сетки
Экватор и центральный меридиан зоны.
Свойства
Shape
Равноугольная. Сохраняются малые формы. Искажение формы больших территорий увеличивается при удалении от центрального меридиана.
Область
Искажение возрастает по мере удаления от центрального меридиана.
Направление
Локальные углы точны везде.
Расстояние (Distance)
Точный масштаб вдоль центрального меридиана, если масштабный коэффициент равен 1,0. Если он меньше 1,0, то точный масштаб сохраняется на прямых линиях, расположенных на равных расстояниях по обе стороны от центрального меридиана.
Ограничения
Объекты сфероида или эллипсоида не могут быть спроецированы за пределы 90° от центрального меридиана. Фактически протяженность сфероида или эллипсоида должна быть в пределах 10-12 градусов по обе стороны от центрального меридиана. За пределами этого диапазона, спроецированные данные могут не проецироваться в ту же самую позицию при обратной операции. Для данных на сфере этих ограничений не существует.
Новое проекция, называемая Поперечная Меркатора комплексная (Transverse_Mercator_complex), добавлена в механизм проецирования в ArcGIS. Это обеспечивает точное прямое и обратное преобразование UTM до 80 градусов от центрального меридиана. Привлечение комплексного математического метода делает это преобразование предпочтительным.
Области использования
Система координат Гаусса-Крюгера. Топографическое картографирование в СССР и России в масштабах от 1:10 000 до 1:500 000 всей поверхности Земли. В этой системе Земной шар делится на зоны шириной по шесть градусов. Коэффициент масштаба равен 1, сдвиг по оси X равен 500 000 метров и южное полушарие также имеет сдвиг по оси Y – 10000000 метров. Центральный меридиан зоны 1 – 177° ЗД. В некоторых странах добавляют номер зоны в величину сдвига на восток 500 000 метров. В пятой зоне в ГК сдвиг по оси Х равен 500000 или 5500000 метров. Также существуют 3-х градусные зоны Гаусса-Крюгера, используемые для съемок в масштабе 1:5 000 и крупнее.
Система UTM подобна системе Гаусса-Крюгера. Коэффициент масштаба равен 0,9996 и центральный меридиан первой UTM-зоны – 177 градусов ЗД. Сдвиг по оси X равен 500 000 метров и южное полушарие также имеет сдвиг по оси Y – 10000000 метров.
Чтобы изобразить земную поверхность на плоскости, вначале переходят от ее физической формы к математической, в качестве которой принимают поверхность эллипсоида вращения (сфероида) или шара, и только затем математическую поверхность Земли изображают на плоскости.
Так как без искажений поверхность шара (или эллипсоида) изобразить на плоскости невозможно, то строят условные изображения земной поверхности, основанные на некоторых заранее принятых математических зависимостях между координатами точек на шаре и их изображениями на плоскости. Такие способы условного изображения земной поверхности на плоскости называют картографическими проекциями.
Разработаны различные виды проекций по характеру искажений. В одних проекциях искажаются все элементы - горизонтальные углы, линии, но сохраняется отношение площадей. Такие проекции называют равновеликими (эквивалентными). В других не искажаются углы, вследствие чего сохраняется подобие бесконечно малых фигур. Такие проекции называют равноугольными (конформными). Для составления топографических карт на территории б. СССР с 1928 г. принята равноугольная проекция Гаусса-Крюгера.
Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверхность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 11.1, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной и 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой карты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мельче применяют шестиградусную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.
Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифрами, начиная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21 o … Долготу осевого меридиана можно определить по формуле:
Всего на территории б. СССР создано 29 шестиградусных зон с номерами от 4 по 32 и соответственно установлено 29 осевых меридианов со стандартными долготами 21, 27,…, 183, 189°.
Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон. Следовательно, долготы осевых меридианов трехградусных зон кратны трем.
Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаимно перпендикулярными прямыми линиями, а остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах (рис. 11. 1,6). Все абсциссы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ординатам (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Например, в зоне 7 точки А и В имеют действительные ординаты: у А = +14 837,4 м, у в = -206368,7 м. Преобразованные ординаты будут на 7500000 м больше, т.е. у a = 7514 Х37,4 м, у в = 7293631,3 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их оставляют без изменения.
Проекция Гаусса-Крюгера
Как следует из предыдущих параграфов, здесь имеется в виду, что проектирование поверхности Земли производится на цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с плоскостью экватора. В проекциях Меркатора и Ламберта ось вспомогательного цилиндра совпадает с осью вращения Земли. Кроме того, как следует из названия параграфа, проекция равноугольная, а это значит, что направления, находящиеся в горизонтальной плоскости, на изображении и на земной поверхности сохраняются, а также сохраняются соответственно и горизонтальные углы между направлениями. Но, как примерно сказал М.В.Ломоносов, если где-то сколько-то прибавится, то где-то столько же и убавится. В этой проекции сохраняются углы, но искажается всё остальное: масштабы длин и площадей, формы объектов. Единственным неискаженным изображением поверхности Земли может быть только глобус, т.е. объемное изображение. Но представьте себе, чтобы получить изображение Земли в масштабе хотя бы 1:1000000, надо будет изготовить глобус диаметром более 12,5 метров. В аудиторию не занесешь. Зато, правда, и не вынесешь. А если масштаб крупнее? Вот и приходится идти на уступки: одно изображать без искажений, а на другое при этом не обращать пристального внимания.
Поперечно-цилиндрическая проекция для изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости была разработана немецким геодезистом Зольднером и французским геодезистом Кассини . Впоследствии К.Гаусс применил к этой проекции принцип равноугольности, причём масштабы изображения в новой проекции в каждой её точке в любом направлении были одинаковыми. Информация о новой проекции была опубликована К.Гауссом в 1825 году, а спустя почти 90 лет, в 1912 году, ученый Л.И.Крюгер (1857 – 1923) опубликовал рабочие формулы этой проекции. Сейчас указанная проекция названа именами Гаусса и Крюгера.
Предположим, что фигурой Земли является шар радиусом R. Построим вокруг Земли цилиндрическую поверхность, касающуюся поверхности шара по меридиану (рис. 2.14). Ось цилиндрической поверхности в этом случае должна совпасть с плоскостью экватора. В проекции Гаусса на цилиндр проектируется только часть поверхности шара (или эллипсоида), ограниченная по долготе меридианами по 3 о в стороны от меридиана, касательного к цилиндру, так называемая 6 о (шестиградусная) зона . Всего таких зон для всей Земли получается 60.
Рис.2.14. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.
Меридиан зоны, касательный к цилиндрической поверхности, называют центральным или осевым меридианом зоны . Счёт зон ведут на восток от Гринвичского меридиана и обозначают их арабскими цифрами (1, 2, ..., 60). Осевой меридиан 1-й зоны имеет восточную долготу 3 о. Долготу осевого меридиана любой зоны с номером n в восточном полушарии можно определить по формуле
, (2.7)
а в западном полушарии, для зон, номера которых больше 30, – по формуле
Но не во всех случаях может применяться 6 о -ная проекция зоны. Очевидно, что линией нулевых искажений в этой проекции является в каждой зоне её осевой меридиан. Для всех остальных точек земной поверхности (имеется в виду её геометрической шаровидной формы) существует «зазор» с вспомогательной цилиндрической поверхностью. А это значит, что искажения постепенно увеличиваются при перемещении от осевого меридиана на запад или восток и достигают максимального своего значения на краях зон. Как видно на рис. 2.14, точка А , находящаяся на крайнем (восточном) меридиане 1-й зоны на плоскости (на изображении) удалится от самой себя в другое место и окажется на крайнем (западном) меридиане 2-й зоны.
В маркшейдерии такие искажения 6 о -ных зон являются слишком большими, поэтому маркшейдеры используют для составления картографических материалов тоже проекцию Гаусса-Крюгера, но с применением 3 о -ных (трехградусних) зон. Искажения на изображениях, построенных в 3 о -ных зонах, в четыре раза меньше, чем искажения, получающиеся в 6 о -ных зонах. Осевой меридиан 1-ой 3 о -ной зоны совпадает с осевым меридианом 1-ой 6 о -ной зоны. Осевой меридиан 2-й 3 о -ной зоны совпадает с крайними меридианами 1-й и 2-й 6 о -ных зон и т.д. Всего получается 120 3 о -ных зон.
Основные свойства проекции Гаусса-Крюгера следующие:
Осевой меридиан зоны изображается без искажений и представляет собой на плоскости прямую линию. Все другие меридианы этой зоны изображаются сложными кривыми;
Экватор в проекции представляет собой прямую линию, перпендикулярную проекции осевого меридиана. Все другие параллели данной зоны являются сложными кривыми;
Направления на местности в проекции передаются практически без искажений;
Сохраняется масштаб изображения (частный масштаб) малых участков поверхности Земли.
Обратите внимание на следующее. Выше мы говорили о том, что на цилиндрическую поверхность выполняют проектирование с поверхности шара. Но это не совсем так. Вернее, совсем даже не так. Геометрическая вспомогательная поверхность Земли, поверхность относимости, представляет, как Вы уже знаете, не поверхность шара, а поверхность референц-эллипсоида. Поэтому и вспомогательная цилиндрическая поверхность, на которую производится проектирование земной поверхности, должна соответствовать этому, т.е. сопрягаться с меридианом, представляющим собой не окружность, а эллипс. Таким образом, для проектирования обязательно должен использоваться эллиптический цилиндр.
§ 11. Разграфка и номенклатура топографических карт и планов
Понятие номенклатуры в картогафии абсолютно отличается от её других значений в нашей повседневной негеодезической жизни (лат. – nomenklatura ). Это и совокупность или перечень названий, терминов, употребляющихся в какой-либо отрасли науки, техники, искусства и т.п., это и круг должностных лиц, назначенных вышестоящей инстанцией. Смысловое понятие номенклатуры в геодезии исходит из того, что принимаемые положения должны обеспечивать однозначное обозначение листов топографических либо каких других карт различных масштабов. Нельзя сказать, что принятая картографами в работе номенклатура является удобной. Не будет удобной и другая какая-нибудь система обозначений, поскольку так много последовательных делений от первичного листа карты, что остается только надеяться на свою память либо пользоваться справочником, что во многом в этих случаях надежнее.
Рис. 2.15. Разграфка и номенклатура топографических карт масштаба 1:1000000.
Номенклатура – это система обозначения листов карт разных масштабов.
Система деления карт на отдельные листы с помощью линий картографической сетки (линий меридианов и параллелей) или прямоугольной координатной сетки (координатных линий) называется разграфкой .
В основу деления карт на листы в нашей стране принята международная разграфка карт масштаба 1:1000000 (рис. 2.15). Разбивка на ряды параллелями производится от экватора через каждые 4 о широты. Ряды обозначают буквами латинского алфавита: A, В, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, W. Колонны в своих границах совпадают с 6 о зонами проекции Гаусса-Крюгера, но нумерация их ведется от меридиана ±180 о на восток. Таким образом, номер колонны отличается от номера зоны на 30 единиц в ту или другую стороны. Колонны обозначаются (по номерам) арабскими цифрами.
Предположим, что номер колонны 47. Тогда номер соответствующей зоны будет 47 – 30 = 17. Если номер колонны меньше 30, то для определения номера зоны следует к номеру колонны прибавить 30.
Номенклатура первого листа топографической карты масштаба 1: 1000000 составляется из буквы ряда и номера колонны. Например, Н – 47.
Других листов карты масштаба 1:1000000 с таким обозначением нет. Но Вы можете задать вполне разумный вопрос: «Для обозначения рядов картографы использовали все буквы латинского алфавита для северного полушария. А как же быть тогда с листами карт на южное полушарие? Придется повториться?» Зачем повторяться. Номенклатура – это система обозначений. Так и давайте чуть-чуть изменим эту систему для южного полушария. Например, в южном полушарии подобный лист обозначить как 47 – Н. И никаких проблем и вопросов. А можно придумать и другое, например, брать в скобки (Н) для южного полушария. И снова – никаких проблем. И снова с Вашей стороны разумный вопрос: «Ну а как же на самом деле обозначают?» Проще, чем мы с Вами подумали: после номенклатуры в скобках указывают (Ю.П.). Наши с Вами способы все-таки поинтереснее.
Разграфку более крупных масштабов из листа 1:1000000 можно проследить по приведённой ниже схеме, табл. 2.2 и рисункам 2.16 – 2.21, относящимся к приведённому ниже примеру.
Современные представления о форме и размерах Земли.
В геодезии форму Земли определяют как тело, ограниченное уровенной поверхностью. Уровенная поверхность – поверхность, которая пересекает отвесные линии под прямым углом. Идеальную фигуру, ограниченную уровенной поверхностью называют геоидом и принимают за общую фигуру Земли.Вследствие особой сложности, геометрической направленности геоида его заменяют другой фигурой – эллипсоидом, который получается от вращения эллипса вокруг его малой оси PP1. (a=6378245м; b=6356863м; сжатие a=(a-b)/a=1/298,3; R=6371,11км).
Плоские изображения участков земной поверхности.
Уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции небольшого участка местности называется планом.На плане местность изображается без заметных искажений, так как небольшой участок поверхности можно принять за плоскость.Картой называется уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции участка земной поверхности в принятой картографической проекции, то-есть, с учетом кривизны поверхности относимости. При проэктировании небольших участков земной поверхности малую часть уровенной поверхности можно заменить плоскостью. В этом случае отвесные линии параллельны между собой и горизонтальная проэкция земной поверхности преобразуется в ортогональную проекцию. Проекция линии местности на горизонтальную плоскость называется горизонтальным проложением. Формула гориз пролож(s=S*cosv). В геодезии также применяется центральная и картографическая проэкции.
Географическая система координат.
Положение точки на поверхности Земли определяется двумя координатами - широтой и долготой. Геодезическая сист коорд относится к поверхности эллипсоида вращения. Геодез широта(В) – угол между нормалью и плоскостью экватора. 0º≤В≤90º Геодез долгота (L) – угол между плоскостью начального меридиана(Гринвича) и плоскостью меридиана данной точки. Долготы изменяются от 0º до 180º, к западу от Гринвича - западные и к востоку - восточные. Все точки одного меридиана имеют одинаковую долготу. Астрономическая СК относится к поверхности сферы. Астроном широта(φ) – угол между между отвесом и плоскостью экватора. Астроном долгота (λ) – угол между плоскостью меридиана данной точки и плоскостью начального меридиана. 0º≤φ≤90º 0º≤λ≤180º
Сближение меридианов.
Угол между полуденными линиями двух точек, лежащих на одной параллели, называется сближением меридианов этих точек.γ = Δ λ * Sin(φ) Сближение меридианов двух точек, лежащих на одной широте, равно разности долгот этих точек, умноженной на синус широты.
Понятие о равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера.
Сущность этой проекции заключается в следующем.
1.Земной эллипсоид меридианами разбивается на шести и трехградусные зоны. Средний меридиан называют осевым. Нумерация зон ведется на восток. Осевые меридианы лежат на внутренней поверхности цилиндра, в котором сферическая поверхность разбивается на отдельные участки(всего 60).
2.Каждая зона в отдельности конфермно проектируется на плоскость таким образом, чтобы осевой меридиан изображался прямой линией без искажений (т.е. с точным сохранением длин вдоль осевого меридиана). Экватор также изобразится прямой линией. За начало счета координат в каждой зоне принимается пересечение изображения осевого меридиана – оси абсциссе х и экватора – оси ординат у. Линии, параллельные осевому меридиану и экватору образуют прямоугольную координатную сетку.
3.Искажения длин линии в проекции Гаусса-Крюгера возрастают по мере удаления от осевого меридиана пропорционально квадрату ординаты. Эти искажения на краях шестиградусной зоны могут достигать величины порядка 1/1500 длины линии, а в трехградусной зоне 1/6000. Для отрезка с координатами конечных точек х1у1 и х2у2, формула поправки за искажение длины линии на плоскости имеет вид, где и R- средний радиус кривизны.В съемках крупного масштаба такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае, при расположении участка на краю зоны, следует или учитывать искажения, или применять частную систему координат с осевым меридианом, проходящим примерно через середину участка работ.