"Scuola secondaria di base Kosinskaya"
Lezione utilizzando le TIC
Soluzione equazioni quadratiche secondo la formula.
Sviluppatore:
Cherevina Oksana Nikolaevna
insegnante di matematica
Bersaglio:
fissare la soluzione delle equazioni quadratiche utilizzando la formula,
contribuire allo sviluppo negli scolari del desiderio e della necessità di generalizzare i fatti studiati,
sviluppare indipendenza e creatività.
Attrezzatura:
dettato matematico (Presentazione 1),
carte con compiti multilivello per lavoro indipendente,
tabella delle formule per risolvere le equazioni quadratiche (nell'angolo “Per aiutare con la lezione”),
stampa del “Vecchio Problema” (numero di studenti),
tabella di valutazione del punteggio sul tabellone.
Piano generale:
Controllo dei compiti
Dettatura matematica.
Esercizi orali.
Risoluzione di esercizi di consolidamento.
Lavoro indipendente.
Informazioni storiche.
Avanzamento della lezione.
Momento dell'organizzazione.
Controllo dei compiti.
- Ragazzi, quali equazioni abbiamo conosciuto nelle ultime lezioni?
- Come si possono risolvere le equazioni quadratiche?
- A casa dovevi risolvere 1 equazione in due modi.
(L'equazione è stata fornita a 2 livelli, pensati per studenti deboli e forti)
- Controlliamo con me. Come hai completato l'attività?
(sulla lavagna prima della lezione l'insegnante annota la soluzione del compito a casa)
Gli studenti controllano e concludono: le equazioni quadratiche incomplete sono più facili da risolvere mediante la fattorizzazione o nel solito modo, complete - con la formula.
L'insegnante sottolinea: non per niente il metodo per risolvere il quadrato. le equazioni basate sulla formula sono chiamate universali.
Ripetizione.
Oggi nella lezione continueremo a lavorare sulla risoluzione delle equazioni quadratiche. La nostra lezione sarà insolita, perché oggi non solo valuterò te, ma anche te stesso. Per ottenere un buon voto e completare con successo un lavoro indipendente, devi guadagnare quanti più punti possibile. Penso che tu abbia già guadagnato un punto completando i compiti.
- E ora voglio che ricordi e ripeti ancora una volta le definizioni e le formule che abbiamo studiato su questo argomento (alle risposte degli studenti viene assegnato 1 punto per la risposta corretta e 0 punti per quella errata).
- E ora, ragazzi, faremo un dettato matematico, leggeremo attentamente e rapidamente il compito sul monitor del computer; (Presentazione 1)
Gli studenti svolgono il lavoro e utilizzano la chiave per valutare le loro prestazioni.
Dettatura matematica.
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma...
In un'equazione quadratica, il primo coefficiente è..., il secondo coefficiente è..., il termine libero è...
Un'equazione quadratica si dice ridotta se...
Scrivi una formula per calcolare il discriminante di un'equazione quadratica
Scrivi una formula per calcolare la radice di un'equazione quadratica se nell'equazione è presente una sola radice.
In quali condizioni un'equazione quadratica non ha radici?
(autotest tramite PC, per ogni risposta corretta - 1 punto).
Esercizi orali. (sul retro della lavagna)
- Quante radici ha ciascuna equazione? (anche il compito vale 1 punto)
1. (x - 1)(x +11) = 0;
2. (x – 2)² + 4 = 0;
3. (2x – 1)(4 + x) = 0;
4. (x – 0,1)x = 0;
5. x² + 5 = 0;
6.9x² - 1 = 0;
7.x² - 3x = 0;
8. x + 2 = 0;
9. 16x² + 4 = 0;
10.16x² - 4 = 0;
11.0,07x² = 0.
Risolvere esercizi per consolidare il materiale.
Dalle equazioni proposte sul monitor del PC, vengono eseguite in modo indipendente (CD-7), durante il controllo, gli studenti che hanno completato i calcoli alzano la mano correttamente (1 punto); in questo momento, gli studenti più deboli risolvono un'equazione alla lavagna e quelli che hanno completato il compito in modo indipendente ricevono 1 punto.
Lavoro indipendente in 2 opzioni.
Inizia chi ottiene 5 o più punti lavoro indipendente dal n.5.
Coloro che hanno segnato 3 o meno - dal numero 1.
Opzione 1.
a) 3x² + 6x – 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.
N. 2. Continua a calcolare il discriminante D dell'equazione quadratica ax² + bx + c = 0 utilizzando la formula D = b² - 4ac.
a) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D= (-7²) – 4 5 2 = 49 – 40 = …;
b) x² - x – 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1)² - 4 1 (-2) = …;
N. 3. Finisci di risolvere l'equazione
3x² - 5x – 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5)² - 4 3 (-2) = 49.
x =...
N. 4. Risolvi l'equazione.
a) (x - 5)(x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0
a) (x-3)^2=3x-5; b) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)
N. 6. Risolvi l'equazione x2+2√2 x+1=0
N. 7. A quale valore di a l'equazione x² - 2ax + 3 = 0 ha una radice?
Opzione 2.
N. 1. Per ciascuna equazione della forma ax²+bx+c=0, indicare i valori di a, b, c.
a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.
N. 2. Continua a calcolare il discriminante D dell'equazione quadratica ax² + bx + c = 0 utilizzando la formula D = b² - 4ac.
a) 5x² + 8x - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² – 4 5 (- 4) = 64 – 60 = …;
b) x² - 6x + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4 1 5 = …;
3No. Finisci di risolvere l'equazione
x² - 6x + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4 1 5 = 16.
x =...
N. 4. Risolvi l'equazione.
a) (x + 4)(x - 6) = 0; b) 4x² - 5x + 1 = 0
N. 5. Riduci l'equazione a una quadratica e risolvila:
a) (x-2)^2=3x-8; b) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)
N. 6. Risolvi l'equazione x2+4√3 x+12=0
N. 7. A quale valore di a l'equazione x² + 3ax + a = 0 ha una radice.
Riepilogo della lezione.
Riassumendo i risultati della tabella di valutazione del punteggio.
Contesto storico e compito.
Problemi che coinvolgono equazioni quadratiche si verificano già nel 499. IN Antica India I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni. Uno degli antichi libri indiani dice: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così uomo colto eclisserà la gloria di un altro assemblee popolari, proponendo e risolvendo problemi algebrici.” Spesso erano in forma poetica. Ecco uno dei problemi del famoso matematico indiano Bhaskara del XII secolo:
Uno stormo di scimmie allegre
Dopo aver mangiato a mio piacimento, mi sono divertito,
La parte otto è quadrata
Mi stavo divertendo nella radura.
E 12 in vigna...
Cominciarono a saltare, impiccandosi.
Quante scimmie c'erano?
Dimmi, in questo pacchetto?
VII. Compiti a casa.
Si propone di risolvere questo problema storico e di redigerlo su fogli di carta separati con un disegno.
APPLICAZIONE
No. F.I.
Attività degli studenti TOTALE
Compiti a casa Dettato Esercizi orali Consolidamento del materiale
Lavoro al PC Lavoro alla lavagna
1Ivanov I.
2 Fedorov G.
3 Yakovleva Ya.
…
Quantità massima– 22-23 punti.
Minimo – 3-5 punti
3-10 punti – punteggio “3”,
11-20 punti – punteggio “4”,
21-23 punti – punteggio “5”
Durante la lezione verrà introdotto il concetto di equazione quadratica e verranno considerate le sue due tipologie: completa e incompleta. Particolare attenzione durante la lezione sarà dedicata alle varietà di equazioni quadratiche incomplete, nella seconda metà della lezione verranno presi in considerazione numerosi esempi;
Soggetto:Equazioni quadratiche.
Lezione:Equazioni quadratiche. Concetti di base
Definizione.Equazione quadratica chiamata equazione della forma
Numeri reali fissi che definiscono un'equazione quadratica. Questi numeri hanno nomi specifici:
Coefficiente senior (moltiplicatore a );
Secondo coefficiente (moltiplicatore a );
Termine libero (un numero senza fattore variabile).
Commento. Dovrebbe essere chiaro che la sequenza specificata di termini di scrittura in un'equazione quadratica è standard, ma non obbligatoria, e in caso di riorganizzazione, è necessario essere in grado di determinare i coefficienti numerici non in base alla loro disposizione ordinale, ma in base all'appartenenza alle variabili.
Definizione. L'espressione si chiama trinomio quadratico.
Esempio 1. Data un'equazione quadratica 
. I suoi coefficienti:
Coefficiente senior;
Secondo coefficiente (si noti che il coefficiente è indicato con il segno iniziale);
Membro gratuito.
Definizione. Se , allora viene chiamata l'equazione quadratica intatto e se , viene chiamata l'equazione quadratica dato.
Esempio 2. Fornisci un'equazione quadratica . Dividiamo entrambe le parti per 2: 
.
Commento. Come si può vedere dall'esempio precedente, dividendo per il coefficiente principale non abbiamo cambiato l'equazione, ma ne abbiamo cambiato la forma (l'abbiamo ridotta), allo stesso modo potrebbe essere moltiplicata per un numero diverso da zero. Pertanto, l'equazione quadratica non è data da una singola tripletta di numeri, ma lo dicono è specificato fino a un insieme di coefficienti diverso da zero.
Definizione.Equazione quadratica ridotta si ottiene dal non ridotto dividendo per il coefficiente principale, ed ha la forma:
.
Sono accettate le seguenti designazioni: . Poi equazione quadratica ridotta ha la forma:
.
Commento. Nella forma ridotta dell'equazione quadratica, puoi vedere che l'equazione quadratica può essere specificata con solo due numeri: .
Esempio 2 (continua). Indichiamo i coefficienti che definiscono l'equazione quadratica ridotta . , . Tali coefficienti vengono indicati anche tenendo conto del segno. Gli stessi due numeri definiscono la corrispondente equazione quadratica non ridotta .
Commento. Le corrispondenti equazioni quadratiche non ridotte e ridotte sono le stesse, cioè hanno lo stesso insieme di radici.
Definizione. Alcuni dei coefficienti in forma non ridotta o in forma ridotta di un'equazione quadratica possono essere zero. In questo caso, viene chiamata l'equazione quadratica incompleto. Se tutti i coefficienti sono diversi da zero, viene chiamata l'equazione quadratica completare.
Esistono diversi tipi di equazioni quadratiche incomplete.
Se non abbiamo ancora considerato la risoluzione di un'equazione quadratica completa, possiamo facilmente risolverne una incompleta utilizzando metodi a noi già noti.
Definizione.Risolvere l'equazione quadratica- significa trovare tutti i valori della variabile (le radici dell'equazione) in cui questa equazione si trasforma in un'uguaglianza numerica corretta, o stabilire che non esistono tali valori.
Esempio 3. Consideriamo un esempio di questo tipo di equazioni quadratiche incomplete. Risolvi l'equazione.
Soluzione. Eliminiamo il fattore comune. Possiamo risolvere equazioni di questo tipo secondo il seguente principio: il prodotto è uguale a zero se e solo se uno dei fattori è uguale a zero, e l'altro esiste per questo valore della variabile. Così:
Risposta.; .
Esempio 4. Risolvi l'equazione.
Soluzione. 1 modo. Fattorizziamo utilizzando la formula della differenza dei quadrati
, quindi, simile all'esempio precedente o .
Metodo 2. Spostiamo il termine fittizio a destra e prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri.
Risposta. .
Esempio 5. Risolvi l'equazione.
Soluzione. Spostiamo il termine libero a destra, ma 
, cioè. nell'equazione un numero non negativo è equiparato a uno negativo, il che non ha senso per nessun valore della variabile, pertanto non esistono radici.
Risposta. Non ci sono radici.
Esempio 6.Risolvi l'equazione.
Soluzione. Dividi entrambi i membri dell'equazione per 7: 
.
Risposta. 0.
Diamo un'occhiata agli esempi in cui devi prima ridurre un'equazione quadratica alla forma standard e poi risolverla.
Esempio 7. Risolvi l'equazione.
Soluzione. Per ridurre un'equazione quadratica alla forma standard, è necessario spostare tutti i termini da un lato, ad esempio a sinistra, e portarne di simili.
Abbiamo ottenuto un'equazione quadratica incompleta, che sappiamo già come risolvere, otteniamo quella o 
.
Risposta. .
Esempio 8 (problema con le parole). Il prodotto di due numeri naturali consecutivi è il doppio del quadrato del più piccolo. Trova questi numeri.
Soluzione. I problemi di testo, di norma, vengono risolti utilizzando il seguente algoritmo.
1) Elaborazione di un modello matematico. In questa fase è necessario tradurre il testo del problema nel linguaggio dei simboli matematici (comporre un'equazione).
Lasciane qualcuno prima numero naturale indichiamo con sconosciuto , quindi quello successivo (numeri consecutivi) sarà . Il più piccolo di questi numeri è il numero , scriviamo l'equazione secondo le condizioni del problema:
, Dove . È stato compilato un modello matematico.
Questo video tutorial spiega come risolvere un'equazione quadratica. La risoluzione di equazioni quadratiche di solito inizia nella scuola secondaria, 8a elementare. Le radici di un'equazione quadratica si trovano utilizzando una formula speciale. Sia data un'equazione quadratica della forma ax2+bx+c=0, dove x è l'incognita, a, b e c sono i coefficienti, che sono numeri reali. Innanzitutto è necessario determinare il discriminante utilizzando la formula D=b2-4ac. Successivamente, resta da calcolare le radici dell'equazione quadratica utilizzando la formula nota. Ora proviamo a risolvere un esempio specifico. Come equazione iniziale prendiamo x2+x-12=0, cioè coefficiente a=1, b=1, c=-12. Usando una formula ben nota, puoi determinare il discriminante. Quindi, utilizzando la formula per trovare le radici dell'equazione, le calcoliamo. Nel nostro caso il discriminante sarà pari a 49. Il fatto che il valore discriminante sia un numero positivo ci dice che questa equazione quadratica avrà due radici. Dopo semplici calcoli, troviamo che x1=-4, x2=3. Pertanto, abbiamo risolto l'equazione quadratica calcolando le sue radici Video lezione “Risoluzione di equazioni quadratiche (ottava elementare). Trovare le radici usando la formula" puoi guardarlo online in qualsiasi momento gratuitamente. Buona fortuna a te!
Classe: 8
Consideriamo tecniche standard (studiate in un corso di matematica scolastica) e non standard per risolvere equazioni quadratiche.
1. Scomposizione del lato sinistro dell'equazione quadratica in fattori lineari.
Diamo un'occhiata agli esempi:
3)x2 + 10x – 24 = 0.
6(x2 + x – x) = 0 | : 6
x2 + x – x – = 0;
x(x – ) + (x – ) = 0;
x(x – ) (x + ) = 0;
= ; – .Risposta: ; – .
Per il lavoro indipendente:
Risolvi equazioni quadratiche utilizzando il metodo della fattorizzazione lineare del lato sinistro di un'equazione quadratica.
| a) x2 – x = 0; d) x2 – 81 = 0; g)x2+6x+9 = 0; |
b)x2 + 2x = 0; e) 4x2 – = 0; h) x 2 + 4x + 3 = 0; |
c) 3x 2 – 3x = 0; e) x 2 – 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x – 3 = 0. |
| a) 0; 1 | b) -2; 0 | c) 0; 1 |
2. Metodo per selezionare un quadrato completo.
Diamo un'occhiata agli esempi:
Per il lavoro indipendente.
Risolvi equazioni quadratiche utilizzando il metodo del quadrato perfetto.
3. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando la formula.
ax 2 + inx + c = 0, (a | 4a
4a2x2+4ab+4ac=0;
2akh + 2akh · 2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;
2 = a 2 – 4ac;=±;
Per il lavoro indipendente.
Diamo un'occhiata agli esempi.
Risolvi equazioni quadratiche utilizzando la formula x 1,2 =.
4. Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta (diretta e inversa)
dal teorema di Vieta.
Se l'equazione ha due radici identiche nel segno e questo dipende dal coefficiente. 
.
Se p, allora 
.
Per esempio:
Se l'equazione ha due radici di segno diverso, la radice più grande sarà se p e sarà se p.
Per esempio:
Per il lavoro indipendente.
Senza risolvere l'equazione quadratica, usa il teorema inverso di Vieta per determinare i segni delle sue radici:
a, b, j, l – varie radici;
c, d, h – negativo;
g, e, g, i, m – positivo;
5. Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il metodo del “lancio”.
Per il lavoro indipendente.
Risolvi equazioni quadratiche utilizzando il metodo del “lancio”.
6. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando le proprietà dei suoi coefficienti.
I. ax 2 + bx + c = 0, dove a 0
1) Se a + b + c = 0, allora x 1 = 1; x2=
Prova:
ax 2 + bx + c = 0 |: a
x2 + x+ = 0.
Per il teorema di Vieta 
Per condizione, a + b + c = 0, allora b = -a – c. Successivamente otteniamo
Ne consegue che x 1 =1; x2 = . Q.E.D.
2) Se a – b + c = 0 (oppure b = a + c), allora x 1 = – 1; x2 = –
Prova:
Per il teorema di Vieta 
Per la condizione a – b + c = 0, cioè b = un + c. Successivamente otteniamo:
Quindi x 1 = – 1; x2 = – .
=±;
1) 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.
a + b + c = 345 – 137 – 208 = 0
x1 = 1; x2 = =
2) 132 x 2 – 247 x + 115 = 0.
a + b + c = 132 -247 -115 = 0.
x1 = 1; x2 = =
Risposta: 1;
Per il lavoro indipendente.
Utilizzando le proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica, risolvi le equazioni
II. ax 2 + bx + c = 0, dove a 0
x1,2 = . Sia b = 2k, cioè Anche Allora otteniamo
x1.2 = = = =
Diamo un'occhiata ad un esempio:
3x2 – 14x + 16 = 0.
D 1 = (-7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1
x1 = = 2; x2=
Risposta: 2;
Per il lavoro indipendente.
a) 4x 2 – 36x + 77 = 0
b) 15x 2 – 22x – 37 = 0
c) 4x2 + 20x + 25 = 0
d) 9x 2 – 12x + 4 = 0
Risposte:
III. x2+px+q=0
x 1,2 = – ± 2 – q
Diamo un'occhiata ad un esempio:
x2 – 14x – 15 = 0
x1,2 = 7 = 7
x1 = -1; x2 = 15.
Risposta: -1; 15.
Per il lavoro indipendente.
a)x2 – 8x – 9 = 0
b) x2 + 6x – 40 = 0
c) x2 + 18x + 81 = 0
d)x2 – 56x + 64 = 0
7. Risoluzione di un'equazione quadratica utilizzando i grafici.
a)x2 – 3x – 4 = 0
Risposta: -1; 4
b) x 2 – 2x + 1 = 0
c) x 2 – 2x + 5 = 0
Risposta: nessuna soluzione
Per il lavoro indipendente.
Risolvere graficamente le equazioni quadratiche:
8. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando compasso e righello.
ax 2 + bx + c = 0,
x2 + x+ = 0.
x 1 e x 2 sono radici.
Sia A(0; 1), C(0;
Per il teorema delle secanti:
OB · OD = OA · OS.
Pertanto abbiamo:
x 1 x 2 = 1 sistema operativo;
OS = x1x2
K(; 0), dove = -
F(0; ) = (0; ) = )
1) Costruisci il punto S(-; ) – il centro del cerchio e il punto A(0;1).
2) Disegna un cerchio di raggio R = SA/
3) Le ascisse dei punti di intersezione di questo cerchio con l'asse x sono le radici dell'equazione quadratica originale.
Ci sono 3 casi possibili:
1) R > SK (o R > ).
Il cerchio interseca l'asse x nei punti B(x 1; 0) e D(x 2; 0), dove x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0.
2) R = SK (o R = ).
Il cerchio tocca l'asse x nella direzione B 1 (x 1; 0), dove x 1 è la radice dell'equazione quadratica
ax2 + bx + c = 0.
3)R< SK (или R < ).
Il cerchio non ha punti in comune con l'asse x, cioè nessuna soluzione.
1)x2 – 2x – 3 = 0.
Centro S(-;), cioè
x0 = = – = 1,
y0 = = = – 1.
(1; – 1) – centro del cerchio.
Disegniamo un cerchio (S; AS), dove A(0; 1).
9. Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un nomogramma
Per risolvere il problema, utilizzare le Tabelle matematiche a quattro cifre di V.M. Bradis (Tavola XXII, p. 83).
Il nomogramma consente, senza risolvere l'equazione quadratica x 2 + px + q = 0, di determinare le radici dell'equazione dai suoi coefficienti. Per esempio:
5) z2 + 4z + 3 = 0.
Entrambe le radici sono negative. Pertanto faremo una sostituzione: z 1 = – t. Otteniamo una nuova equazione:
t2 – 4t + 3 = 0.
t1 = 1 ; t2 = 3
z1 = –1; z2 = – 3.
Risposta: – 3; – 1
6) Se i coefficienti p e q escono dalla scala, allora esegui la sostituzione z = k · t e risolvi l'equazione usando un nomogramma: z 2 + pz + q = 0.
k 2 t 2 + p · kt + q = 0. |: k 2
k è preso aspettandosi che si verifichino le seguenti disuguaglianze:
Per il lavoro indipendente.
y2 + 6y – 16 = 0.
y2 + 6y = 16, |+ 9
y2 + 6y + 9 = 16 + 9
y1 = 2, y2 = -8.
Risposta: -8; 2
Per il lavoro indipendente.
Risolvi geometricamente l'equazione y 2 – 6y – 16 = 0.
Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.
Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:
- Non hanno radici;
- Avere esattamente una radice;
- Hanno due radici diverse.
Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.
Discriminante
Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.
Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:
- Se d< 0, корней нет;
- Se D = 0, esiste esattamente una radice;
- Se D > 0 ci saranno due radici.
Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:
Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:
- x2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Il discriminante è zero, la radice sarà uno.
Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.
A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.
Radici di un'equazione quadratica
Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:
Formula base per le radici di un'equazione quadratica
Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:
Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]
Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:
Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, scrivi ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.
Equazioni quadratiche incomplete
Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:
- x2 + 9x = 0;
- x2-16 = 0.
È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:
L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.
Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.
Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':
Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo di un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:
- Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
- Se (−c /a)< 0, корней нет.
Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se lì numero positivo- ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.
Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:
Togliendo il fattore comune tra parentesiIl prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:
Compito. Risolvere equazioni quadratiche:
- x2-7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.