Evento casuale - qualsiasi evento che può verificarsi o meno a seguito di qualche esperienza.

Probabilità dell'evento R pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli k al numero di possibili risultati N, cioè.

p=\frac(k)(n)

Formule di addizione e moltiplicazione della teoria delle probabilità

Evento \bar(A) chiamato opposto all'evento A, se l'evento A non si è verificato.

Somma di probabilità di eventi opposti è uguale a uno, cioè

P(\bar(A)) + P(A) =1

La probabilità di un evento non può essere maggiore di 1.
Se la probabilità di un evento è 0, allora non accadrà.
Se la probabilità di un evento è 1, allora accadrà.

Teorema dell'addizione delle probabilità:

“La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabilità importi due eventi congiunti pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza tener conto del loro verificarsi congiunto:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema della moltiplicazione delle probabilità

“La probabilità che si verifichino due eventi è pari al prodotto delle probabilità di uno di essi per la probabilità condizionata dell’altro, calcolata a condizione che si sia verificato il primo.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Eventi sono chiamati incompatibile, se la comparsa di uno di essi esclude la comparsa degli altri. Cioè, può accadere solo un evento specifico o un altro.

Eventi sono chiamati giunto, se il verificarsi di uno di essi non esclude il verificarsi dell'altro.

Due eventi casuali Si chiamano A e B indipendente, se il verificarsi di uno di essi non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro. Altrimenti gli eventi A e B si dicono dipendenti.

Ripetizione del corso di teoria della probabilità in 11a elementare. Preparazione all'Esame di Stato Unificato.

La somma degli eventi A + B A EB viene chiamato un evento consistente nel verificarsi di un eventoUN o eventiIN , OEntrambi questi eventi.

Esempio. Permettere UN - sta piovendo, B - allora nevica (A + B) - pioggia, o neve, o pioggia con neve, cioè precipitazioni;

UN - sono andato in discoteca; B - Allora andiamo in biblioteca (A + B) - sono andati in discoteca o in biblioteca, cioè sono usciti di casa.

Gli eventi vengono chiamatiincompatibile, se la comparsa di uno di essi esclude la comparsa degli altri. Cioè, può accadere solo un evento specifico o un altro.

Ad esempio, quando si lancia un dado, è possibile distinguere tra eventi come ottenere un numero pari di punti e ottenere un numero dispari di punti. Questi eventi sono incompatibili.

Teorema per la somma delle probabilità di eventi incompatibili

Teorema . La probabilità che si verifichi uno dei due eventi incompatibili, qualunque sia, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

P(A + B) = P(A) + P(B) .

Esempio. In un'urna ci sono 30 palline: 10 rosse, 5 blu e 15 bianche. Trova la probabilità che appaia una pallina colorata.

Soluzione . L'aspetto di una palla colorata significa l'aspetto di una palla rossa o blu.

Probabilità che appaia una pallina rossa (evento A)

P(A) = 10/30 = 1/3.

Probabilità che appaia una pallina blu (evento B)

P(B) = 5/30 = 1/6.

Eventi UN E IN sono incoerenti (l'apparizione di una pallina di un colore esclude l'apparizione di una pallina di un altro colore), quindi è applicabile il teorema dell'addizione.

Secondo la formula, la probabilità desiderata

P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2 .

Esempio. La probabilità di ottenere 5 o 6 punti con un dado con un lancio è 1/3 , poiché entrambi gli eventi (5 lancio, 6 lancio) sono incoerenti e la probabilità che si verifichi l'uno o l'altro evento è calcolata come segue: 1/6 + 1/6 =1/3.

Gruppo completo di eventi.

Si formano molti eventi incompatibiligruppo completo di eventi , se di conseguenzaprova individuale Uno di questi eventi accadrà sicuramente.

Esempio. Il seguente set è tipico per un dado:

– Come risultato del lancio dei dadi, apparirà 1 punto;
– ... 2 punti;
– ... 3 punti;
– ... 4 punti;
– ...5 punti;
– ...6 punti.

Eventi incompatibile (poiché l'apparizione di qualsiasi volto esclude la contemporanea apparizione di altri) e formare un gruppo completo (poiché il test risulterà sicuramente in uno di questi sei eventi) .

Teorema . Somma delle probabilità degli eventiUN 1 , UN 2 , …, UN N , formando un gruppo completo, è uguale a uno:

P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A N ) = 1 .

Eventi opposti.

Opposto nominare due eventi unicamente possibili che formano un gruppo completo. Se uno dei due eventi opposti è indicato daUN , quindi l'altro è solitamente indicato.

Esempio. Se, quando si lancia un dado, l'evento UN consiste nella perdita 6 , allora l'evento opposto è il non-abbandono 6 , cioè. prolasso 1, 2, 3, 4 O 5 .

Esempio. Se UN - Allora il numero è pari - il numero è dispari; Se UN - inverno, allora - non invernale (né autunno, né estate, né primavera); Se UN - Allora ho superato l'esame - non ha superato l'esame.

Teorema. La somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a uno.

P(A) + P( ) = 1 OP(A) = 1 – P( ).

Esempio. Qual è la probabilità che lanciando due dadi si ottenga un numero di punti diverso (non uguale)?

Indichiamo l'evento descritto come A. L'evento opposto è l'evento , consistente nel fatto che su entrambi i dadi è caduto lo stesso numero di punti. Evento sei eventi elementari sono favorevoli: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). La probabilità di ciascuno di questi eventi elementari . Quindi, P( ) = . Allora P(A) = 1 – P( )= 1 - .

Eventi dipendenti e indipendenti. Probabilità condizionata.

Due eventiUN EIN sono chiamatiindipendente , se la probabilità del verificarsi di ciascuno di essi non dipende dal fatto che si sia verificato o meno un altro evento.

Esempio. La moneta viene lanciata due volte. Evento A – lo “stemma” è caduto al primo lancio, evento B – lo “stemma” è caduto al secondo lancio. Gli eventi A e B sono indipendenti.

Vengono chiamati gli eventi A e Bdipendente , se la probabilità del verificarsi di uno di essi dipende dal verificarsi o meno di un altro evento.

Se la probabilità dell'evento B viene calcolata presupponendo che l'evento A si sia già verificato, allora viene chiamata questa probabilitàprobabilità condizionata evento B in relazione all'evento A. Designazione: P UN (IN).

Esempio. La busta conteneva 4 cartoline con vista su San Pietroburgo e 3 cartoline con vista su Mosca. Sia l'evento A l'estrazione di una cartolina con vista su San Pietroburgo, e l'evento B l'estrazione di una cartolina con vista su Mosca. Consideriamo le probabilità. Relativo a questi eventi.

a) se prima tirassero fuori una cartolina con vista su San Pietroburgo, e poi con vista su Mosca, allora P UN (B) = ;

b) se prima tirassero fuori una cartolina con vista su Mosca, e poi con vista su San Pietroburgo, allora P IN (A) = .

Prodotto di probabilità.

Il prodotto di due eventi A EIN chiamare l'eventoAB , consistente nella comparsa congiunta (combinazione) di questi eventi.

Esempio. Permettere UN - dall'urna fu estratta una pallina bianca, B - Dall'urna venne quindi estratta una pallina bianca AB - tirato fuori dal cestino due palla bianca; Se UN - sta piovendo, B - allora nevica AB - pioggia e neve; UN - il numero è pari, B - numero multiplo 3 , Poi AB - numero multiplo 6 .

Teorema della moltiplicazione per eventi indipendenti

Teorema . Probabilità del prodotto di due eventi indipendentiUN EIN pari al prodotto delle loro probabilità:

P(AB) = P(A) P(B) .

Esempio. Il cubo viene lanciato due volte. Qual è la probabilità che il primo lancio dia 2 punti e il secondo 6?

Sia l'evento A un lancio di 2 punti, l'evento B un lancio di 6 punti e l'evento C un lancio di 2 punti nel primo lancio e 6 punti nel secondo.

Gli eventi A e B sono indipendenti, poiché il verificarsi di un evento non dipende dal verificarsi dell'altro evento. Allora poiché P(A) = e P(B) = , allora P(C) = P(A) P(B) = .

Teorema della moltiplicazione per eventi dipendenti.

Teorema . Se gli eventi A e B sono dipendenti, la probabilità del loro prodotto è uguale ail prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità condizionata dell'altro

P(AB) = P(A) P UN (B) .

Esempio. La busta conteneva 4 cartoline con vista su San Pietroburgo e 3 cartoline con vista su Mosca. Sia l’evento A l’estrazione delle vedute di San Pietroburgo per la prima volta, e l’evento B l’estrazione delle vedute di Mosca per la prima volta. Poniamo che l'evento C consista nel fatto che prima è stata estratta una veduta di San Pietroburgo, poi una veduta di Mosca. Allora l'evento C, per definizione di moltiplicazione, è uguale ad A·B. È ovvio che in questo caso gli eventi A e B sono dipendenti. Mostriamolo.

Ciò significa che devi utilizzare il teorema sulla formula per il prodotto di eventi dipendenti, ad es. P(C) = P(A) P UN (B) . Pertanto, P(C) = .

Esempio . La sala lettura ha 6 libri di testo di informatica, di cui tre limite. Il bibliotecario lo prese a caso due libro di testo. Trova la probabilità che Entrambi i libri di testo saranno rilegati.

Soluzione . Consideriamo i seguenti eventi:
UN 1 - il primo libro di testo rilegato preso;
UN 2 - il secondo libro di testo rilegato preso.

Evento A = A 1 UN 2 , è che entrambi i libri di testo presi sono rilegati. Eventi UN 1 E UN 2 sono dipendenti, poiché la probabilità che un evento si verifichi UN 2 dipende dal verificarsi dell'evento UN 1 . Pertanto, per calcolare la probabilità utilizzeremo la formula prodotti di eventi dipendenti .

Probabilità che si verifichi un evento UN 1 secondo la definizione classica di probabilità:

P (A 1 ) = m/n = 3/6 = 0,5 .

P A1 (UN 2 ) è definita come la probabilità condizionata che si verifichi un evento UN 2 a condizione che l'evento UN 1 è già arrivato:

P A1 (UN 2 ) = 2/5 = 0,4 .

Quindi la probabilità desiderata che l'evento si verifichi UN :

P(A) = 0,5 0,4 = 0,2 .

Teorema per la somma delle probabilità di eventi congiunti

I due eventi vengono chiamatigiunto , se la comparizione dell'uno non esclude la comparizione dell'altro nello stesso processo.

Esempio. UN - la comparsa di quattro punti quando si lancia un dado; IN - comparsa di un numero pari di punti. Evento UN E IN - giunto.

Teorema . Probabilità del verificarsi di almeno uno dei due eventi congiuntiUN EIN pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) .

Esempio. Due studenti stanno leggendo un libro. Il primo studente finisce il libro con probabilità – 0,6; il secondo – 0,8. Trovare la probabilità che il libro venga letto da almeno uno studente.

Soluzione . La probabilità che il libro venga letto da ciascuno degli studenti non dipende dal risultato di un singolo studente, ma dagli eventi UN (il primo studente ha finito di leggere il libro) e B (il secondo studente ha finito di leggere il libro) indipendente e collaborativo. Troviamo la probabilità desiderata utilizzando la formula per aggiungere le probabilità di eventi congiunti.

Probabilità dell'evento AB (entrambi gli studenti hanno finito di leggere il libro):

P(AB) = P(A) P(B) = 0,6 0,8 = 0,48.

Poi

P(A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

Esempio. In un centro commerciale due macchine identiche vendono caffè. La probabilità che la macchina rimanga senza caffè entro la fine della giornata è 0,3. La probabilità che entrambe le macchine finiscano il caffè è 0,12. Troviamo la probabilità che entro la fine della giornata il caffè finisca in almeno una delle macchine (cioè in una, oppure nell'altra, oppure in entrambe contemporaneamente).

La probabilità del primo evento “il caffè finirà nella prima macchina” e la probabilità del secondo evento “il caffè finirà nella seconda macchina” in base alla condizione è 0,3. Gli eventi sono collaborativi.

La probabilità del verificarsi congiunto dei primi due eventi secondo la condizione è 0,12.

Ciò significa che la probabilità che almeno una delle macchine rimanga senza caffè entro la fine della giornata è 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Esempio. La scuola conta 1.400 studenti, di cui 1.200 studenti sanno sciare, 952 studenti sanno pattinare. 60 studenti non sanno né sciare né pattinare. Qual è la probabilità che lo studente sappia sciare e pattinare?

Indichiamo con E – tutti gli studenti di questa scuola. Sia l'evento A la capacità di sciare degli studenti. Evento B – capacità degli studenti di pattinare. Evento AB – capacità degli studenti di sciare e pattinare. Evento A+B – capacità degli studenti di sciare o pattinare. .

Formula della probabilità totale.

Se l'evento A può verificarsi solo quando si verifica uno degli eventi B 1 , IN 2 , …, IN N che formano un gruppo completo di eventi incompatibili, la probabilità dell'evento A viene calcolata dalla formula

P(A) = P(B 1 ) · R B1 (A)+P(B 2 ) · R B2 (A) +... + P(B N ) · R IN N (UN).

Questa formula è chiamata formula della probabilità totale. 3 ) = .

Sia l'evento A che la lampada selezionata risulti difettosa; R B1 (UN) si intende il caso in cui venga selezionata una lampada difettosa tra le lampade prodotte nel primo stabilimento , P(B 2 ) – nel secondo impianto, P(B 3 ) - al terzo impianto. Dalla dichiarazione del problema segue:

R B1 =0,034.

Riferimenti.

Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Teoria e statistica della probabilità. OJSC "Libro di testo di Mosca". M., 2008.

Shakhmeister A.Kh. Combinatoria. Statistiche. Probabilità. MCNMO. M., 2010.

Esame di Stato Unificato 2016. Matematica. Teoria della probabilità. Cartella di lavoro.

M.: 2016. - 64 p.

Il quaderno di esercizi di matematica della serie "Esame di Stato Unificato 2016. Matematica" ha lo scopo di preparare gli studenti delle scuole superiori a superare con successo l'Esame di Stato Unificato. esame di stato in matematica nel 2016 a livello base e specialistico. IN cartella di lavoro vengono presentati i compiti per una posizione dei materiali di misurazione del controllo dell'Esame di Stato Unificato-2016. Nelle varie fasi della formazione, il manuale aiuterà a fornire un approccio livellato all'organizzazione della ripetizione, a monitorare e automonitorare le conoscenze sull'argomento "Teoria della probabilità". Il quaderno di esercizi si concentra su uno anno accademico tuttavia, se necessario, consentirà di colmare rapidamente le lacune nelle conoscenze del laureato. Il quaderno è destinato agli studenti delle scuole superiori, agli insegnanti di matematica e ai genitori.

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CONTENUTO
Dall'editore della serie 3
Introduzione 4
Lavoro diagnostico 1 6
Soluzioni ai problemi del lavoro diagnostico 1 10
Lavoro di formazione 1 (per il compito D1.1) 22
Lavoro di formazione 2 (per compiti D1.2, D.1.4) 24
Lavoro di formazione 3 (per compiti D1.3, D1.5) 26
Lavoro di formazione 4 (per i compiti D1.1-D1.5) 28
Lavoro di formazione 5 (per problemi D1.6-D1.9) 30
Lavoro di formazione 6 (per i compiti D1.6-D1.9) 32
Lavoro di formazione 7 (per i compiti D1.6-D1.9) 34
Lavoro di formazione 8 (per problemi D1.10-D1.14) 36
Lavoro di formazione 9 (per problemi D1.10-D1.14) 39
Lavoro di formazione 10 (per problemi D1.10-D1.14) 41
Lavoro di formazione 11 (per problemi D1.15-D.18) 43
Lavoro di formazione 12 (per problemi D1.15-D.18) 45
Lavoro diagnostico 2 47
Lavoro diagnostico 3 51
Lavoro diagnostico 4 54
Riferimenti 57
Risposte 58

Questo manuale ha lo scopo di preparare il compito sulla teoria della probabilità dell'esame di stato unificato (compito 4 del livello del profilo e compito 10 livello base nella versione 2016).
Il manuale è composto dal lavoro diagnostico D1 con analisi delle decisioni, dieci lavori di formazione e tre lavori diagnostici aggiuntivi D2-D4, destinati al controllo intermedio. Alla fine della raccolta vengono fornite le risposte a tutti i problemi.
A causa del fatto che i compiti della prima parte dell'esame di stato unificato in matematica vengono formati utilizzando banca aperta, anche i problemi di probabilità non saranno una sorpresa per i partecipanti all'esame.
La teoria della probabilità è uno dei rami applicati più importanti della matematica. Molti fenomeni nel mondo che ci circonda possono essere descritti solo utilizzando la teoria della probabilità. Viene insegnato nelle scuole di molti paesi, ma in Russia è stato riportato a scuola nello standard del 2004 e per ora rimane una nuova sezione.
Studenti e insegnanti incontrano ancora alcune difficoltà nello studio della teoria della probabilità e della statistica a causa della mancanza di tradizioni didattiche approfondite e del numero limitato di materiali didattici. Pertanto, nel 2016, l'Esame di Stato Unificato includerà solo i problemi più semplici della teoria della probabilità.

V-6-2014 (tutti i 56 prototipi dalla banca Unified State Exam)

Essere in grado di costruire e studiare i modelli matematici più semplici (teoria della probabilità)

1.In un esperimento casuale vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che il totale sia 8 punti. Arrotondare il risultato ai centesimi. Soluzione: Il numero di risultati in cui appariranno 8 punti come risultato del lancio dei dadi è 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Ogni dado ha sei possibili lanci, quindi il numero totale di risultati è 6 6 = 36. Pertanto, la probabilità di lanciare un totale di 8 è 5: 36 = 0,138... = 0,14

2. In un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata due volte. Trova la probabilità che la testa appaia esattamente una volta. Soluzione: Ci sono 4 esiti ugualmente possibili dell'esperimento: testa-testa, testa-croce, croce-testa, croce-croce. Le teste compaiono esattamente una volta in due casi: testa-croce e croce-testa. Pertanto, la probabilità che la testa appaia esattamente 1 volta è 2: 4 = 0,5.

3. Al campionato di ginnastica partecipano 20 atleti: 8 dalla Russia, 7 dagli USA, il resto dalla Cina. L'ordine in cui si esibiscono le ginnaste è determinato dal sorteggio. Trovare la probabilità che l'atleta che gareggia per primo provenga dalla Cina. Soluzione: Partecipa al campionatoatleti provenienti dalla Cina. Quindi la probabilità che l'atleta che gareggerà per primo provenga dalla Cina è 5: 20 = 0,25

4. In media, su 1000 pompe da giardino vendute, 5 perdono. Trovare la probabilità che una pompa scelta a caso per il controllo non presenti perdite. Soluzione: In media, su 1000 pompe da giardino vendute, 1000 − 5 = 995 non perdono. Ciò significa che la probabilità che una pompa scelta casualmente per il controllo non perda è pari a 995: 1000 = 0,995

5. La fabbrica produce borse. In media, per ogni 100 borse di qualità, ci sono otto borse con difetti nascosti. Trova la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità. Arrotondare il risultato ai centesimi. Soluzione: Secondo la condizione, per ogni 100 + 8 = 108 sacchetti ci sono 100 sacchetti di qualità. Ciò significa che la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità è 100: 108 =0,925925...= 0,93

6. Alla gara del lancio del peso partecipano 4 atleti finlandesi, 7 atleti dalla Danimarca, 9 atleti dalla Svezia e 5 dalla Norvegia. L'ordine in cui gareggiano gli atleti è determinato mediante sorteggio. Trovare la probabilità che l'atleta che gareggia per ultimo provenga dalla Svezia. Soluzione: In totale prendono parte alla competizione 4 + 7 + 9 + 5 = 25 atleti. Ciò significa che la probabilità che l'atleta che gareggerà per ultimo sia svedese è 9: 25 = 0,36

7.La conferenza scientifica si svolge nell'arco di 5 giorni. Sono previste in totale 75 relazioni: i primi tre giorni contengono 17 relazioni, il resto è distribuito equamente tra il quarto e il quinto giorno. L'ordine delle relazioni è determinato mediante sorteggio. Qual è la probabilità che la relazione del professor M. venga programmata per l'ultimo giorno del convegno? Soluzione: Nei primi tre giorni verranno lette 51 relazioni, negli ultimi due giorni ne sono previste 24. Per l'ultimo giorno sono quindi previste 12 relazioni. Ciò significa che la probabilità che la relazione del professor M. venga fissata per l’ultimo giorno del convegno è 12:75=0,16

8. Il concorso degli artisti si svolge nell'arco di 5 giorni. Sono state annunciate un totale di 80 esibizioni, una per ciascun paese. Sono previste 8 rappresentazioni il primo giorno, le restanti sono distribuite equamente tra i restanti giorni. L'ordine delle esibizioni è determinato tramite sorteggio. Qual è la probabilità che un rappresentante russo si esibisca il terzo giorno della competizione? Soluzione: Previsto per il terzo giornodiscorsi. Ciò significa che la probabilità che la prestazione di un rappresentante russo venga programmata il terzo giorno della competizione è 18: 80 = 0,225

9. Al seminario sono venuti 3 scienziati norvegesi, 3 russi e 4 spagnoli. L'ordine delle relazioni è determinato tramite sorteggio. Trova la probabilità che l'ottavo rapporto sia un rapporto di uno scienziato russo. Soluzione: In totale, al seminario prendono parte 3 + 3 + 4 = 10 scienziati, il che significa che la probabilità che lo scienziato che parlerà per ottavo venga dalla Russia è 3:10 = 0,3.

10. Prima dell'inizio del primo turno del campionato di badminton, i partecipanti vengono divisi casualmente in coppie di giocatori utilizzando i sorteggi. In totale, 26 giocatori di badminton partecipano al campionato, inclusi 10 partecipanti dalla Russia, tra cui Ruslan Orlov. Qual è la probabilità che Ruslan Orlov giocherà al primo turno con un giocatore di badminton russo? Soluzione: Nel primo turno Ruslan Orlov può giocare con 26 − 1 = 25 giocatori di badminton, di cui 10 − 1 = 9 russi. Ciò significa che la probabilità che nel primo turno Ruslan Orlov giocherà con un qualsiasi giocatore di badminton russo è 9: 25 = 0,36

11. Nella raccolta dei biglietti per la biologia ci sono solo 55 biglietti, 11 dei quali contengono una domanda di botanica. Trova la probabilità che uno studente riceva una domanda di botanica su un biglietto d'esame selezionato casualmente. Soluzione: 11: 55 = 0,2

12. Al campionato di tuffi si esibiscono 25 atleti, tra cui 8 saltatori dalla Russia e 9 saltatori dal Paraguay. L'ordine delle esibizioni è determinato tramite sorteggio. Trova la probabilità che un saltatore paraguaiano sia sesto.

13.Due fabbriche producono lo stesso vetro per i fari delle automobili. La prima fabbrica produce il 30% di questi occhiali, la seconda il 70%. La prima fabbrica produce il 3% di vetro difettoso e la seconda il 4%. Trovare la probabilità che il vetro acquistato accidentalmente in un negozio risulti difettoso.

Soluzione. Converti %% in frazioni.

Evento A - "È stato acquistato il vetro della prima fabbrica". P(A)=0,3

Evento B - "È stato acquistato il vetro della seconda fabbrica". P(B)=0,7

Evento X - "Vetro difettoso".

P(A e X) = 0,3*0,03=0,009

P(B e X) = 0,7*0,04=0,028 Secondo la formula della probabilità totale: P = 0,009+0,028 = 0.037

14.Se il Gran Maestro A. gioca con il bianco, allora vince contro il Gran Maestro B. con probabilità 0,52. Se A. gioca con il nero, allora A. vince contro B. con probabilità 0,3. I Grandi Maestri A. e B. giocano due partite e nella seconda cambiano il colore dei pezzi. Trova la probabilità che A. vinca entrambe le volte. Soluzione: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya e Lyosha tirano a sorte chi dovrebbe iniziare il gioco. Trova la probabilità che Petya debba iniziare il gioco.

Soluzione: esperimento casuale: lancio a sorte.
In questo esperimento, l'evento elementare è il partecipante che vince il lotto.
Elenchiamo i possibili eventi elementari:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Ce ne saranno 4, cioè N=4. La sorte implica che tutti gli eventi elementari siano ugualmente possibili.
L'evento A= (Petya ha vinto il lotto) è favorito da un solo evento elementare (Petya). Pertanto N(A)=1.
Allora P(A)=0,25 Risposta: 0,25.

16. 16 squadre partecipano al Campionato del Mondo. Usando i lotti, devono essere divisi in quattro gruppi di quattro squadre ciascuno. Nella scatola ci sono carte con i numeri dei gruppi mescolati: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. I capitani delle squadre pescano una carta ciascuno. Qual è la probabilità che la squadra russa sia nel secondo gruppo? Soluzione: Risultati totali - 16. Di questi, favorevoli, cioè con il numero 2 sarà 4. Quindi 4: 16=0,25

17. All'esame di geometria, lo studente riceve una domanda dall'elenco delle domande d'esame. La probabilità che si tratti di una domanda a cerchio inscritto è 0,2. La probabilità che questa sia una domanda sull'argomento “Parallelogramma” è 0,15. Non ci sono domande che si riferiscono contemporaneamente a questi due argomenti. Trova la probabilità che uno studente riceva una domanda su uno di questi due argomenti durante l'esame.

= (domanda sull’argomento “Cerchio inscritto”),
= (domanda sull'argomento “Parallelogramma”).
Eventi E sono incompatibili, poiché per condizione l'elenco non contiene domande relative a questi due argomenti contemporaneamente.
Evento= (domanda su uno di questi due argomenti) è una combinazione di essi:.
Applichiamo la formula per aggiungere le probabilità di eventi incompatibili:
.

18.In un centro commerciale, due macchine identiche vendono caffè. La probabilità che la macchina rimanga senza caffè entro la fine della giornata è 0,3. La probabilità che entrambe le macchine finiscano il caffè è 0,12. Trovare la probabilità che alla fine della giornata sia rimasto del caffè in entrambe le macchine.

Definiamo gli eventi
= (il caffè finirà nella prima macchina),
= (nella seconda macchina finirà il caffè).
Secondo le condizioni del problema E .
Utilizzando la formula per aggiungere le probabilità, troviamo la probabilità di un evento
E = (il caffè finirà in almeno una delle macchine):

.
Pertanto la probabilità dell'evento opposto (il caffè rimarrà in entrambe le macchine) è pari a
.

19. Un biatleta spara ai bersagli cinque volte. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,8. Trova la probabilità che il biatleta colpisca i bersagli le prime tre volte e manchi le ultime due. Arrotondare il risultato ai centesimi.

In questo problema si presuppone che il risultato di ogni tiro successivo non dipenda da quelli precedenti. Pertanto gli eventi “centra al primo colpo”, “centra al secondo colpo”, ecc. indipendente.
La probabilità di ogni colpo è uguale. Ciò significa che la probabilità di ogni errore è uguale a. Usiamo la formula per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti. Troviamo che la sequenza
= (colpo, colpo, colpo, mancato, mancato) ha una probabilità
=
= . Risposta: .

20. Nel negozio sono presenti due bancomat. Ognuno di essi può essere difettoso con probabilità 0,05, indipendentemente dall'altra macchina. Trova la probabilità che almeno una macchina funzioni.

Questo problema presuppone anche che gli automi funzionino in modo indipendente.
Troviamo la probabilità dell'evento opposto
= (entrambe le macchine sono difettose).
Per fare ciò, utilizziamo la formula per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti:
.
Ciò significa la probabilità dell'evento= (almeno una macchina è in funzione) è uguale a. Risposta: .

21. La stanza è illuminata da una lanterna con due lampade. La probabilità che una lampada si bruci entro un anno è 0,3. Trovare la probabilità che almeno una lampada non si bruci durante l'anno. Soluzione: entrambi si bruceranno (gli eventi sono indipendenti e usiamo la formula del prodotto delle probabilità) con probabilità p1=0,3⋅0,3=0,09
Evento opposto(NON entrambi si bruceranno = almeno UNO non si brucerà)
accadrà con probabilità p=1-p1=1-0,09=0,91
RISPOSTA: 0,91

22.Probabilità che un nuovo bollitore elettrico duri più di un anno, è pari a 0,97. La probabilità che duri più di due anni è 0,89. Trova la probabilità che duri meno di due anni ma più di un anno

Soluzione.

Sia A = “il bollitore durerà più di un anno, ma meno di due anni”, B = “il bollitore durerà più di due anni”, quindi A + B = “il bollitore durerà più di un anno”.

Gli eventi A e B sono congiunti, la probabilità della loro somma è pari alla somma delle probabilità di questi eventi, ridotta della probabilità del loro verificarsi. La probabilità che si verifichino questi eventi, consistenti nel fatto che il bollitore si romperà esattamente tra due anni - esattamente nello stesso giorno, ora e secondo - è zero. Poi:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

da dove, utilizzando i dati della condizione, otteniamo 0,97 = P(A) + 0,89.

Pertanto, per la probabilità desiderata abbiamo: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Un'azienda agricola acquista uova di gallina da due famiglie. Il 40% delle uova della prima fattoria sono uova della categoria più alta e della seconda fattoria - il 20% delle uova della categoria più alta. In totale, il 35% delle uova riceve la categoria più alta. Trovare la probabilità che un uovo acquistato da questa azienda agricola provenga dalla prima azienda agricola. Soluzione: L'azienda agricola acquisti dalla prima azienda agricola uova, comprese uova della categoria più alta, e nella seconda fattoria - uova, comprese uova della categoria più alta. Pertanto, l'importo totale acquistato dall'agroform uova, comprese uova della categoria più alta. Secondo la condizione, il 35% delle uova ha la categoria più alta, quindi:

Pertanto, la probabilità che l'uovo acquistato provenga dal primo allevamento è pari a =0,75

24. Ci sono 10 cifre sulla tastiera del telefono, da 0 a 9. Qual è la probabilità che una cifra premuta a caso sia pari?

25.Qual è la probabilità che un numero naturale scelto casualmente da 10 a 19 sia divisibile per tre?

26.Cowboy John colpisce una mosca sul muro con una probabilità di 0,9 se spara con un revolver azzerato. Se John spara con una rivoltella senza fuoco, colpisce al volo con probabilità 0,2. Ci sono 10 rivoltelle sul tavolo, solo 4 delle quali sono state colpite. Il cowboy John vede una mosca sul muro, afferra a caso il primo revolver che incontra e spara alla mosca. Trova la probabilità che John manchi l'obiettivo. Soluzione: Giovanni colpisce una mosca se afferra una rivoltella azzerata e colpisce con essa, oppure se afferra una rivoltella non sparata e colpisce con essa. Secondo la formula della probabilità condizionata, le probabilità di questi eventi sono pari rispettivamente a 0,4·0,9 = 0,36 e 0,6·0,2 = 0,12. Questi eventi sono incompatibili, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi: 0,36 + 0,12 = 0,48. L'evento che John perde è l'opposto. La sua probabilità è 1 − 0,48 = 0,52.

27. Ci sono 5 persone nel gruppo di turisti. Utilizzando un sorteggio, scelgono due persone che devono recarsi al villaggio per acquistare il cibo. Il turista A. vorrebbe andare al negozio, ma obbedisce a tutto. Qual è la probabilità che A. vada al negozio? Soluzione: Ci sono cinque turisti in totale, due di loro vengono scelti a caso. La probabilità di essere selezionati è 2: 5 = 0,4. Risposta: 0.4.

28.Prima dell'inizio di una partita di calcio, l'arbitro lancia una moneta per determinare quale squadra inizierà la partita con la palla. La squadra Fizik gioca tre partite con squadre diverse. Trova la probabilità che in questi giochi il “Fisico” vinca il lotto esattamente due volte. Soluzione: Indichiamo con "1" il lato della moneta responsabile della vincita del lotto da parte del "Fisico" e indichiamo con "0" l'altro lato della moneta. Poi ci sono tre combinazioni favorevoli: 110, 101, 011, e ci sono 2 combinazioni in totale 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Pertanto, la probabilità richiesta è pari a:

29. I dadi vengono lanciati due volte. Quanti risultati elementari dell'esperimento favoriscono l'evento “A = la somma dei punti è 5”? Soluzione: La somma dei punti può essere uguale a 5 in quattro casi: “3+2”, “2+3”, “1+4”, “4+1”. Risposta: 4.

30. In un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata due volte. Trova la probabilità che si verifichi il risultato OP (testa la prima volta, croce la seconda volta). Soluzione: Ci sono quattro possibili esiti: testa-testa, testa-croce, croce-testa, croce-croce. Uno è favorevole: testa e croce. Pertanto, la probabilità desiderata è 1: 4 = 0,25. Risposta: 0,25.

31. Le band si esibiscono al festival rock, una per ciascuno dei paesi dichiarati. L'ordine di esecuzione è determinato dal sorteggio. Qual è la probabilità che un gruppo danese si esibisca dopo un gruppo svedese e dopo uno norvegese? Arrotondare il risultato ai centesimi. Soluzione: Il numero totale dei gruppi che si esibiscono al festival non è importante per rispondere alla domanda. Non importa quanti siano, per questi paesi ci sono 6 modi di posizione relativa tra i parlanti (D - Danimarca, W - Svezia, N - Norvegia):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...

La Danimarca si colloca dietro Svezia e Norvegia in due casi. Pertanto, la probabilità che i gruppi siano distribuiti casualmente in questo modo è pari a Risposta: 0,33.

32. Durante il tiro dell'artiglieria sistema automatico fa un tiro al bersaglio. Se il bersaglio non viene distrutto, il sistema spara un secondo colpo. I colpi vengono ripetuti finché il bersaglio non viene distrutto. La probabilità di distruggere un determinato bersaglio con il primo colpo è 0,4 e con ogni colpo successivo è 0,6. Quanti colpi saranno necessari per garantire che la probabilità di distruggere il bersaglio sia almeno 0,98? Soluzione: Puoi risolvere il problema “con l’azione”, calcolando la probabilità di sopravvivere dopo una serie di errori consecutivi: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Quest'ultima probabilità è inferiore a 0,02, quindi sono sufficienti cinque colpi al bersaglio.

33. Per avanzare al turno successivo della competizione, una squadra di calcio deve segnare almeno 4 punti in due partite. Se una squadra vince, riceve 3 punti, se pareggia 1 punto e se perde 0 punti. Trovare la probabilità che la squadra avanzi al turno successivo della competizione. Considera che in ogni gioco le probabilità di vincere e perdere sono le stesse e pari a 0,4. Soluzione : Una squadra può ottenere almeno 4 punti in due partite in tre modi: 3+1, 1+3, 3+3. Questi eventi sono incompatibili; la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle loro probabilità. Ciascuno di questi eventi è il prodotto di due eventi indipendenti: il risultato nel primo e nel secondo gioco. Da qui abbiamo:

34. In una certa città, su 5.000 bambini nati, 2.512 sono maschi. Trova la frequenza delle nascite delle ragazze in questa città. Arrotondare il risultato al migliaio più vicino. Soluzione: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. A bordo dell'aeromobile ci sono 12 posti accanto alle uscite di emergenza e 18 posti dietro i divisori che separano le cabine. I restanti posti sono scomodi per i passeggeri alti. Il passeggero V. è alto. Calcola la probabilità che al momento del check-in, se un posto viene selezionato casualmente, il passeggero B otterrà un posto comodo se ci sono 300 posti in totale sull'aereo. Soluzione : Sull'aereo ci sono 12 + 18 = 30 posti comodi per il passeggero B, e ci sono 300 posti in totale sull'aereo. Pertanto, la probabilità che il passeggero B ottenga un posto comodo è 30: 300 = 0,1.

36. Alle Olimpiadi universitarie i partecipanti sono seduti in tre aule. Nei primi due ci sono 120 persone ciascuno; i restanti vengono portati in un auditorium di riserva in un altro edificio. Dal conteggio si è scoperto che c'erano 250 partecipanti in totale. Trova la probabilità che un partecipante selezionato a caso abbia scritto il concorso in un'aula libera. Soluzione: In totale, 250 − 120 − 120 = 10 persone sono state inviate al pubblico di riserva. Pertanto, la probabilità che un partecipante selezionato a caso abbia scritto le Olimpiadi in un'aula libera è 10: 250 = 0,04. Risposta: 0,04.

37. Ci sono 26 persone nella classe, tra cui due gemelli: Andrey e Sergey. La classe viene divisa casualmente in due gruppi di 13 persone ciascuno. Trova la probabilità che Andrey e Sergey facciano parte dello stesso gruppo. Soluzione: Lascia che uno dei gemelli sia in qualche gruppo. Insieme a lui faranno parte del gruppo 12 persone dei 25 compagni di classe rimasti. La probabilità che il secondo gemello sia tra queste 12 persone è 12: 25 = 0,48.

38. Una compagnia di taxi ha 50 auto; 27 di essi sono neri con iscrizioni gialle sui lati, il resto è giallo con iscrizioni nere. Trova la probabilità che un'auto gialla con la scritta nera risponda a una chiamata casuale. Soluzione: 23:50=0,46

39.Ci sono 30 persone nel gruppo di turisti. Vengono portati in elicottero in una zona difficile da raggiungere in più tappe, 6 persone per volo. L'ordine in cui l'elicottero trasporta i turisti è casuale. Trova la probabilità che il turista P. faccia il primo volo in elicottero. Soluzione: Ci sono 6 posti sul primo volo, 30 posti in totale. Quindi la probabilità che il turista P. voli sul primo volo in elicottero è: 6:30 = 0,2

40. La probabilità che un nuovo lettore DVD venga riparato in garanzia entro un anno è 0,045. In una certa città, su 1.000 lettori DVD venduti durante l'anno, 51 unità sono state ricevute dall'officina in garanzia. Quanto è diversa la frequenza dell'evento di “riparazione in garanzia” dalla sua probabilità in questa città? Soluzione: La frequenza (frequenza relativa) dell'evento di “riparazione in garanzia” è 51: 1000 = 0,051. Si differenzia dalla probabilità prevista di 0,006.

41. Quando si producono cuscinetti con un diametro di 67 mm, la probabilità che il diametro differisca da quello specificato di non più di 0,01 mm è 0,965. Trovare la probabilità che un cuscinetto casuale abbia un diametro inferiore a 66,99 mm o superiore a 67,01 mm. Soluzione. A seconda delle condizioni, il diametro del cuscinetto sarà compreso tra 66,99 e 67,01 mm con una probabilità di 0,965. Pertanto, la probabilità desiderata dell'evento opposto è 1 − 0,965 = 0,035.

42. La probabilità che lo studente O. risolva correttamente più di 11 problemi in un test di biologia è 0,67. La probabilità che O. risolva correttamente più di 10 problemi è 0,74. Trova la probabilità che O. risolva correttamente esattamente 11 problemi. Soluzione: Consideriamo gli eventi A = “lo studente risolverà 11 problemi” e B = “lo studente risolverà più di 11 problemi”. La loro somma è evento A + B = “lo studente risolverà più di 10 problemi”. Gli eventi A e B sono incompatibili, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi: P(A + B) = P(A) + P(B). Quindi, utilizzando questi problemi, otteniamo: 0,74 = P(A) + 0,67, da cui P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

43. Per entrare nell'istituto per la specialità "Linguistica", il richiedente deve ottenere almeno 70 punti nell'Esame di Stato Unificato in ciascuna delle tre materie: matematica, lingua russa e lingua straniera. Per iscriversi alla specialità "Commercio", è necessario ottenere almeno 70 punti in ciascuna delle tre materie: matematica, lingua russa e studi sociali. La probabilità che il candidato Z. riceva almeno 70 punti in matematica è 0,6, in russo - 0,8, in una lingua straniera - 0,7 e in studi sociali - 0,5. Trova la probabilità che Z. possa iscriversi ad almeno uno delle due specialità citate. Soluzione: Per potersi iscrivere ovunque, Z. deve superare sia il russo che la matematica con almeno 70 punti e, oltre a questo, anche una lingua straniera o studi sociali con almeno 70 punti. Permettere A, B, C e D - questi sono eventi in cui Z. supera rispettivamente matematica, russo, studi esteri e studi sociali con almeno 70 punti. Poi da allora

Per la probabilità di arrivo abbiamo:

44. In una fabbrica di stoviglie in ceramica, il 10% dei piatti prodotti sono difettosi. Durante il controllo qualità del prodotto, viene identificato l'80% delle piastre difettose. I restanti piatti sono in vendita. Trovare la probabilità che un piatto scelto casualmente al momento dell'acquisto non presenti difetti. Arrotonda la tua risposta al centesimo più vicino. Soluzione : Lasciamo che la fabbrica producapiatti. Tutte le lastre di qualità e il 20% delle lastre difettose non rilevate saranno in vendita:piatti. Perché quelli di qualità, la probabilità di acquistare una lastra di alta qualità è 0,9p:0,92p=0,978 Risposta: 0,978.

45.Ci sono tre venditori nel negozio. Ognuno di loro è impegnato con un cliente con probabilità 0,3. Trovare la probabilità che in un momento casuale tutti e tre i venditori siano occupati nello stesso momento (supponiamo che i clienti entrino indipendentemente l'uno dall'altro). Soluzione : La probabilità di un prodotto di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi. Pertanto, la probabilità che tutti e tre i venditori siano occupati è uguale

46.Sulla base delle recensioni dei clienti, Ivan Ivanovich ha valutato l'affidabilità di due negozi online. La probabilità che il prodotto desiderato venga consegnato dal negozio A è 0,8. La probabilità che questo prodotto venga consegnato dal negozio B è 0,9. Ivan Ivanovic ordinò la merce da entrambi i negozi contemporaneamente. Supponendo che i negozi online operino indipendentemente gli uni dagli altri, calcola la probabilità che nessun negozio consegni il prodotto. Soluzione: La probabilità che il primo negozio non consegni la merce è 1 − 0,9 = 0,1. La probabilità che il secondo negozio non consegni la merce è 1 − 0,8 = 0,2. Poiché questi eventi sono indipendenti, la probabilità che si verifichino (entrambi i negozi non consegneranno la merce) è pari al prodotto delle probabilità di questi eventi: 0,1 · 0,2 = 0,02

47.Un autobus collega ogni giorno il centro del distretto al villaggio. La probabilità che lunedì ci siano meno di 20 passeggeri sull'autobus è 0,94. La probabilità che ci siano meno di 15 passeggeri è 0,56. Trova la probabilità che il numero di passeggeri sia compreso tra 15 e 19. Soluzione: Consideriamo gli eventi A = “ci sono meno di 15 passeggeri sull’autobus” e B = “ci sono da 15 a 19 passeggeri sull’autobus”. La loro somma è l’evento A + B = “ci sono meno di 20 passeggeri sull’autobus”. Gli eventi A e B sono incompatibili, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi: P(A + B) = P(A) + P(B). Quindi, utilizzando questi problemi, otteniamo: 0,94 = 0,56 + P(B), da cui P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Risposta: 0,38.

48.Prima dell'inizio di una partita di pallavolo, i capitani delle squadre effettuano un sorteggio equo per determinare quale squadra inizierà la partita con la palla. La squadra “Statore” gioca a turno con le squadre “Rotore”, “Motore” e “Starter”. Trova la probabilità che Stator inizi solo la prima e l'ultima partita. Soluzione. Devi trovare la probabilità che si verifichino tre eventi: “Stator” inizia il primo gioco, non inizia il secondo gioco e inizia il terzo gioco. La probabilità di un prodotto di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi. La probabilità di ciascuno di essi è 0,5, da cui troviamo: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Risposta: 0,125.

49. Nella Terra Magica esistono due tipi di tempo: bello ed ottimo, ed il tempo, una volta stabilito al mattino, rimane invariato per tutta la giornata. È noto che con probabilità 0,8 il tempo domani sarà lo stesso di oggi. Oggi è il 3 luglio, il tempo nella Terra Magica è bello. Calcola la probabilità che il tempo sia bello nel Paese delle Fate il 6 luglio. Soluzione. Per il tempo del 4, 5 e 6 luglio ci sono 4 opzioni: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (qui X significa bel tempo, O è bel tempo). Troviamo le probabilità che si verifichi tale tempo meteorologico: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Questi eventi sono incompatibili, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Tutti i pazienti con sospetta epatite vengono sottoposti ad un esame del sangue. Se il test rivela l'epatite, viene chiamato il risultato del test positivo . Nei pazienti con epatite, il test dà un risultato positivo con una probabilità di 0,9. Se il paziente non ha l'epatite, il test può dare un risultato falso positivo con una probabilità di 0,01. È noto che il 5% dei pazienti ricoverati con sospetta epatite hanno effettivamente l'epatite. Trovare la probabilità che un paziente ricoverato in clinica con sospetta epatite risulti positivo. Soluzione. L’analisi di un paziente può essere positiva per due motivi: A) il paziente ha l’epatite, la sua analisi è corretta; B) il paziente non ha l'epatite, la sua analisi è falsa. Questi sono eventi incompatibili, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. Abbiamo: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Misha aveva quattro caramelle in tasca: "Grilyazh", "Scoiattolo", "Korovka" e "Rondine", così come le chiavi dell'appartamento. Mentre tirava fuori le chiavi, Misha lasciò cadere accidentalmente una caramella dalla tasca. Trova la probabilità che la caramella “Grillage” sia andata perduta.

52. Un orologio meccanico con quadrante di dodici ore a un certo punto si ruppe e smise di funzionare. Trova la probabilità che la lancetta delle ore si blocchi, raggiungendo la posizione delle 10, ma non raggiungendo la posizione dell'1. Soluzione: 3: 12=0,25

53. La probabilità che la batteria sia difettosa è 0,06. Un acquirente in un negozio sceglie a caso un pacco contenente due di queste batterie. Trova la probabilità che entrambe le batterie siano buone. Soluzione: La probabilità che la batteria sia buona è 0,94. La probabilità che si verifichino eventi indipendenti (entrambe le batterie saranno buone) è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi: 0,94·0,94 = 0,8836 Risposta: 0,8836.

54. Una linea automatica produce batterie. La probabilità che una batteria esaurita sia difettosa è 0,02. Prima dell'imballaggio, ciascuna batteria passa attraverso un sistema di controllo. La probabilità che il sistema rifiuti una batteria difettosa è 0,99. La probabilità che il sistema rifiuti erroneamente una batteria funzionante è 0,01. Trovare la probabilità che una batteria prodotta in modo casuale venga rifiutata dal sistema di ispezione. Soluzione. Una situazione in cui la batteria verrà scartata può verificarsi a seguito dei seguenti eventi: A = la batteria è veramente difettosa ed è stata scartata correttamente, oppure B = la batteria funziona, ma è stata scartata erroneamente. Questi sono eventi incompatibili, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. Abbiamo:

55.L'immagine mostra un labirinto. Il ragno striscia nel labirinto al punto d'ingresso. Il ragno non può girarsi e strisciare indietro, quindi ad ogni ramo il ragno sceglie uno dei percorsi lungo il quale non ha ancora strisciato. Supponendo che la scelta del percorso ulteriore sia puramente casuale, determina con quale probabilità il ragno arriverà all'uscita.