15.2.1 При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси силы давления на опоры (подшипники, подпятник) переменны по величине, носят циклический характер и могут значительно превышать силы давления, которые испытывают опоры при отсутствии вращения. При вращении тела не исключена также опасность резонанса.
Например, пусть центр тяжести вала массой 10кг, вращающегося с постоянной частотой 10 000об/мин, смещен от его оси на расстояние e =1мм. Действующая на него центробежная (нормальная) сила инерции равна
Что более чем в 200 раз превышает давление в опорах от веса вала.
При ускоренном или замедленном вращения вала на опоры действуют также циклические давления от касательных составляющих сил инерции, которые также могут достигать значительных величин и стать причиной резонанса и разрушения опор.
15.2.2Для определения реакций в опорах вращающегося тела воспользуемся принципом Даламбера.
Пусть к телу массы М
приложены активные силы . Освободим тело от связей, заменив их реакциями 
и . Добавим к этим силам главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции . Тело находится в равновесии под действием произвольной пространственной системы сил. Составим шесть уравнений равновесия:
;
;
.
Используя теорему о движении центра масс и раскладывая силы инерции, действующие на точки, на нормальные и касательные составляющие можно преобразовать эту систему уравнений равновесия [?] в следующую:
.
Если тело не вращается вокруг оси Z, , то получим уравнения статики:
;
;
;
из которых можно определить статические реакции опор .
Статическим реакциями называются части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы . Уравнения для их определения получают, положив в выражениях для полных реакций .
Динамическими реакциями называют части полных реакций, которые уравновешивают силы инерции точек тела вращения. Уравнения для их определения получают, вычтя из выражений для полных реакций статические реакции. Динамические реакции зависят от ε и ω.
Статически уравновешенным
называют тело, имеющее ось вращения, если центр масс этого тела лежит на оси вращения. В этом случае главный вектор сил инерции равен нулю, то есть 
, а главный момент сил инерции не равен нулю, то есть . Динамические реакции образуют в опорах циклически изменяющуюся пару сил. Опоры испытывают вибрации, которые могут привести к их усталости и разрушению, особенно в тех случаях, когда циклическая частота мест крепления близка к угловой скорости вращения тела.
В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".
Основные понятия кинематики вращательного движения
Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.
Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.
Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .
Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.
За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:
φ = φ(t).
Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:
ΔS = Δφr.
Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения
Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .
Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:
ω = dφ/dt.
Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле
ω = φ/t.
Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости
[ω] = 1 рад/с.
Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то
ω = 2π/T,
поэтому период вращения определим следующим образом:
T = 2π/ω.
Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:
ν = 1/T.
Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.
Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:
ω = 2πν.
Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения
Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.
Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:
ε = dω/dt.
Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.
Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.
Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).
Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение
Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением
ΔS = Δφ r.
Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Итак, в скалярном виде
a = ω 2 r.
Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение
a = ε r.
Момент импульса материальной точки
Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.
Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).
В скалярной форме
L = m i υ i r i sin(υ i , r i).
Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,
sin(υ i , r i) = 1.
Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид
L = m i υ i r i .
Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку
Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.
В скалярной форме
M i = r i F i sin(r i , F i).
Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .
Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .
Динамика вращательного движения
Уравнение динамики вращательного движения записывается так:
M = dL/dt.
Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.
Момент импульса и момент инерции
Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой
L i = m i υ i r i .
Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:
υ i = ωr i ,
то выражение для момента импульса примет вид
L i = m i r i 2 ω.
Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:
L i = I i ω.
Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:
L = Iω.
Момент силы и момент инерции
Закон вращательного движения гласит:
M = dL/dt.
Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:
L = Iω.
M = Idω/dt.
Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением
ε = dω/dt,
получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:
M = Iε.
Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.
Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции
Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,
где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.
Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).
Основные понятия.
Момент силы относительно оси вращения – это векторное призведение радиус-вектора на силу.
Момент силы – это вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (правого винта) в зависимости от направления силы, действующей на тело. Момент силы направлен вдоль оси вращения и не имеет конкретной точки приложения.
Численное значение данного вектора определяется по формуле:
M=r×F × sina (1.15),
где a- угол между радиус-вектором и направлением действия силы.
Если a=0 или p , момент силы М=0 , т.е. сила, проходящяя через ось вращения или совпадающяя с ней, вращения не вызывает.
Наибольший по модулю вращающий момент создается, если сила действует под углом a=p/2 (М > 0) или a=3p/2 (М < 0).
Используя понятие плеча силы (плечо силы d – это перпендикуляр, опущенный из центра вращения на линию действия силы), формула момента силы принимает вид:
Где 
(1.16)
Правило моментов сил (условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения):
Для того, чтобы тело, имеющее неподвижную ось вращения, находилось в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на данное тело, равнялась нулю.
S М i =0 (1.17)
Единицей измерения момента силы в системе СИ является [Н×м]
При вращательном движении инертность тела зависит не только от его массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения.
Инертность при вращении характеризуется моментом инерциитела относительно оси вращения J.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – это величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения:
J i =m i × r i 2 (1.18)
Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:
J=S m i × r i 2 (1.19)
Момент инерции тела зависит от его массы и формы, а также от выбора оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно некоторой оси используется теорема Штейнера-Гюйгенса:
J=J 0 +m× d 2 (1.20),
где J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через цент масс тела, d – расстояние между двумя параллельными осями. Момент инерции в СИ измеряется в [кг×м 2 ]
Момент инерции при вращательном движении туловища человека определяют опытным путем и рассчитывают приблизительно по формулам для цилиндра, круглого стержня или шара.
Момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, которая проходит через центр масс (центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости немного впереди второго крестцового позвонка), в зависимости от положения человека, имеет следующие значения: при стойке “смирно” – 1,2 кг×м 2 ; при позе «арабеск» – 8 кг×м 2 ; в горизонтальном положении – 17 кг× м 2 .
Работа во вращательном движении совершается при вращении тела под действием внешних сил.
Элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела:
dA i =M i × dj (1.21)
Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа равнодействующей всех приложенных сил определяется по формуле:
dA=M× dj (1.22),
где М – суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.
Кинетическая энергия вращающегося тела W к зависит от момента инерции тела и угловой скорости его вращения:
Момент импульса (момент количества движения) – величина, численно равная произведению импульса тела на радиус вращения.
L=p× r=m× V× r (1.24).
После соответствующих преобразований можно записать формулу для определения момента импульса в виде:
(1.25).
Момент импульса – вектор, направление которого определяется по правилу правого винта. Единицей измерения момента импульса в СИ является [кг×м 2 /с]
Основные законы динамики вращательного движения.
Основное уравнение динамики вращательного движения:
Угловое ускорение тела, совершающего вращательное движение, прямо пропорционально суммарному моменту всех внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела.
(1.26).
Данное уравнение играет ту же роль при описании вращательного движения, что и второй закон Ньютона для поступательного движения. Из уравнения видно, что при действии внешних сил угловое ускорение тем больше, чем меньше момент инерции тела.
Второй закон Ньютона для динамики вращательного движения можно записать в ином виде:
(1.27),
т.е. первая производная от момента импульса тела по времени равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на данное тело.
Закон сохранения момента импульса тела:
Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, т.е.
S M i =0 , тогда dL/dt=0 (1.28).
Из этого следует или (1.29).
Это утверждение составляет сущность закона сохранения момента импульса тела, который формулируется следующим образом:
Момент импульса тела остается постоянным, если суммарный момент внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен нулю.
Этот закон является справедливым не только для абсолютно твердого тела. Примером является фигурист, который выполняет вращение вокруг вертикальной оси. Прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Чтобы затормозить вращения, он, наоборот, широко разводит руки; в результате момент инерции увеличивается, и угловая скорость вращения уменьшается.
В заключение приведем сравнительную таблицу основных величин и законов, характеризующих динамику поступательного и вращательного движений.
Таблица 1.4.
| Поступательное движение | Вращательное движение | ||
| Физическая величина | Формула | Физическая величина | Формула |
| Масса | m | Момент инерции | J=m×r 2 |
| Сила | F | Момент силы | M=F×r, если |
| Импульс тела (количество движения) | p=m×V | Момент импульса тела | L=m×V×r; L=J×w |
| Кинетическая энергия | Кинетическая энергия | ||
| Механическая работа | dA=FdS | Механическая работа | dA=Mdj |
| Основное уравнение динамики поступательного движения | Основное уравнение динамики вращательного движения | , | |
| Закон сохранения импульса тела |
или
 если
| Закон сохранения момента импульса тела | или SJ i w i =const, если |
Центрифугирование.
Разделение неоднородных систем, состоящих из частиц различной плотности, может быть произведено под действием силы тяжести и силы Архимеда (выталкивающей силы). Если есть водная суспензия частиц различной плотности, то на них действует результирующая сила
F р =F т – F А =r 1 ×V×g - r×V×g , т.е
F р =(r 1 - r)× V×g (1.30)
где V – объем частицы, r 1 и r – соответственно плотности вещества частицы и воды. Если плотности незначительно отличаются друг от друга, то результирующая сила мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. Поэтому используют принудительное разделение частиц за счет вращения разделяемой среды.
Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, смесей или взвесей, состоящих из частиц различной массы, происходящий под действием центробежной силы инерции.
Основу центрифуги составляет ротор с гнездами для пробирок, расположенный в закрытом корпусе, который приводится во вращение электродвигателем. При вращении с достаточно высокой скоростью ротора центрифуги частицы взвеси, различные по масссе, под действием центробежной силы инерции распределяются слоями на различной глубине, а наиболее тяжелые осаждаются на дне пробирки.
Можно показать, что сила, под действием которой происходит сепарация, определяется по формуле:
(1.31)
где w - угловая скорость вращения центрифуги, r – расстояние от оси вращения. Эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения.
Ультрацентрифуги, работающие при скорости вращения ротора порядка 10 5 –10 6 оборотов в минуту, способны разделить частицы размером менее 100нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях.
С помощью ультрацентрифугирования можно разделить клетки на органеллы и макромолекулы. Вначале оседают (седиментируют) более крупные части (ядра, цитоскелет). При дальнейшем увеличении скорости центрифугирования последовательно оседают более мелкие частицы – сначала митохондрии, лизосомы, затем микросомы и, наконец, рибосомы и крупные макромолекулы. При центрифугировании различные фракции оседают с различной скоростью, образуя в пробирке отдельные полосы, которые можно выделить и исследовать. Фракционированные клеточные экстракты (бесклеточные системы) широко используют для изучения внутриклеточных процессов, например для изучения биосинтеза белка, расшифровки генетического кода.
Для стерилизации наконечников в стоматологии используется масляный стерилизатор с центрифугой, с помощью которой удаляется излишнее масло.
Центрифугирование можно использовать для осаждения частиц, взвешенных в моче; отделения форменных элементов от плазмы крови; разделения биополимеров, вирусов и субклеточных структур; контроля за чистотой препарата.
Задания для самоконтроля знаний.
Задание1 . Вопросы для самоконтроля.
Чем отличается равномерное движение по окружности от равномерного прямолинейного движения? При каком условии тело будет двигаться равномерно по окружности?
Объясните причину того, что равномерное движение по окружности происходит с ускорением.
Может ли криволинейное движение происходить без ускорения?
При каком условии момент силы равен нулю? принимает наибольшее значение?
Укажите границы применимости закона сохранения импульса, момента импульса.
Укажите особенности сепарации под действием силы тяжести.
Почему разделение белков с различными молекулярными массами можно проводить при помощи центрифугирования, а метод фракционной перегонки оказывается неприемлемым?
Задание 2 . Тесты для самоконтроля.
Вставьте пропущенное слово:
Изменение знака угловой скорости свидетельствует об изменении_ _ _ _ _ вращательного движения.
Изменение знака углового ускорения свидетельствует об изменении_ _ _ вращательного движения
Угловая скорость равна _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.
Угловое ускорение равно _ _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.
Момент силы равен_ _ _ _ _, если направление действующей на тело силы совпадает с осью вращения.
Найдите правильный ответ:
Момент силы зависит только от точки приложения силы.
Момент инерции тела зависит только от массы тела.
Равномерное движение по окружности происходит без ускорения.
А. Правильно. В. Неправильно.
Скалярними являются все перечисленные величины, за исключением
А. момента силы;
В. механической работы;
С. потенциальной энергии;
Д. момента инерции.
Векторными величинами являются
А. угловая скорость;
В. угловое ускорение;
С. момент силы;
Д. момент импульса.
Ответы : 1 – направления; 2 – характера; 3 – первой; 4 – второй; 5 – нулю; 6 – В; 7 – В; 8 – В; 9 – А; 10 – А, В, С, Д.
Задание 3 . Получите связь между единицами измерения:
линейной скорости см/мин и м/с;
углового ускорения рад/мин 2 и рад/с 2 ;
момента силы кН×см и Н×м;
импульса тела г×см/с и кг×м/с;
момента инерции г×см 2 и кг×м 2 .
Задание 4 . Задачи медико-биологического содержания.
Задача №1. Почему в полетной фазе прыжка спортсмен не может никакими движениями изменить траекторию движения центра тяжести тела? Совершают ли мышцы спортсмена работу при изменении положения частей тела в пространстве?
Ответ: Движениями в свободном полете по параболе спортсмен может только изменять расположение тела и его отдельных частей относительно своего центра тяжести, который в данном случае является центром вращения. Спортсмен совершает работу по изменению кинетической энергии вращения тела.
Задача №2. Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе, если продолжительность шага 0,5с? Считать, что работа затрачивается на ускорение и замедление нижних конечностей. Угловое перемещение ног около Dj=30 о. Момент инерции нижней конечности равен 1,7кг× м 2 . Движение ног рассматривать как равнопеременное вращательное.
Решение:
1)Запишем краткое условие задачи: Dt= 0,5с; Dj =30 0 =p/ 6; I =1,7кг× м 2
2) Определим работу за один шаг (правая и левая нога): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .
Используя формулу средней угловой скорости w ср =Dj/Dt, получим: w= 2w ср = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3
3) Подставим числовые значения: N =4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(Вт)
Ответ: 14,9 Вт.
Задача №3. Какова роль движения рук при ходьбе?
Ответ : Движение ног, перемещающихся в двух параллельных плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, создает момент сил, стремящийся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Руками человек размахивает «навстречу» движению ног, создавая тем самым момент сил противоположного знака.
Задача №4. Одним из направлений усовершенствования бормашин, применяемых в стоматологии, является увеличение скорости вращения бора. Скорость вращения борного наконечника в ножных бормашинах составляет 1500 оборотов в минуту, в стационарных электробормашинах – 4000 об/мин, в турбинных бормашинах – уже достигает 300000 об/мин. Зачем разрабатываются новые модификации бормашин с большим числом оборотов в единицу времени?
Ответ: Дентин в несколько тысяч раз более восприимчив к болевым ощущениям, чем кожа: на 1мм 2 кожи приходится 1-2 болевые точки, а на 1мм 2 дентина резцов – до 30000 болевых точек. Увеличение числа оборотов по данным физиологов уменьшает боль при обработке кариозной полости.
Задание 5 . Заполните таблицы:
Таблица №1 . Проведите аналогию между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения и укажите связь между ними.
Таблица №2.
Задание 6. Заполните ориентировочную карту действия:
| Основные задания | Указания | Ответы |
| Для чего в начальной стадии исполнения сальто гимнаст сгинает колени и прижимает их к груди, а в конце вращения выпрямляет тело? | Используйте для анализа процесса понятие момента импульса и закон сохранения момента импульса. | |
| Объясните, почему стоять на цыпочках (или держать тяжелый груз) так тяжело? | Рассмотрите условия равновесия сил и их моментов. | |
| Как изменится угловое ускорение при увеличении момента инерции тела? | Проанализируйте основное уравнение динамики вращательного движения. | |
| Как зависит эффект центрифугирования от разности в плотностях жидкости и частиц, которые сепарируются? | Рассмотрите силы, действующие при центрифугировании и соотношения между ними |
Глава 2. Основы биомеханики.
Вопросы.
Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека. Понятие о степенях свободы.
Виды сокращения мышц. Основные физические величины, описывающие мышечные сокращения.
Принципы двигательной регуляции у человека.
Методы и приборы для измерения биомеханических характеристик.
2.1. Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека.
Анатомия и физиология двигательного аппарата человека обладают следующими особенностями, которые необходимо учитывать при биомеханических расчетах: движения тела определяются не только мышечными силами, но и внешними силами реакции, силой тяжести, инерционными силами, а также упругими силами и трением; структура двигательного аппарата допускает исключительно вращательные движения. С помощью анализа кинематических цепей поступательные движения могут быть сведены к вращательным движениям в суставах; движения управляются с помощью очень сложного кибернетического механизма, так что происходит постоянное изменение ускорений.
Опорно-двигательный аппарат человека состоит из сочлененных между собой костей скелета, к которым в определенных точках прикрепляются мышцы. Кости скелета действуют как рычаги, которые имеют точку опоры в сочленениях и приводятся в движение силой тяги, возникающей при сокращении мышц. Различают три вида рычага :
1) Рычаг, к которому действующая сила F и сила сопротивления R приложены по разные стороны от точки опоры. Примером такого рычага является череп, рассматриваемый в сагиттальной плоскости.
2) Рычаг, у которого действующая сила F и сила сопротивления R приложены по одну сторону от точки опоры, причем, сила F приложена к концу рычага, а сила R - ближе к точке опоры. Данный рычаг дает выигрыш в силе и проигрыш в расстоянии, т.е. является рычагом силы . Пример - действие свода стопы при подъеме на полупальцы, рычаги челюстно-лицевого отдела (рис. 2.1). Движения жевательного аппарата очень сложны. При закрывании рта поднимание нижней челюсти из положения максимального опускания до положения полного смыкания ее зубов с зубами верхней челюсти осуществляется движением мышц, поднимающих нижнюю челюсть. Эти мышцы действуют на нижнюю челюсть как на рычаг второго рода с точкой опоры в суставе (дающий выигрыш при жевании в силе).
3) Рычаг, у которого действующая сила приложена ближе к точке опоры, чем сила сопротивления. Данный рычаг является рычагом скорости , т.к. дает проигрыш в силе, но выигрыш в перемещении. Пример - кости предплечья.
Рис. 2.1. Рычаги челюстно-лицевого отдела и свода стопы.
Большинство костей скелета находится под действием нескольких мышц, развивающих усилия по различным направлениям. Равнодействующая их находится путем геометрического сложения по правилу параллелограмма.
Кости опорно-двигательного аппарата соединяются между собой в сочленениях или суставах. Концы костей, образующих сустав, удерживаются вместе с помощью плотно охватывающей их суставной сумки, а также прикрепленных к костям связок. Для уменьшения трения соприкасающиеся поверхности костей покрыты гладким хрящом и между ними имеется тонкий слой клейкой жидкости.
Первой ступенью биомеханического анализа двигательных процессов является определение их кинематики. На основе такого анализа строятся абстрактные кинематические цепи, подвижность или устойчивость которых может быть проверена исходя из геометрических соображений. Различают замкнутые и разомкнутые кинематические цепи, образуемые суставами и расположенными между ними жесткими звеньями.
Состояние свободной материальной точки в трехмерном пространстве задается тремя независимыми координатами – х, y, z . Независимые переменные, которые характеризуют состояние механической системы, называются степенями свободы . У более сложных систем количество степеней свободы может быть выше. Вообще, количество степеней свободы определяет не только количество независимых переменных (что характеризует состояние механической системы), но и количество независимых перемещений системы.
Число степеней свободы является основной механической характеристикой сустава, т.е. определяет число осей , вокруг которых возможно взаимное вращение сочленненых костей. Обусловлено оно главным образом геометрической формой поверхности костей, соприкасающихся в суставе.
Максимальное число степеней свободы в суставах – 3.
Примерами одноосного (плоского) сочленения в организме человека являются плечелоктевое, надпяточное и фаланговые соединения. Они допускают только возможность сгибания и разгибания с одной степенью свободы. Так, локтевая кость с помощью полукруглой выемки охватывает цилиндрический выступ на плечевой кости, который и служит осью сустава. Движения в суставе – сгибание и разгибание в плоскости, перпендикулярной оси сустава.
Лучезапястный сустав, в котором осуществляется сгибание и разгибание, а также приведение и отведение, можно отнести к суставам с двумя степенями свободы.
К суставам с тремя степенями свободы (пространственное сочленение) относятся тазобедренное и лопаточно-плечевое сочленение. Например, в лопаточно-плечевом сочленении шаровидная головка плечевой кости входит в сферическую впадину выступа лопатки. Движения в суставе – сгибание и разгибание (в сагиттальной плоскости), приведение и отведение (в фронтальной плоскости) и вращение конечности вокруг продольной оси.
Замкнутые плоские кинематические цепи обладают числом степеней свободы f F , которое вычисляется по числу звеньев n следующим образом:
Ситуация для кинематических цепей в пространстве более сложная. Здесь выполняется соотношение
(2.2)
гдеf i - число ограничений степеней свободы i- го звена.
В любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без любых специальных устройств. Они имеют название свободные оси вращения
Вот мальчик вращает камень на веревке. Он крутит этот камень все быстрее, пока веревка не оборвется. Тогда камень полетит куда-то в сторону. Какая же сила разорвала веревку? Ведь она удерживала камень, вес которого, конечно, не менялся. На веревку действует центробежная сила , отвечали ученые еще до . Еще задолго до Ньютона ученые выяснили, для того, чтобы тело вращалось, на него должна действовать сила. Но особенно хорошо это видно из законов Ньютона. Ньютон был первым ученым, . Он установил причину вращательного движения планет вокруг Солнца. Силой, вызывающей это движение, оказалась сила тяготения.
Центростремительная сила
Раз камень движется по окружности, значит, на него действует сила, изменяющая его движение. Ведь по инерции камень должен двигаться прямолинейно . Эту важную часть первого закона движения иногда забывают. Движение по инерции всегда прямолинейно. И камень, оборвавший веревку, также полетит по прямой линии. Сила, исправляющая путь камня, действует на него все время, пока он вращается. Эта постоянная сила называется центростремительной слой . Приложена она к камню. Но тогда, по , должна появиться сила, действующая со стороны камня на веревку и равная центростремительной. Эта сила и называется центробежной. Чем быстрее вращается камень, тем большая сила должна действовать на него со стороны веревки. Ну и, конечно, тем сильнее камень будет тянуть - рвать веревку. Наконец ее запаса прочности может не хватить, веревка разорвется, а камень полетит по инерции теперь уже прямолинейно. Так как он сохраняет свою скорость, то может улететь очень далеко.Древнее оружие человека - праща
Пожалуй, самое древнее оружие человека - праща . Камнем из этой пращи, по библейскому преданию, пастух Давид убил великана Голиафа. А действует праща точно так же, как и веревка с камнем. Только в ней предварительно раскрученный камень просто отпускается в нужное время.
На стадионах вы часто видите спортсменов - метателей диска или молота. И здесь знакомая картина. Спортсмен кружится все быстрее и быстрее, держа в руках диск, и наконец выпускает его из рук. Диск при этом летит на шестьдесят - семьдесят метров. Ясно, что при очень больших скоростях во вращающихся телах развиваются и очень большие силы. Эти силы увеличиваются по мере удаления от оси вращения.
Центрирование ротора
Если вращающееся тело хорошо центрировано - ось вращения точно совпадает с осью симметрии тела, - это еще не так страшно. Возникающие силы будут уравновешены. Но в результате плохой центровки могут быть самые неприятные последствия. В этом случае на вал вращающейся машины все время будет действовать неуравновешенная сила, способная при больших скоростях даже сломать этот вал.
Скорость вращения роторов паровых турбин достигает тридцати тысяч оборотов в минуту. Во время пробных испытаний на заводе работающую турбину выслушивают примерно так же, как врач выслушивает сердце больного человека. Если ротор плохо центрирован, это сразу станет заметно - к ровному пению быстро вращающегося ротора присоединятся тревожные стуки и шумы, предвещающие неминуемую аварию. Турбину останавливают, ротор исследуют и добиваются того, чтобы вращение его стало совершенно плавным.
Уравновешивание центробежных сил
Уравновешивание центробежных сил составляет предмет постоянных забот инженеров и конструкторов. Эти силы - самые опасные враги машин, они обычно действуют разрушительно. Замечательный советский ученый-кораблестроитель - академик Алексей Николаевич Крылов, читая лекции студентам, приводил пример такого разрушительного действия. В 1890 году один пароход, имевший на борту свыше тысячи пассажиров, направлялся из Англии в Америку. На этом пароходе были установлены две машины по девяти тысяч лошадиных сил каждая. Инженеры, строившие эти машины, по-видимому, были недостаточно опытны или недостаточно сведущи и пренебрегли третьим законом Ньютона. В открытом море, когда двигатель работал на полную мощность, одна машина буквально разлетелась на куски, разорванная возникающими при вращении силами. Осколки повредили другую машину и пробили днище. Машинное отделение залило водой. Океанский пароход превратился в поплавок, беспомощно покачивавшийся на волнах. Его взял на буксир другой пароход, который доставил жертву центробежных сил в ближайший порт.Диск вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (опыт)
На диске, на разных расстояниях от оси вращения установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m).
При вращении диска маятники отклоняются от вертикали на некоторый угол а.
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА (анализ данных )__
В системе отсчета, связанной, например, с помещением, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Следовательно, на него действует сила, равная F = m ω 2 R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити . Для установившегося движения шарика , откуда
tg = ω 2 R/g ( тем больше, чем больше R и ω).
НЕИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА (анализ данных )__
В системе отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой , которая является не чем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F ц, называемая центробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска, F ц = -m·ω 2 R.
Действию центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.
♦ Центробежная сила инерции (F ц = -m·ω 2 R)не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета, т. е. действует на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе или движутся относительно нее с какой-то скоростью.
6.3. СИЛЫ ИНЕРЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛО, ДВИЖУЩЕЕСЯ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА _
Диск покоится (опыт)
Шарик массой т, направленный вдоль радиуса диска со скоростью V" = const, движется по радиальной прямой ОА.
Диск вращается равномерно (со = const) (опыт)
Шарик массой т, движущийся со скоростью V" = const (V" ┴ ω), катится по кривой АВ, причем его скорость V" относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости V".
Анализ опытных данных
Чтобы шарик катился по вращающемуся диску вдоль радиуса, используют жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения равномерно и прямолинейно со скоростью . При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой .
Относительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила уравновешивается приложенной к шарику силой инерции ,
перпендикулярной скорости . Эта сила называется кориолисовой силой инерции. Сила Кориолиса
.
Примеры проявления сил инерции
. Если тело движется в северном полушарии на север, то действующая на него сила Кориолиса направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д.