In questo video analizzeremo tutta una serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.
Per prima cosa definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale è chiamata la più semplice?
Un'equazione lineare è un'equazione in cui esiste una sola variabile e solo di primo grado.
L'equazione più semplice significa la costruzione:
Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte al più semplice utilizzando l'algoritmo:
- Espandi le parentesi, se presenti;
- Sposta i termini che contengono una variabile da un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altro;
- Assegna termini simili a sinistra e a destra del segno di uguale;
- Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$.
Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte dopo tutte queste macchinazioni il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:
- L’equazione non ha alcuna soluzione. Ad esempio, quando risulta qualcosa come $0\cdot x=8$, cioè a sinistra c'è zero e a destra c'è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
- La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, qualunque sia il $x$ che sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.
Ora vediamo come funziona tutto questo usando esempi di vita reale.
Esempi di risoluzione di equazioni
Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.
Tali costruzioni sono risolte più o meno allo stesso modo:
- Prima di tutto bisogna espandere le parentesi, se ce ne sono (come nel nostro ultimo esempio);
- Quindi combina simili
- Infine, isola la variabile, ad es. spostare da un lato tutto ciò che è connesso alla variabile, i termini in cui è contenuta, e dall’altro tutto ciò che ne rimane senza.
Quindi, di regola, è necessario portarne di simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente "x" e otterremo la risposta finale.
In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti più esperti delle scuole superiori possono commettere errori offensivi in equazioni lineari abbastanza semplici. In genere, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si calcolano i "più" e i "meno".
Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera retta numerica, cioè qualsiasi numero. Esamineremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con il vero compiti semplici.
Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari
Per prima cosa, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:
- Espandi le parentesi, se presenti.
- Isoliamo le variabili, cioè Spostiamo tutto ciò che contiene "X" da un lato e tutto ciò che non contiene "X" dall'altro.
- Presentiamo termini simili.
- Dividiamo tutto per il coefficiente “x”.
Naturalmente, questo schema non sempre funziona, contiene alcune sottigliezze e trucchi e ora li conosceremo.
Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari
Compito n. 1
Il primo passaggio richiede l'apertura delle parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di termini individuali. Scriviamolo:
Presentiamo termini simili a sinistra e a destra, ma questo è già stato fatto qui. Passiamo quindi al quarto passaggio: dividiamo per il coefficiente:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Quindi abbiamo ottenuto la risposta.
Compito n. 2
Possiamo vedere le parentesi in questo problema, quindi espandiamole:
Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente lo stesso disegno, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. separando le variabili:
Eccone alcuni simili:
Con quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.
Compito n.3
La terza equazione lineare è più interessante:
\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]
Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, sono semplicemente precedute da segni diversi. Analizziamoli:
Eseguiamo il secondo passo a noi già noto:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Facciamo i conti:
Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari
Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:
- Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione: a volte semplicemente non ci sono radici;
- Anche se ci sono radici, potrebbero non essercene zero: non c'è niente di sbagliato in questo.
Lo zero è lo stesso numero degli altri; non dovresti discriminarlo in alcun modo o dare per scontato che se ottieni zero, allora hai fatto qualcosa di sbagliato.
Un'altra caratteristica è legata all'apertura delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo utilizzando algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.
Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando fare queste cose è dato per scontato.
Risoluzione di equazioni lineari complesse
Passiamo ad equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complesse e quando si eseguono varie trasformazioni apparirà una funzione quadratica. Tuttavia, non dovremmo averne paura, perché se, secondo il piano dell'autore, stiamo risolvendo un'equazione lineare, durante il processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica si annulleranno sicuramente.
Esempio n. 1
Ovviamente il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:
Ora diamo un'occhiata alla privacy:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Eccone alcuni simili:
Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi scriveremo questo nella risposta:
\[\nulla\]
oppure non ci sono radici.
Esempio n.2
Eseguiamo le stesse azioni. Primo passo:
Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:
Eccone alcuni simili:
Ovviamente questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriveremo in questo modo:
\[\nulla\],
oppure non ci sono radici.
Sfumature della soluzione
Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Usando queste due espressioni come esempio, eravamo ancora una volta convinti che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto potrebbe non essere così semplice: possono esserci una, o nessuna, o infinite radici. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, entrambe semplicemente non hanno radici.
Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come aprirle se davanti a loro c'è un segno meno. Considera questa espressione:
Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per “X”. Nota: moltiplica ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini, rispettivamente due termini e moltiplicati.
E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, puoi aprire la parentesi dal punto di vista del fatto che dietro di essa c'è un segno meno. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono completate, ricordiamo che davanti alle parentesi c'è un segno meno, il che significa che tutto sotto cambia semplicemente segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.
Facciamo lo stesso con la seconda equazione:
Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti, apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.
Naturalmente, arriverà il giorno in cui affinerai queste abilità fino al punto di automatismo. Non dovrai più eseguire tante trasformazioni ogni volta; scriverai tutto su una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.
Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse
Ciò che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.
Compito n. 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima parte:
Facciamo un po' di privacy:
Eccone alcuni simili:
Completiamo l'ultimo passaggio:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione lineare e non quadratica.
Compito n. 2
\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]
Eseguiamo attentamente il primo passaggio: moltiplichiamo ciascun elemento della prima parentesi per ciascun elemento della seconda. Dovrebbero esserci un totale di quattro nuovi termini dopo le trasformazioni:
Ora eseguiamo attentamente la moltiplicazione in ciascun termine:
Spostiamo i termini con "X" a sinistra e quelli senza - a destra:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Ecco termini simili:
Ancora una volta abbiamo ricevuto la risposta definitiva.
Sfumature della soluzione
La nota più importante riguardo queste due equazioni è la seguente: non appena iniziamo a moltiplicare parentesi che contengono più di un termine, ciò avviene secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo con ciascun elemento da il secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e moltiplichiamo allo stesso modo con ciascun elemento del secondo. Di conseguenza, avremo quattro termini.
Sulla somma algebrica
Con quest’ultimo esempio vorrei ricordare agli studenti cos’è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottrarre sette da uno. In algebra, con questo intendiamo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, vale a dire "meno sette". Ecco come una somma algebrica differisce da una somma aritmetica ordinaria.
Non appena, eseguendo tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizierai a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.
Infine, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli appena visti, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.
Risoluzione di equazioni con le frazioni
Per risolvere tali compiti, dovremo aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, lascia che ti ricordi il nostro algoritmo:
- Apri le parentesi.
- Variabili separate.
- Portatene di simili.
- Dividi per il rapporto.
Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficacia, risulta non essere del tutto appropriato quando abbiamo davanti le frazioni. E in quello che vedremo di seguito, in entrambe le equazioni abbiamo una frazione sia a sinistra che a destra.
Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero eliminare le frazioni. Quindi l'algoritmo sarà il seguente:
- Sbarazzarsi delle frazioni.
- Apri le parentesi.
- Variabili separate.
- Portatene di simili.
- Dividi per il rapporto.
Cosa significa “sbarazzarsi delle frazioni”? E perché ciò può essere fatto sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche al denominatore, cioè Ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.
Esempio n. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Eliminiamo le frazioni in questa equazione:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, cioè solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicarle ciascuna per "quattro". Scriviamo:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ora espandiamo:
Escludiamo la variabile:
Eseguiamo la riduzione di termini simili:
\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.
Esempio n.2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Il problema è risolto.
Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti oggi.
Punti chiave
I risultati principali sono:
- Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
- Possibilità di aprire parentesi.
- Non preoccuparti se da qualche parte hai funzioni quadratiche: molto probabilmente verranno ridotte nel processo di ulteriori trasformazioni.
- Ci sono tre tipi di radici nelle equazioni lineari, anche quelle più semplici: una radice singola, l'intera linea numerica è una radice e nessuna radice.
Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito e risolvi gli esempi lì presentati. Restate sintonizzati, tante altre cose interessanti vi aspettano!
Gli scienziati hanno studiato i ritmi dell'attività cerebrale e individuato quello più adatto all'intuizione creativa e alla ricerca di idee utili.
Gli scienziati hanno studiato i ritmi dell'attività cerebrale e individuato quello più adatto all'intuizione creativa e alla ricerca di idee utili.
Mangiare. Sonno. Risolvere problemi. Ripetere.È probabile che, oltre a dormire la notte, passi la maggior parte del tuo tempo a risolvere una serie di problemi, soprattutto al lavoro.
Non che sia una brutta cosa. Molti dei migliori imprenditori del mondo, da Sarah Blakely a Richard Branson, devono il loro successo alla capacità di identificare i problemi (in questo caso, i bisogni insoddisfatti dei consumatori) e di fornire soluzioni.
Ma per quanto una parte importante della nostra vita sia la risoluzione dei problemi, è comunque stressante e alcune persone sembrano affrontarla meglio di altre.
Pertanto, coloro che vogliono avere più successo in questo gioco, possono provare qualcosa di nuovo: cercare soluzioni in un sogno. Letteralmente. È chiamato “prendi il tuo ritmo theta”. No, non stiamo parlando di autoipnosi o di meditazione: è scienza pura e funziona.
Ma prima capiamolo:
Cosa sono i ritmi cerebrali?
Come spiega l'insegnante Ned Herrmann, questo ritmi che governano l’attività elettrica del cervello. A seconda del livello di attività Si possono distinguere quattro ritmi diversi. Li elenchiamo in ordine decrescente di frequenza d'onda.
- Durante i periodi di massima attività (ad esempio durante un colloquio importante), il tuo cervello lavora ritmo beta.
- Quando sei rilassato, ad esempio, hai appena completato un grande progetto e puoi finalmente espirare, il cervello passa a ritmo alfa.
- Adesso facciamo un salto in avanti: il quarto ritmo è indicato dalla lettera "delta" e viene registrato quando sei nel sonno profondo.
Abbiamo saltato la terza fase, il ritmo theta, perché è quella più adatta alla risoluzione dei problemi. Hermann dice:
“Le persone che trascorrono molto tempo alla guida spesso hanno buone idee durante questi periodi in cui sono nel ritmo theta... Questo può accadere sotto la doccia o il bagno, e anche mentre si rade o si pettina. Questo è uno stato in cui la risoluzione di un problema diventa così automatica che puoi astrartene mentalmente. Con il ritmo theta sembra spesso che il flusso dei pensieri non sia limitato da nulla, né dalla censura interna, né dai sensi di colpa.
Il cervello entra in questo stato, anche quando ci si addormenta o ci si sveglia, quando ci si trova in equilibrio tra la veglia e il sonno profondo. Herrmann spiega:
“Al risveglio, il cervello può mantenere il ritmo theta per un periodo prolungato, diciamo da 5 a 15 minuti, e questo tempo può essere utilizzato per riflettere liberamente sugli eventi di ieri o su ciò che ci aspetta nel nuovo giorno. Questo periodo può essere molto produttivo e portare molte idee significative e creative”.
Ci sono prove concrete che funzioni?
Cogli l'attimo in cui il tuo cervello è pronto a darti migliori idee, è una tecnica che le persone di successo seguono da centinaia di anni.
Artisti, scrittori e grandi pensatori hanno da tempo notato che quei momenti in cui ci “addormentiamo” – cioè proprio quando il ritmo theta predomina nel cervello – miglior tempo per risvegliare la creatività.
Albert Einstein e Thomas Edison avevano l'abitudine di risolvere problemi complessi mentre erano mezzi addormentati. Una mente veloce e creativa è adatta alla risoluzione dei problemi, ecco perché anche riflettere brevemente sulle sfide della giornata la mattina presto mentre sei ancora in quello stato (o anche di notte mentre stai iniziando ad addormentarti) può produrre risultati sorprendenti risultati. Ciò che ha funzionato per Einstein potrebbe funzionare anche per te, anche se non ti promettiamo che diventerai l'autore di una nuova teoria della relatività.
Come usare il ritmo theta?
Ci vorrà del tempo. Ma se esegui questa pratica regolarmente, svilupperai un’abitudine sana che porterà la tua produttività a un livello superiore. Ecco cosa ti serve per questo:
1. Seleziona un'attività
Al mattino, quando hai già iniziato a svegliarti, ma i tuoi occhi sono ancora chiusi e il tuo cervello è ancora mezzo addormentato, pensa al problema o al compito più urgente che dovrai affrontare oggi. Forse si tratterà di una conversazione complicata, di una trattativa importante con un cliente, della scrittura di un rapporto o dello sviluppo di una nuova campagna di marketing. Ma non importa quanti compiti aleggiano nella tua mente, devi sceglierne uno e lasciare che il tuo cervello ci lavori sopra.
Non cercare di dirigere o limitare in qualche modo i tuoi pensieri, assicurati solo che non si allontanino troppo dall'argomento indicato. Molto probabilmente, il tuo cervello inizierà inconsciamente a selezionare una soluzione.
Ti ritroverai spesso con un paio di idee utili. A volte è persino un’intuizione brillante. Molto probabilmente, all'inizio ti dimenticherai di usare questo metodo ogni giorno, ma col tempo diventerà un'altra abitudine, parte dei tuoi rituali mattutini.
2. Prendi appunti
Forse la parte più frustrante della risoluzione dei problemi theta per te è che dimenticherai quelle idee ispirate non appena lascerai la testa dal cuscino. Ti lavorerai il cervello sotto la doccia, cercando di estrarre quel brillante piano in tre punti che hai appena abbozzato mentalmente. Ecco perché devi scrivere i tuoi propositi non appena sei abbastanza sveglio da aprire gli occhi.
Prendi il tuo smartphone (si ricarica ancora sulla testiera del letto, vero?) e registra subito i tuoi pensieri, tramite SMS o su un registratore vocale. Non perdere tempo. Limitati a parole chiave, descrizioni e frasi che ti faranno rinfrescare la memoria in seguito, quando sarai pronto per utilizzare le informazioni.
Un ulteriore vantaggio: la luce blu dello schermo del telefono ti aiuterà a svegliarti. E se vuoi ricorrere allo stesso metodo la sera, mentre ti addormenti, è meglio usare carta e penna: in questo modo la luce artificiale non disturberà il tuo sonno.
3. Analizza l'esperienza
Tieni un diario dei tuoi "pensieri theta": nel tempo, questo ti aiuterà a trovare soluzioni tipiche e aree della loro applicazione. Potresti scoprire che questo metodo è più efficace per te quando risolvi problemi creativi o notare che ti dà un vantaggio nella comunicazione con le persone o nella pianificazione. Questo ti aiuterà a capire quali problemi dovrebbero essere risolti utilizzando il ritmo theta in futuro.
L'ispirazione può venire da qualsiasi luogo.
Ma lo stesso vale per gli ostacoli.
Il Pensiero Theta utilizza la capacità universale di risoluzione dei problemi del cervello in modo che tu possa ricordare quelle soluzioni e usarle. Spesso può aiutarti a superare il prossimo ostacolo sul tuo cammino o a colmare il divario tra un'idea mal realizzata e una soluzione veramente utile, e perché non approfittarne? Non devi nemmeno alzarti dal letto per farlo! pubblicato
Come imparare a risolvere semplici e equazioni complesse
Cari genitori!
Senza una formazione matematica di base, l'educazione di una persona moderna è impossibile. A scuola, la matematica funge da materia di supporto per molte discipline correlate. Nella vita postscolastica, la formazione continua diventa una vera necessità, che richiede una formazione di base a livello scolastico, compresa la matematica.
IN scuola elementare non solo viene posta la conoscenza sugli argomenti principali, ma si sviluppa anche pensiero logico, immaginazione e rappresentazioni spaziali, nonché la formazione di interesse per questo argomento.
Osservando il principio di continuità, ci concentreremo sull’argomento più importante, ovvero “La relazione tra le componenti delle azioni nella risoluzione di equazioni composte”.
Con questa lezione puoi imparare facilmente come risolvere equazioni complesse. In questa lezione imparerai in dettaglio istruzioni passo passo risolvere equazioni complicate.
Molti genitori sono perplessi sulla questione di come insegnare ai propri figli a risolvere equazioni semplici e complesse. Se le equazioni sono semplici, questo è metà del problema, ma ce ne sono anche di complesse, ad esempio integrali. A proposito, per informazione, ci sono anche equazioni che le migliori menti del nostro pianeta stanno lottando per risolvere e per la cui soluzione vengono concessi bonus monetari molto significativi. Ad esempio, se ricordiPerelmane un bonus in contanti non riscosso di diversi milioni.
Ma torniamo prima alle semplici equazioni matematiche e ripetiamo i tipi di equazioni e i nomi dei componenti. Un po' di riscaldamento:
_________________________________________________________________________
RISCALDAMENTO
Trova il numero extra in ciascuna colonna:
2) Quale parola manca in ogni colonna?
3) Collega le parole della prima colonna con le parole della seconda colonna.
"Equazione" "Uguaglianza"
4) Come spieghi cos'è l'“uguaglianza”?
5) Che dire dell'“equazione”? Questa è uguaglianza? Cos'ha di speciale?
termine somma
differenza minuendo
prodotto sottrattivo
fattoreuguaglianza
dividendo
l'equazione
Conclusione: un'equazione è un'uguaglianza con una variabile il cui valore deve essere trovato.
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Invito ciascun gruppo a scrivere le equazioni su un foglio di carta con un pennarello: (alla lavagna)
| Gruppo 1 - con un termine sconosciuto; gruppo 2 - con decremento sconosciuto; Gruppo 3 - con sottraendo sconosciuto; gruppo 4 - con divisore sconosciuto; gruppo 5 - con dividendo sconosciuto; Gruppo 6 - con un moltiplicatore sconosciuto. | 1 gruppo x + 8 = 15 Gruppo 2 x - 8 = 7 3 gruppo 48 - x = 36 4 gruppo 540: x = 9 5 gruppo x: 15 = 9 6 gruppo x * 10 = 360 |
Uno del gruppo deve leggere la propria equazione in linguaggio matematico e commentare la propria soluzione, ovvero parlare dell'operazione eseguita con i componenti noti delle azioni (algoritmo).
Conclusione: possiamo risolvere semplici equazioni di tutti i tipi utilizzando un algoritmo, leggere e scrivere espressioni letterali.
Propongo di risolvere un problema in cui appare un nuovo tipo di equazione.
Conclusione: abbiamo conosciuto la soluzione delle equazioni, una delle cui parti contiene un'espressione numerica, il cui valore deve essere trovato e deve essere ottenuta una semplice equazione.
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Consideriamo un'altra versione dell'equazione, la cui soluzione si riduce alla risoluzione di una catena di equazioni semplici. Ecco un'introduzione alle equazioni composte.
| a + b * c (x - y) : 3 2 * d + (m - n) Le equazioni sono scritte? Perché? Come si chiamano tali azioni? Leggili, nominando l'ultima azione: | NO. Queste non sono equazioni perché l'equazione deve avere un segno "=". Espressioni a + b * c - la somma del numero a e il prodotto dei numeri b e c; (x - y): 3 - quoziente della differenza tra i numeri xey; 2 * d + (m - n) - la somma del doppio del numero d e della differenza tra i numeri m e n. |
Suggerisco a tutti di scrivere una frase in linguaggio matematico:
Il prodotto della differenza tra i numeri xe 4 e il numero 3 è 15.
CONCLUSIONE: La situazione problematica che si è creata motiva la fissazione dell'obiettivo della lezione: imparare a risolvere equazioni in cui la componente incognita è un'espressione. Tali equazioni sono equazioni composte.
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O forse i tipi di equazioni che abbiamo già studiato ci aiuteranno? (algoritmi)
A quale delle famose equazioni è simile la nostra equazione? X*a = b
DOMANDA MOLTO IMPORTANTE: Qual è l'espressione sul lato sinistro: somma, differenza, prodotto o quoziente?
(x - 4) * 3 = 15 (Prodotto)
Perché? (poiché l'ultima azione è la moltiplicazione)
Conclusione:Tali equazioni non sono state ancora considerate. Ma possiamo risolverlo se l'espressionex-4metti una carta (y - igrek) e otterrai un'equazione che può essere facilmente risolta utilizzando un semplice algoritmo per trovare la componente sconosciuta.
Quando si risolvono equazioni composte, è necessario ad ogni passaggio selezionare un'azione a livello automatizzato, commentando e nominando i componenti dell'azione.
| Parte semplificata |
| NO ↓ SÌ |
(y - 5) *
4
=
28
sì - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5+7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28(io)
Conclusione:In classi con background diversi, questo lavoro può essere organizzato in modo diverso. Nelle classi più preparate, anche per il consolidamento primario, si possono utilizzare espressioni in cui non due, ma tre o più azioni, ma la loro soluzione richiede Di più passaggi, ciascuno dei quali semplifica l'equazione fino a ottenere un'equazione semplice. E ogni volta puoi osservare come cambia la componente sconosciuta delle azioni.
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CONCLUSIONE:
Quando parliamo di qualcosa di molto semplice e comprensibile, spesso diciamo: “La questione è chiara come due più due fa quattro!”
Ma prima di capire che due più due fa quattro, le persone hanno dovuto studiare per molte, molte migliaia di anni.
Molte regole dei libri di testo scolastici di aritmetica e geometria erano note agli antichi greci più di duemila anni fa.
Ovunque tu abbia bisogno di contare, misurare, confrontare qualcosa, non puoi fare a meno della matematica.
È difficile immaginare come vivrebbero le persone se non sapessero contare, misurare e confrontare. La matematica insegna questo.
Oggi vi siete immersi nella vita scolastica, avete interpretato il ruolo degli studenti e vi invito, cari genitori, a valutare le vostre capacità su una scala.
| Le mie abilità | Data e valutazione |
| Componenti dell'azione. | |
| Elaborazione di un'equazione a componente incognita. | |
| Leggere e scrivere espressioni. | |
| Trova la radice di una semplice equazione. | |
| Trova la radice di un'equazione in cui una delle parti contiene un'espressione numerica. | |
| Trova la radice di un'equazione in cui la componente incognita dell'azione è un'espressione. |
52. Di più esempi complessi equazioni.
Esempio 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Il denominatore comune è x 2 – 1, poiché x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Moltiplichiamo entrambi i lati di questa equazione per x 2 – 1. Otteniamo:
oppure, dopo la riduzione,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 e x = 3½
Consideriamo un'altra equazione:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Risolvendo come sopra, otteniamo:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 oppure 2x = 2 e x = 1.
Vediamo se le nostre uguaglianze sono giustificate se sostituiamo x in ciascuna delle equazioni considerate con il numero trovato.
Per il primo esempio otteniamo:
Vediamo che non c'è spazio per alcun dubbio: abbiamo trovato un numero per x tale che l'uguaglianza richiesta è giustificata.
Per il secondo esempio otteniamo:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) o 5/0 – 3/2 = 15/0
Qui sorgono dei dubbi: siamo di fronte alla divisione per zero, cosa impossibile. Se in futuro riusciremo a dare un certo significato, anche se indiretto, a questa divisione, allora potremo convenire che la soluzione trovata x – 1 soddisfa la nostra equazione. Fino ad allora, dobbiamo ammettere che la nostra equazione non ha una soluzione che abbia un significato diretto.
Tali casi possono verificarsi quando l'incognita è in qualche modo inclusa nei denominatori delle frazioni presenti nell'equazione, e alcuni di questi denominatori, una volta trovata la soluzione, tornano a zero.
Esempio 2.
Puoi immediatamente vedere che questa equazione ha la forma di una proporzione: il rapporto tra il numero x + 3 e il numero x – 1 è uguale al rapporto tra il numero 2x + 3 e il numero 2x – 2. Lascia che qualcuno, in Vista questa circostanza, decidiamo di applicare qui l'applicazione della libera equazione dalle frazioni, la proprietà principale della proporzione (il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi). Quindi otterrà:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
In questo caso, il timore che non riusciremo a far fronte a questa equazione potrebbe essere sollevato dal fatto che l’equazione include termini con x 2. Tuttavia, possiamo sottrarre 2x 2 da entrambi i lati dell'equazione: ciò non interromperà l'equazione; quindi si distruggono i termini con x 2 e si ottiene:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Spostiamo i termini sconosciuti a sinistra e quelli conosciuti a destra: otteniamo:
3x = 3 o x = 1
Ricordando questa equazione
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Notiamo subito che il valore trovato per x (x = 1) fa svanire i denominatori di ciascuna frazione; Dobbiamo abbandonare tale soluzione finché non avremo considerato la questione della divisione per zero.
Se notiamo anche che l'applicazione della proprietà della proporzione ha complicato la questione e che un'equazione più semplice potrebbe essere ottenuta moltiplicando entrambi i lati del dato per un denominatore comune, vale a dire 2(x – 1) - dopo tutto, 2x – 2 = 2 (x – 1) , quindi otteniamo:
2(x + 3) = 2x – 3 o 2x + 6 = 2x – 3 o 6 = –3,
il che è impossibile.
Questa circostanza indica che questa equazione non ha soluzioni che abbiano un significato diretto che non porterebbe a zero i denominatori di questa equazione.
Risolviamo ora l'equazione:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione 2(x – 1), cioè per un denominatore comune, otteniamo:
6x + 10 = 2x + 18
La soluzione trovata non fa svanire il denominatore ed ha un significato diretto:
o 11 = 11
Se qualcuno, invece di moltiplicare entrambe le parti per 2(x – 1), utilizzasse la proprietà delle proporzioni, otterrebbe:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) oppure
6x2 + 4x – 10 = 2x2 + 16x – 18.
Qui i termini con x 2 non verrebbero distrutti. Spostando tutti i termini sconosciuti a sinistra, e quelli conosciuti a destra, otterremmo
4x 2 – 12x = –8
x2 – 3x = –2
Ora non saremo in grado di risolvere questa equazione. In futuro impareremo come risolvere tali equazioni e trovare due soluzioni: 1) puoi prendere x = 2 e 2) puoi prendere x = 1. È facile verificare entrambe le soluzioni:
1) 2 2 – 3 2 = –2 e 2) 1 2 – 3 1 = –2
Se ricordiamo l'equazione iniziale
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
poi vedremo che ora otteniamo entrambe le sue soluzioni: 1) x = 2 è la soluzione che ha un significato diretto e non azzera il denominatore, 2) x = 1 è la soluzione che azzera il denominatore e non ha un significato diretto.
Esempio 3.
Troviamo il denominatore comune delle frazioni incluse in questa equazione fattorizzando ciascuno dei denominatori:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Il denominatore comune è (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Moltiplichiamo entrambi i lati di questa equazione (e ora possiamo riscriverla come:
da un denominatore comune (x – 3) (x – 2) (x + 1). Quindi, dopo aver ridotto ogni frazione otteniamo:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) oppure
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Da qui otteniamo:
–x = –13 e x = 13.
Questa soluzione ha un significato diretto: non fa svanire nessuno dei denominatori.
Se prendessimo l'equazione:
quindi, facendo esattamente la stessa cosa di cui sopra, otterremmo
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
da dove lo prenderesti?
il che è impossibile. Questa circostanza mostra che è impossibile trovare una soluzione per l'ultima equazione che abbia un significato diretto.
Ci sono momenti nella vita in cui davanti a te appare una situazione apparentemente senza speranza, o un problema, la cui risoluzione promette di non essere a tuo favore. Non affrettarti a rinunciare alla realizzazione dei tuoi sogni, al raggiungimento dei tuoi obiettivi o al panico. Un antico saggio disse: "Scegli il tempo per pensare: questa è una fonte di forza". Beh, è difficile non essere d’accordo con lui, perché la mente è un’arma potente. Anche il problema più complesso ha decine di soluzioni ed è nascosto solo perché le persone sono abituate a pensare entro determinati schemi. Per risolvere un problema complesso, devi coordinare il lavoro del conscio e del subconscio: questo amplierà i tuoi orizzonti e ti permetterà di vedere nuove possibilità.
Tecnica delle “100 idee”.
Per padroneggiare la tecnica delle “100 Idee” ti serviranno solo 1-2 ore di tempo libero, un comodo angolo personale dove nessuno ti disturberà, oltre a carta e matita. Chiedi in anticipo ai tuoi cari e conoscenti di non distrarti durante la “meditazione”, spegni il telefono e rilassati. Nella parte superiore di un pezzo di carta, formula e scrivi la tua domanda o dilemma. Numera l'elenco da uno a 100 e inizia a generare idee.
All'inizio, le idee si susseguono, anche se, ahimè, non sono nuove: descriverai tutte le tue "carte vincenti", comprese abilità, conoscenze, connessioni, risorse finanziarie, tempo che puoi dedicare alla risoluzione del problema. Allora ti sembrerà ancora impossibile trovare cento risposte, e se inciampi sul 20-30esimo punto ti sentirai vuoto. Ti aspetta un leggero intoppo, che si verifica naturalmente quando la coscienza, camminando in un circolo vizioso, ha esaurito le opzioni a sua disposizione e ha attraversato tutto ciò che ha già incontrato nell'esperienza personale.
La seconda fase del tuo viaggio verso il tuo subconscio è di altri 40 punti, quando stai ancora usando la tua coscienza, ma i tuoi poteri nascosti iniziano a risvegliarsi e si apre un secondo vento. In questa fase emerge il tuo modo di pensare. Noterai che le tue idee iniziano a ripetersi e contengono ogni sorta di cliché e atteggiamenti. Il tuo obiettivo non è ignorarli, ma scriverli attentamente su carta, ed ecco perché: questi francobolli sono le cornici oltre le quali non puoi andare e guardarti intorno. Potrebbe trattarsi dell'opinione pubblica, dell'insoddisfazione nei confronti dei tuoi superiori, della mancanza di fiducia in te stesso e di qualsiasi altra "sbavatura" nella tua psiche. Allo stesso tempo, potresti scoprire i tuoi problemi nascosti o le tue paure che ti impediscono di andare avanti. Questa fase richiederà la massima resistenza da parte tua - dopo tutto, non è affatto facile ignorare i primi trenta punti, che sono chiaramente nella tua zona di comfort, e assumere idee nuove, sconosciute e quindi a volte spaventose - questo è normale , l'importante è non arrendersi. Inoltre, questa lotta interna aiuta solo a passare alla terza fase del viaggio.
Sono gli ultimi 30 punti che apriranno davanti a voi il vaso di Pandora, perché il numero 100 non è stato scelto per caso. È questo che consente alla tua intuizione di aprirsi completamente e sorprenderti con inaspettate "intuizioni dall'alto" - espressioni improvvisate del tuo subconscio risvegliato, da cui le idee appaiono senza alcuna elaborazione o filtraggio da parte della mente. Nella tua ricerca, hai già abbandonato la logica, notando quanto sia realmente quadrato, e capisci che il tuo modo di pensare giaceva solo su un piano - e il mondo, si scopre, è tridimensionale (senza contare il tempo). Ora, quando la mente smette di dettarti cosa è “possibile” e cosa “non è permesso”, la porta del subconscio si spalanca. Puoi facilmente inventare qualcosa fuori dall'ordinario e, a prima vista, completamente assurdo. Potrebbe anche sembrarti che non dovresti scrivere un'idea chiaramente inadatta a te, un'idea che è apparsa all'improvviso nella tua testa. Tuttavia, sono frasi strane, a volte stupide, che possono rivelarsi diamanti grezzi. Ricorda come le persone consideravano la Terra piatta e avevano paura di cadere dai suoi bordi, e come una volta l'idea che il pianeta fosse rotondo e ruotasse fosse chiamata eresia. All'inizio le idee deliranti potrebbero non esserti chiare, ma sentirai che c'è qualcosa in esse: questo servirà come una goccia che ti indicherà la giusta direzione.
Può anche succedere che dopo aver esposto così tante idee, improvvisamente ti rendi conto che questo non era affatto un problema - o hai visto solo la punta dell'iceberg, quindi devi creare una nuova lista per rispondere a una domanda completamente diversa.
Ci sono alcune altre regole che devono essere seguite quando si lavora con questa tecnica. Prima di tutto, l'elenco deve essere compilato in una volta sola, senza interruzioni, altrimenti le tue idee brillanti dormienti rimarranno dormienti sotto il peso del pensiero quotidiano. Mentre lavori, non dovresti rileggere l'elenco e valutare quanto è già stato fatto e quanti elementi rimangono - questo ti distrarrà e impedirà ai tuoi pensieri di ripetersi naturalmente - e quindi non ti permetterà di vedere i tuoi ostacoli . Preparati subito: valuterai e criticherai le tue idee dopo aver compilato tutti i cento punti - e mentre il processo va avanti, devi scrivere eventuali pensieri (non devi mostrare questo foglio a nessuno se non lo fai) non voglio). Se il lavoro è in pieno svolgimento, accorcia le parole, l'importante è che tu possa leggere cosa intendevi. Ovviamente puoi usare un laptop invece di carta e matita, ma ricorda: la fonte delle onde elettromagnetiche, almeno in teoria, impedisce al tuo cervello, all'aura e, se vuoi, ai chakra di connettersi alla mente universale - e generalmente funziona bene. Ma questo è a discrezione personale.
Bonus “deliziosi” della tecnica delle “100 idee” - non solo nella possibilità di una profonda introspezione e scoperta uscite originali le loro situazioni difficili, ma anche nel fatto che con esso puoi svilupparti in modo diversificato e pianificare il tuo futuro, trovare nuovi incentivi per lo sviluppo personale e crescere al di sopra di te stesso. Per fare ciò, a tuo piacimento, rifletti sulle risposte agli argomenti seguenti (o su uno qualsiasi dei tuoi):
- Come educare te stesso
- Come migliorare le relazioni
- Come migliorare la tua vita
- Come fare soldi
- Come migliorare il tuo business
- Come aiutare le persone
- Come aumentare l'efficacia personale
- Come diventare più sani
- Cose che continuo a rimandare a domani
- Le cose che so fare meglio
- Cose che mi demotivano
- Qualità che voglio sviluppare in me stesso
- Domande a cui ho bisogno di risposte
- Valori in cui credo
- Cose che apprezzo nella vita
- Professioni in cui voglio cimentarmi
- Cose (persone) che mi rallentano nel raggiungere il mio obiettivo
- Cose che mi tirano su di morale
- Conclusioni che la vita mi ha insegnato
- Cose di cui puoi sbarazzarti
- Luoghi che vorrei visitare
- Errori per i quali mi perdono (gli altri)
- Modi per pensare in modo più creativo
