In matematica esistono tecniche speciali con le quali molte equazioni quadratiche possono essere risolte molto rapidamente e senza discriminanti. Inoltre, con una formazione adeguata, molti iniziano a risolvere le equazioni quadratiche oralmente, letteralmente “a prima vista”.
Sfortunatamente, nel corso moderno della matematica scolastica, tali tecnologie non vengono quasi studiate. Ma devi sapere! E oggi esamineremo una di queste tecniche: il teorema di Vieta. Per prima cosa, introduciamo una nuova definizione.
Un'equazione quadratica della forma x 2 + bx + c = 0 è detta ridotta. Tieni presente che il coefficiente per x 2 è 1. Non ci sono altre restrizioni sui coefficienti.
- x 2 + 7x + 12 = 0 è un'equazione quadratica ridotta;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - anche ridotto;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ma questo non è affatto dato, poiché il coefficiente di x 2 è uguale a 2.
Naturalmente, qualsiasi equazione quadratica della forma ax 2 + bx + c = 0 può essere ridotta: basta dividere tutti i coefficienti per il numero a. Possiamo sempre farlo, poiché dalla definizione equazione quadrata ne consegue che a ≠ 0.
È vero, queste trasformazioni non saranno sempre utili per trovare le radici. Di seguito ci assicureremo che ciò avvenga solo quando nell'equazione finale data dal quadrato tutti i coefficienti sono interi. Per ora, diamo un'occhiata agli esempi più semplici:
Compito. Convertire l'equazione quadratica nell'equazione ridotta:
- 3x2 − 12x + 18 = 0;
- −4x2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x2 + 7x − 11 = 0.
Dividiamo ciascuna equazione per il coefficiente della variabile x 2. Noi abbiamo:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - diviso tutto per 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - diviso per −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - diviso per 1,5, tutti i coefficienti diventano numeri interi;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - diviso per 2. In questo caso sono apparsi coefficienti frazionari.
Come puoi vedere, le equazioni quadratiche sopra possono avere coefficienti interi anche se l'equazione originale conteneva frazioni.
Formuliamo ora il teorema principale, per il quale, infatti, è stato introdotto il concetto di equazione quadratica ridotta:
Il teorema di Vieta. Considera l'equazione quadratica ridotta della forma x 2 + bx + c = 0. Supponiamo che questa equazione abbia radici reali x 1 e x 2. In questo caso sono vere le seguenti affermazioni:
- x1 + x2 = −b. In altre parole, la somma delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al coefficiente della variabile x, presa con il segno opposto;
- x1x2 = c. Il prodotto delle radici di un'equazione quadratica è uguale al coefficiente libero.
Esempi. Per semplicità, considereremo solo le equazioni quadratiche sopra che non richiedono trasformazioni aggiuntive:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x1x2 = 20; radici: x 1 = 4; x2 = 5;
- x2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1x2 = −15; radici: x 1 = 3; x2 = −5;
- x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1x2 = 4; radici: x1 = −1; x2 = −4.
Il teorema di Vieta ci fornisce ulteriori informazioni sulle radici di un'equazione quadratica. A prima vista può sembrare difficile, ma anche con un allenamento minimo imparerai a “vedere” le radici e a indovinarle letteralmente in pochi secondi.
Compito. Risolvi l'equazione quadratica:
- x2 − 9x + 14 = 0;
- x2 − 12x + 27 = 0;
- 3x2 + 33x + 30 = 0;
- −7x2 + 77x −210 = 0.
Proviamo a scrivere i coefficienti utilizzando il teorema di Vieta e ad “indovinare” le radici:
- x 2 − 9x + 14 = 0 è un'equazione quadratica ridotta.
Per il teorema di Vieta abbiamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. È facile vedere che le radici sono i numeri 2 e 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 - anche ridotto.
Per il teorema di Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Da qui le radici: 3 e 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - questa equazione non si riduce. Ma adesso lo correggeremo dividendo entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente a = 3. Otteniamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
Risolviamo utilizzando il teorema di Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ radici: −10 e −1; - −7x 2 + 77x − 210 = 0 - ancora una volta il coefficiente per x 2 non è uguale a 1, cioè equazione non data. Dividiamo tutto per il numero a = −7. Otteniamo: x 2 − 11x + 30 = 0.
Per il teorema di Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x1x2 = 30; Da queste equazioni è facile indovinare le radici: 5 e 6.
Da quanto sopra esposto risulta chiaro come il teorema di Vieta semplifichi la soluzione delle equazioni quadratiche. Nessun calcolo complicato, nessuna radice aritmetica o frazione. E non avevamo nemmeno bisogno di un discriminante (vedi lezione “Risolvere equazioni quadratiche”).
Naturalmente, in tutte le nostre riflessioni siamo partiti da due presupposti importanti, che, in generale, non sempre si verificano nei problemi reali:
- L'equazione quadratica è ridotta, cioè il coefficiente per x 2 è 1;
- L'equazione ha due radici diverse. Da un punto di vista algebrico, in questo caso il discriminante è D > 0 - infatti inizialmente assumiamo che questa disuguaglianza sia vera.
Tuttavia, nei tipici problemi matematici queste condizioni sono soddisfatte. Se il calcolo risulta in un'equazione quadratica "cattiva" (il coefficiente di x 2 è diverso da 1), questo può essere facilmente corretto: guarda gli esempi all'inizio della lezione. Generalmente taccio sulle radici: che razza di problema è questo che non ha risposta? Naturalmente ci saranno radici.
Così, schema generale la risoluzione di equazioni quadratiche usando il teorema di Vieta si presenta così:
- Ridurre l'equazione quadratica a quella data, se ciò non è già stato fatto nella formulazione del problema;
- Se i coefficienti nell'equazione quadratica sopra sono frazionari, risolviamo utilizzando il discriminante. Puoi anche tornare all'equazione originale per lavorare con numeri più "comodi";
- Nel caso dei coefficienti interi risolviamo l’equazione utilizzando il teorema di Vieta;
- Se non riesci a indovinare le radici in pochi secondi, dimentica il teorema di Vieta e risolvi usando il discriminante.
Compito. Risolvi l'equazione: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Quindi, abbiamo davanti a noi un'equazione che non si riduce, perché coefficiente a = 5. Dividiamo tutto per 5, otteniamo: x 2 − 7x + 10 = 0.
Tutti i coefficienti di un'equazione quadratica sono interi: proviamo a risolverli utilizzando il teorema di Vieta. Abbiamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. In questo caso, le radici sono facili da indovinare: sono 2 e 5. Non è necessario contare utilizzando il discriminante.
Compito. Risolvi l'equazione: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.
Guardiamo: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - questa equazione non è ridotta, dividiamo entrambi i membri per il coefficiente a = −5. Otteniamo: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - un'equazione con coefficienti frazionari.
È meglio tornare all'equazione originale e contare attraverso il discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x2 = 0,4.
Compito. Risolvi l'equazione: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Innanzitutto, dividiamo tutto per il coefficiente a = 2. Otteniamo l'equazione x 2 + 5x − 300 = 0.
Questa è l’equazione ridotta, secondo il teorema di Vieta abbiamo: x 1 + x 2 = −5; x1x2 = −300. In questo caso è difficile indovinare le radici dell'equazione quadratica: personalmente sono rimasto seriamente bloccato durante la risoluzione di questo problema.
Dovrai cercare le radici attraverso il discriminante: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Se non ricordi la radice del discriminante, mi limiterò a notare che 1225: 25 = 49. Pertanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.
Ora che si conosce la radice del discriminante, risolvere l’equazione non è difficile. Otteniamo: x 1 = 15; x2 = −20.
Esistono numerose relazioni nelle equazioni quadratiche. Le principali sono le relazioni tra radici e coefficienti. Anche nelle equazioni quadratiche ci sono una serie di relazioni date dal teorema di Vieta.
In questo argomento presenteremo il teorema di Vieta stesso e la sua dimostrazione per un'equazione quadratica, il teorema inverso del teorema di Vieta, e analizzeremo una serie di esempi di risoluzione dei problemi. Attenzione speciale nel materiale ci concentreremo sulle formule di Vieta, che definiscono la connessione tra le radici reali di un'equazione algebrica di grado N e i suoi coefficienti.
Formulazione e dimostrazione del teorema di Vieta
Formula per le radici di un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 della forma x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, dove D = b 2 − 4 a c, stabilisce relazioni x1 + x2 = - b a, x1x2 = c a. Ciò è confermato dal teorema di Vieta.
Teorema 1
In un'equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, Dove x1 E x2– radici, la somma delle radici sarà uguale al rapporto dei coefficienti B E UN, che è stato preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici sarà uguale al rapporto dei coefficienti C E UN, cioè. x1 + x2 = - b a, x1x2 = c a.
Prova 1
Ti proponiamo il seguente schema per effettuare la dimostrazione: prendi la formula delle radici, componi la somma e il prodotto delle radici dell'equazione quadratica e poi trasforma le espressioni risultanti per assicurarti che siano uguali - b a E circa rispettivamente.
Facciamo la somma delle radici x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Portiamo le frazioni a un denominatore comune - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Apriamo le parentesi al numeratore della frazione risultante e presentiamo termini simili: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Riduciamo la frazione di: 2 - b a = - b a.
In questo modo abbiamo dimostrato la prima relazione del teorema di Vieta, che riguarda la somma delle radici di un’equazione quadratica.
Passiamo ora alla seconda relazione.
Per fare ciò, dobbiamo comporre il prodotto delle radici dell'equazione quadratica: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Ricordiamo la regola per moltiplicare le frazioni e scriviamo l'ultimo prodotto così: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Moltiplichiamo una parentesi per una parentesi al numeratore della frazione, oppure utilizziamo la formula della differenza dei quadrati per trasformare questo prodotto più velocemente: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Usiamo la definizione di radice quadrata per effettuare la seguente transizione: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c corrisponde al discriminante di un'equazione quadratica, quindi, in una frazione invece di D può essere sostituito b2 − 4ac:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Apriamo le parentesi, aggiungiamo termini simili e otteniamo: 4 · a · c 4 · a 2 . Se lo abbreviamo in 4 a, allora ciò che rimane è c a . In questo modo abbiamo dimostrato la seconda relazione del teorema di Vieta per il prodotto di radici.
La dimostrazione del teorema di Vieta può essere scritta in forma molto laconica se omettiamo le spiegazioni:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Quando il discriminante di un'equazione quadratica è uguale a zero, l'equazione avrà una sola radice. Per poter applicare il teorema di Vieta a tale equazione, possiamo assumere che l'equazione, con discriminante pari a zero, abbia due radici identiche. Infatti, quando D=0 la radice dell'equazione quadratica è: - b 2 · a, allora x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a e x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , e poiché D = 0, cioè b 2 - 4 · a · c = 0, da cui b 2 = 4 · a · c, allora b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Molto spesso, in pratica, il teorema di Vieta viene applicato all'equazione quadratica ridotta della forma x2 + px + q = 0, dove il coefficiente principale a è uguale a 1. A questo proposito il teorema di Vieta è formulato specificatamente per equazioni di questo tipo. Ciò non limita la generalità poiché qualsiasi equazione quadratica può essere sostituita da un'equazione equivalente. Per fare ciò, devi dividere entrambe le sue parti per un numero diverso da zero.
Diamo un'altra formulazione del teorema di Vieta.
Teorema 2
Somma delle radici nell'equazione quadratica data x2 + px + q = 0 sarà uguale al coefficiente di x, che si prende con il segno opposto, il prodotto delle radici sarà uguale al termine libero, cioè x1 + x2 = − p, x1x2 = q.
Teorema inverso al teorema di Vieta
Se osservi attentamente la seconda formulazione del teorema di Vieta, puoi vedere che riguarda le radici x1 E x2 equazione quadratica ridotta x2 + px + q = 0 varranno le seguenti relazioni: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Da queste relazioni x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q segue che x1 E x2 sono le radici dell'equazione quadratica x2 + px + q = 0. Arriviamo quindi ad un’affermazione che è l’inverso del teorema di Vieta.
Proponiamo ora di formalizzare questa affermazione come teorema e di portarne la dimostrazione.
Teorema 3
Se i numeri x1 E x2 sono tali x1 + x2 = − p E x1x2 = q, Quello x1 E x2 sono le radici dell'equazione quadratica ridotta x2 + px + q = 0.
Prova 2
Sostituzione delle probabilità P E Q alla loro espressione attraverso x1 E x2 ti permette di trasformare l'equazione x2 + px + q = 0 in un equivalente .
Se sostituiamo il numero nell'equazione risultante x1 invece di X, allora otteniamo l'uguaglianza x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Questa è uguaglianza per chiunque x1 E x2 si trasforma in una vera uguaglianza numerica 0 = 0 , Perché x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Significa che x1- radice dell'equazione x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, E allora x1è anche la radice dell'equazione equivalente x2 + px + q = 0.
Sostituzione nell'equazione x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numeri x2 invece di x ci permette di ottenere l'uguaglianza x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Questa uguaglianza può essere considerata vera, poiché x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Si scopre che x2è la radice dell'equazione x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, e quindi le equazioni x2 + px + q = 0.
È stato dimostrato il contrario del teorema di Vieta.
Esempi di utilizzo del teorema di Vieta
Cominciamo ora ad analizzare i più esempi tipici su questo argomento. Cominciamo analizzando i problemi che richiedono l'applicazione del teorema inverso al teorema di Vieta. Può essere utilizzato per controllare i numeri prodotti dai calcoli per vedere se sono le radici di una determinata equazione quadratica. Per fare ciò, devi calcolare la loro somma e differenza, quindi verificare la validità delle relazioni x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
L'adempimento di entrambe le relazioni indica che i numeri ottenuti durante i calcoli sono le radici dell'equazione. Se vediamo che almeno una delle condizioni non è soddisfatta, allora questi numeri non possono essere le radici dell'equazione quadratica fornita nella formulazione del problema.
Esempio 1
Quale delle coppie di numeri 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, o 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, o 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 è una coppia di radici di un'equazione quadratica 4×2 − 16×+9 = 0?
Soluzione
Troviamo i coefficienti dell'equazione quadratica 4×2 − 16×+9 = 0. Questo è a = 4, b = − 16, c = 9. Secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici di un'equazione quadratica deve essere uguale a - b a, questo è, 16 4 = 4 e il prodotto delle radici deve essere uguale circa, questo è, 9 4 .
Controlliamo i numeri ottenuti calcolando la somma e il prodotto dei numeri di tre coppie date e confrontandoli con i valori ottenuti.
Nel primo caso x1 + x2 = -5 + 3 = -2. Questo valore è diverso da 4, pertanto non è necessario proseguire la verifica. Secondo il teorema contrario al teorema di Vieta, possiamo immediatamente concludere che la prima coppia di numeri non sono le radici di questa equazione quadratica.
Nel secondo caso x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vediamo che la prima condizione è soddisfatta. Ma la seconda condizione non è: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Il valore che abbiamo ottenuto è diverso da 9 4 . Ciò significa che la seconda coppia di numeri non sono le radici dell'equazione quadratica.
Passiamo a considerare la terza coppia. Qui x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 e x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Entrambe le condizioni sono soddisfatte, il che significa che x1 E x2 sono le radici di una data equazione quadratica.
Risposta: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
Possiamo anche usare il contrario del teorema di Vieta per trovare le radici di un'equazione quadratica. Il modo più semplice è selezionare le radici intere delle equazioni quadratiche date con coefficienti interi. Si possono prendere in considerazione altre opzioni. Ma questo può complicare notevolmente i calcoli.
Per selezionare le radici, usiamo il fatto che se la somma di due numeri è uguale al secondo coefficiente di un'equazione quadratica, preso con un segno meno, e il prodotto di questi numeri è uguale al termine libero, allora questi numeri sono il radici di questa equazione quadratica.
Esempio 2
Ad esempio, utilizziamo l'equazione quadratica x2 − 5x + 6 = 0. Numeri x1 E x2 possono essere le radici di questa equazione se due uguaglianze sono soddisfatte x1 + x2 = 5 E x1x2 = 6. Selezioniamo questi numeri. Questi sono i numeri 2 e 3, da allora 2 + 3 = 5 E 23 = 6. Risulta che 2 e 3 sono le radici di questa equazione quadratica.
Il contrario del teorema di Vieta può essere utilizzato per trovare la seconda radice quando la prima è nota o ovvia. Per fare ciò possiamo usare le relazioni x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Esempio 3
Considera l'equazione quadratica 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. È necessario trovare le radici di questa equazione.
Soluzione
La prima radice dell'equazione è 1, poiché la somma dei coefficienti di questa equazione quadratica è zero. Si scopre che x1 = 1.
Ora troviamo la seconda radice. Per questo puoi usare la relazione x1x2 = c a. Si scopre che 1 x 2 = − 3.512, Dove x2 = -3.512.
Risposta: radici dell'equazione quadratica specificata nella formulazione del problema 1 E - 3 512 .
È possibile selezionare le radici utilizzando il teorema inverso del teorema di Vieta solo in casi semplici. In altri casi, è meglio cercare utilizzando la formula per le radici di un'equazione quadratica attraverso un discriminante.
Grazie al teorema inverso di Vieta, possiamo anche costruire equazioni quadratiche utilizzando le radici esistenti x1 E x2. Per fare ciò, dobbiamo calcolare la somma delle radici, che dà il coefficiente per X con il segno opposto dell'equazione quadratica data e il prodotto delle radici, che dà il termine libero.
Esempio 4
Scrivi un'equazione quadratica le cui radici sono numeri − 11 E 23 .
Soluzione
Supponiamolo x1 = −11 E x2 = 23. La somma e il prodotto di questi numeri saranno uguali: x1 + x2 = 12 E x1x2 = −253. Ciò significa che il secondo coefficiente è 12, il termine libero − 253.
Facciamo un'equazione: x2-12x-253 = 0.
Risposta: x 2 - 12 x - 253 = 0 .
Possiamo usare il teorema di Vieta per risolvere problemi che coinvolgono i segni delle radici delle equazioni quadratiche. La connessione tra il teorema di Vieta è legata ai segni delle radici dell'equazione quadratica ridotta x2 + px + q = 0 nel seguente modo:
- se l'equazione quadratica ha radici reali e se il termine intercetta Qè un numero positivo, allora queste radici avranno lo stesso segno “+” o “-”;
- se l'equazione quadratica ha radici e se il termine intercetta Qè un numero negativo, una radice sarà “+” e la seconda “-”.
Entrambe queste affermazioni sono una conseguenza della formula x1x2 = q e regole per moltiplicare positivo e numeri negativi, così come numeri con segni diversi.
Esempio 5
Sono le radici di un'equazione quadratica x2-64x-21 = 0 positivo?
Soluzione
Secondo il teorema di Vieta, le radici di questa equazione non possono essere entrambe positive, poiché devono soddisfare l’uguaglianza x1x2 = −21. Questo è impossibile con il positivo x1 E x2.
Risposta: NO
Esempio 6
A quali valori dei parametri R equazione quadrata x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 avrà due radici vere con segni diversi.
Soluzione
Cominciamo trovando i valori di cui R, per il quale l'equazione avrà due radici. Troviamo un discriminante e vediamo in cosa R assumerà valori positivi. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valore espressivo r 2 + 8 positivo per qualsiasi reale R, pertanto, il discriminante sarà maggiore di zero per qualsiasi reale R. Ciò significa che l'equazione quadratica originale avrà due radici per qualsiasi valore reale del parametro R.
Vediamo ora quando le radici presentano segni diversi. Ciò è possibile se il loro prodotto è negativo. Secondo il teorema di Vieta, il prodotto delle radici dell'equazione quadratica ridotta è uguale al termine libero. Ciò significa che la soluzione corretta sarà quei valori R, per il quale il termine libero r − 1 è negativo. Risolviamo la disuguaglianza lineare r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Risposta: a r< 1 .
Formule della Vieta
Esistono numerose formule applicabili per eseguire operazioni con radici e coefficienti non solo di equazioni quadratiche, ma anche cubiche e di altro tipo. Si chiamano formule di Vieta.
Per un'equazione algebrica di grado N della forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 si considera che l'equazione abbia N radici vere x1, x2,..., xn, tra i quali possono essere gli stessi:
x1 + x2 + x3 + . . . + x n = - un 1 un 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 un 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x1 · x2 · x3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Definizione 1
Le formule di Vieta ci aiutano a ottenere:
- teorema sulla scomposizione di un polinomio in fattori lineari;
- determinazione di polinomi uguali attraverso l'uguaglianza di tutti i loro coefficienti corrispondenti.
Pertanto, il polinomio a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n e sua espansione in fattori lineari della forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sono uguali.
Se apriamo le parentesi nell'ultimo prodotto e uguagliamo i coefficienti corrispondenti, otteniamo le formule Vieta. Prendendo n = 2, possiamo ottenere la formula di Vieta per l'equazione quadratica: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Definizione 2
Formula di Vieta per l'equazione cubica:
x 1 + x 2 + x 3 = - un 1 un 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = un 2 un 0 , x 1 x 2 x 3 = - un 3 un 0
Il lato sinistro della formula Vieta contiene i cosiddetti polinomi simmetrici elementari.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
All'ottavo anno, agli studenti vengono introdotte le equazioni quadratiche e come risolverle. Allo stesso tempo, come dimostra l'esperienza, la maggior parte degli studenti utilizza un solo metodo per risolvere equazioni quadratiche complete: la formula per le radici di un'equazione quadratica. Per gli studenti che hanno buone capacità di aritmetica mentale, questo metodo è chiaramente irrazionale. Gli studenti spesso devono risolvere equazioni quadratiche anche al liceo, e lì è semplicemente un peccato perdere tempo a calcolare il discriminante. A mio avviso, quando si studiano le equazioni quadratiche, si dovrebbe prestare più tempo e attenzione all'applicazione del teorema di Vieta (secondo il programma A.G. Mordkovich Algebra-8, sono previste solo due ore per studiare l'argomento “Teorema di Vieta. Decomposizione di una quadratica trinomio in fattori lineari”).
Nella maggior parte dei libri di testo di algebra, questo teorema è formulato per l'equazione quadratica ridotta e lo afferma se l'equazione ha radici e , allora per esse le uguaglianze , , sono soddisfatte. Quindi viene formulata un'affermazione contraria al teorema di Vieta e vengono offerti numerosi esempi per praticare questo argomento.
Facciamo esempi specifici e tracciamo la logica della soluzione utilizzando il teorema di Vieta.
Esempio 1. Risolvi l'equazione.
Diciamo che questa equazione ha radici, vale a dire e . Allora, secondo il teorema di Vieta, le uguaglianze devono valere contemporaneamente:
Tieni presente che il prodotto delle radici è un numero positivo. Ciò significa che le radici dell'equazione hanno lo stesso segno. E poiché anche la somma delle radici è un numero positivo, concludiamo che entrambe le radici dell'equazione sono positive. Torniamo di nuovo al prodotto delle radici. Supponiamo che le radici dell'equazione siano numeri interi positivi. Allora la prima uguaglianza corretta può essere ottenuta solo in due modi (a meno dell'ordine dei fattori): o . Verifichiamo per le coppie di numeri proposte la fattibilità della seconda affermazione del teorema di Vieta: 
. Pertanto, i numeri 2 e 3 soddisfano entrambe le uguaglianze e quindi sono le radici dell'equazione data.
Risposta: 2; 3.
Evidenziamo le fasi principali del ragionamento quando si risolve l'equazione quadratica sopra usando il teorema di Vieta:
| scrivere l'enunciato del teorema di Vieta | (*) |
- determinare i segni delle radici dell'equazione (se il prodotto e la somma delle radici sono positivi, entrambe le radici sono numeri positivi. Se il prodotto delle radici è un numero positivo e la somma delle radici è negativa, allora entrambe le radici sono numeri negativi. Se il prodotto delle radici è un numero negativo, allora le radici hanno segni diversi. Inoltre, se la somma delle radici è positiva, allora la radice più grande in modulo è un numero positivo, e se la somma delle radici è inferiore a zero, la radice più grande in modulo è un numero negativo);
- selezionare coppie di interi il cui prodotto dà la prima uguaglianza corretta nella notazione (*);
- dalle coppie di numeri trovate, selezionare la coppia che, sostituita nella seconda uguaglianza nella notazione (*), darà l'uguaglianza corretta;
- indica nella tua risposta le radici trovate dell'equazione.
Diamo più esempi.
Esempio 2: risolvere l'equazione 
.
Soluzione.
Sia e le radici dell'equazione data. Quindi, per il teorema di Vieta, notiamo che il prodotto è positivo e la somma è un numero negativo. Ciò significa che entrambe le radici sono numeri negativi. Selezioniamo coppie di fattori che danno un prodotto di 10 (-1 e -10; -2 e -5). La seconda coppia di numeri dà come risultato -7. Ciò significa che i numeri -2 e -5 sono le radici di questa equazione.
Risposta: -2; -5.
Esempio 3: risolvere l'equazione 
.
Soluzione.
Sia e le radici dell'equazione data. Quindi, per il teorema di Vieta, notiamo che il prodotto è negativo. Ciò significa che le radici hanno segni diversi. Anche la somma delle radici è un numero negativo. Ciò significa che la radice con il modulo più grande è negativa. Selezioniamo coppie di fattori che danno al prodotto -10 (1 e -10; 2 e -5). La seconda coppia di numeri dà come risultato -3. Ciò significa che i numeri 2 e -5 sono le radici di questa equazione.
Risposta: 2; -5.
Si noti che il teorema di Vieta può, in linea di principio, essere formulato per un’equazione quadratica completa: se equazione quadratica 
ha radici e, quindi, le uguaglianze,, sono soddisfatte per esse. Tuttavia, l'applicazione di questo teorema è piuttosto problematica, poiché in un'equazione quadratica completa almeno una delle radici (se presente, ovviamente) è un numero frazionario. E lavorare con la selezione delle frazioni è lungo e difficile. Ma c'è ancora una via d'uscita.
Considera l'equazione quadratica completa . Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per il primo coefficiente UN e scrivi l'equazione nel modulo 
. Introduciamo una nuova variabile e otteniamo l'equazione quadratica ridotta, le cui radici (se disponibili) possono essere trovate utilizzando il teorema di Vieta. Quindi le radici dell'equazione originale saranno . Si noti che è molto semplice creare l'equazione ridotta ausiliaria: il secondo coefficiente viene conservato e il terzo coefficiente è uguale al prodotto AC. Con una certa abilità, gli studenti creano immediatamente un'equazione ausiliaria, ne trovano le radici utilizzando il teorema di Vieta e indicano le radici dell'equazione completa data. Facciamo degli esempi.
Esempio 4: risolvere l'equazione 
.
Creiamo un'equazione ausiliaria 
e utilizzando il teorema di Vieta ne troveremo le radici. Ciò significa che le radici dell'equazione originale 
.
Risposta: .
Esempio 5: risolvere l'equazione 
.
L'equazione ausiliaria ha la forma . Secondo il teorema di Vieta, le sue radici sono . Trovare le radici dell'equazione originale 
.
Risposta: .
E un altro caso in cui l'applicazione del teorema di Vieta ti consente di trovare verbalmente le radici di un'equazione quadratica completa. Non è difficile dimostrarlo il numero 1 è la radice dell'equazione , se e solo se. La seconda radice dell'equazione si trova dal teorema di Vieta ed è uguale a . Ancora una affermazione: in modo che il numero –1 sia la radice dell'equazione necessario e sufficiente a. Allora la seconda radice dell'equazione secondo il teorema di Vieta è uguale a . Affermazioni simili possono essere formulate per l'equazione quadratica ridotta.
Esempio 6: risolvere l'equazione.
Si noti che la somma dei coefficienti dell'equazione è zero. Quindi, le radici dell'equazione 
.
Risposta: .
Esempio 7. Risolvi l'equazione.
I coefficienti di questa equazione soddisfano la proprietà
(anzi, 1-(-999)+(-1000)=0). Quindi, le radici dell'equazione 
.
Risposta: ..
Esempi di applicazione del teorema di Vieta
Compito 1. Risolvi l'equazione quadratica data utilizzando il teorema di Vieta.
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Attività 2. Risolvi l'equazione quadratica completa passando all'equazione quadratica ridotta ausiliaria.
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Attività 3. Risolvi un'equazione quadratica utilizzando la proprietà.
Tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica, oltre alle formule delle radici, ci sono altre relazioni utili fornite Il teorema di Vieta. In questo articolo forniremo una formulazione e una dimostrazione del teorema di Vieta per un'equazione quadratica. Consideriamo poi il teorema inverso al teorema di Vieta. Successivamente analizzeremo le soluzioni agli esempi più tipici. Infine scriviamo le formule della Vieta che definiscono il rapporto tra le radici reali equazione algebrica grado n e suoi coefficienti.
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Teorema di Vieta, formulazione, dimostrazione
Dalle formule delle radici dell'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0 della forma, dove D=b 2 −4·a·c, seguono le seguenti relazioni: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Questi risultati sono confermati Il teorema di Vieta:
Teorema.
Se x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0, allora la somma delle radici è uguale al rapporto tra i coefficienti b e a, presi con il segno opposto, e il prodotto di le radici sono uguali al rapporto tra i coefficienti c e a, cioè .
Prova.
Effettueremo la dimostrazione del teorema di Vieta secondo il seguente schema: componiamo la somma e il prodotto delle radici dell'equazione quadratica utilizzando formule di radice note, quindi trasformiamo le espressioni risultanti e ci assicuriamo che siano uguali a −b/ a e c/a, rispettivamente.
Iniziamo con la somma delle radici e componiamo. Ora portiamo le frazioni a un denominatore comune, abbiamo . Nel numeratore della frazione risultante, dopo di che:. Alla fine, dopo il 2, otteniamo . Ciò dimostra la prima relazione del teorema di Vieta per la somma delle radici di un'equazione quadratica. Passiamo al secondo.
Componiamo il prodotto delle radici dell'equazione quadratica: . Secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni, l'ultimo prodotto può essere scritto come . Ora moltiplichiamo una parentesi per una parentesi al numeratore, ma è più veloce comprimere questo prodotto formula della differenza quadrata, COSÌ . Quindi, ricordando, eseguiamo la transizione successiva. E poiché il discriminante dell'equazione quadratica corrisponde alla formula D=b 2 −4·a·c, allora al posto di D nell'ultima frazione possiamo sostituire b 2 −4·a·c, otteniamo. Dopo aver aperto le parentesi e introdotto termini simili, arriviamo alla frazione , e la sua riduzione di 4·a dà . Ciò dimostra la seconda relazione del teorema di Vieta per il prodotto di radici.
Se tralasciamo le spiegazioni, la dimostrazione del teorema di Vieta assumerà una forma laconica:
,
.
Resta solo da notare che se il discriminante è uguale a zero, l'equazione quadratica ha una radice. Tuttavia, se assumiamo che l’equazione in questo caso abbia due radici identiche, allora valgono anche le uguaglianze del teorema di Vieta. Infatti, quando D=0 la radice dell'equazione quadratica è uguale a , allora e , e poiché D=0, cioè b 2 −4·a·c=0, da cui b 2 =4·a·c, allora .
In pratica, il teorema di Vieta viene spesso utilizzato in relazione all’equazione quadratica ridotta (con il coefficiente principale a pari a 1) della forma x 2 +p·x+q=0. A volte è formulato per equazioni quadratiche proprio di questo tipo, il che non ne limita la generalità, poiché qualsiasi equazione quadratica può essere sostituita da un'equazione equivalente dividendo entrambi i membri per un numero a diverso da zero. Diamo la corrispondente formulazione del teorema di Vieta:
Teorema.
La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +p x+q=0 è uguale al coefficiente di x preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero, cioè x 1 +x2 =−p, x1x2 = q.
Teorema inverso al teorema di Vieta
La seconda formulazione del teorema di Vieta, data nel paragrafo precedente, indica che se x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +p x+q=0, allora le relazioni x 1 +x 2 =−p ,x1x2 =q. D'altra parte, dalle relazioni scritte x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q segue che x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica x 2 +p x+q=0. In altre parole, è vero il contrario del teorema di Vieta. Formuliamolo sotto forma di teorema e dimostriamolo.
Teorema.
Se i numeri x 1 e x 2 sono tali che x 1 +x 2 =−p e x 1 · x 2 =q, allora x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +p · x+q =0.
Prova.
Dopo aver sostituito i coefficienti p e q nell'equazione x 2 +p·x+q=0 con le loro espressioni attraverso x 1 e x 2, questa viene trasformata in un'equazione equivalente.
Sostituiamo il numero x 1 invece di x nell'equazione risultante e otteniamo l'uguaglianza x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, che per ogni x 1 ex 2 rappresenta l'uguaglianza numerica corretta 0=0, poiché x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Pertanto, x 1 è la radice dell'equazione x2 −(x1 +x2) x+x1x2 =0, il che significa che x 1 è la radice dell'equazione equivalente x 2 +p·x+q=0.
Se nell'equazione x2 −(x1 +x2) x+x1x2 =0 sostituiamo il numero x 2 invece di x, otteniamo l'uguaglianza x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Questa è una vera uguaglianza, poiché x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Pertanto, anche x 2 è una radice dell'equazione x2 −(x1 +x2) x+x1x2 =0, e quindi le equazioni x 2 +p·x+q=0.
Questo completa la dimostrazione del teorema contrario al teorema di Vieta.
Esempi di utilizzo del teorema di Vieta
È tempo di parlare dell'applicazione pratica del teorema di Vieta e del suo teorema inverso. In questa sezione analizzeremo le soluzioni ad alcuni degli esempi più tipici.
Cominciamo applicando il teorema inverso al teorema di Vieta. È conveniente utilizzarlo per verificare se due numeri dati sono radici di una data equazione quadratica. In questo caso vengono calcolate la loro somma e differenza, dopodiché viene verificata la validità delle relazioni. Se entrambe queste relazioni sono soddisfatte, allora in virtù del teorema opposto al teorema di Vieta, si conclude che questi numeri sono le radici dell’equazione. Se almeno una delle relazioni non è soddisfatta, questi numeri non sono le radici dell'equazione quadratica. Questo approccio può essere utilizzato quando si risolvono equazioni quadratiche per verificare le radici trovate.
Esempio.
Quale delle coppie di numeri 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2) o 3) è una coppia di radici dell'equazione quadratica 4 x 2 −16 x+9=0?
Soluzione.
I coefficienti della data equazione quadratica 4 x 2 −16 x+9=0 sono a=4, b=−16, c=9. Secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici di un'equazione quadratica dovrebbe essere uguale a −b/a, cioè 16/4=4, e il prodotto delle radici dovrebbe essere uguale a c/a, cioè 9 /4.
Ora calcoliamo la somma e il prodotto dei numeri in ciascuna delle tre coppie indicate e confrontiamoli con i valori appena ottenuti.
Nel primo caso abbiamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Il valore risultante è diverso da 4, quindi non è possibile effettuare ulteriori verifiche, ma utilizzando il teorema inverso al teorema di Vieta, si può immediatamente concludere che la prima coppia di numeri non è una coppia di radici dell'equazione quadratica data.
Passiamo al secondo caso. Qui cioè è soddisfatta la prima condizione. Controlliamo la seconda condizione: il valore risultante è diverso da 9/4. Di conseguenza, la seconda coppia di numeri non è una coppia di radici dell'equazione quadratica.
Resta un ultimo caso. Qui e . Entrambe le condizioni sono soddisfatte, quindi questi numeri x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica data.
Risposta:
Il contrario del teorema di Vieta può essere utilizzato in pratica per trovare le radici di un'equazione quadratica. Di solito vengono selezionate le radici intere delle equazioni quadratiche fornite con coefficienti interi, poiché in altri casi ciò è abbastanza difficile da fare. In questo caso, usano il fatto che se la somma di due numeri è uguale al secondo coefficiente di un'equazione quadratica, preso con un segno meno, e il prodotto di questi numeri è uguale al termine libero, allora questi numeri sono il radici di questa equazione quadratica. Capiamolo con un esempio.
Prendiamo l'equazione quadratica x 2 −5 x+6=0. Affinché i numeri x 1 e x 2 siano le radici di questa equazione, devono essere soddisfatte due uguaglianze: x 1 + x 2 =5 e x 1 · x 2 =6. Non resta che selezionare tali numeri. In questo caso è abbastanza semplice da fare: tali numeri sono 2 e 3, poiché 2+3=5 e 2·3=6. Pertanto, 2 e 3 sono le radici di questa equazione quadratica.
Il teorema inverso al teorema di Vieta è particolarmente comodo da usare per trovare la seconda radice di una data equazione quadratica quando una delle radici è già nota o ovvia. In questo caso, la seconda radice può essere trovata da una qualsiasi delle relazioni.
Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 512 x 2 −509 x −3=0. Qui è facile vedere che l'unità è la radice dell'equazione, poiché la somma dei coefficienti di questa equazione quadratica è uguale a zero. Quindi x1 =1. La seconda radice x 2 si ricava ad esempio dalla relazione x 1 ·x 2 =c/a. Abbiamo 1 x 2 =−3/512, da cui x 2 =−3/512. È così che abbiamo determinato entrambe le radici dell'equazione quadratica: 1 e −3/512.
È chiaro che la selezione delle radici è consigliabile solo nei casi più semplici. In altri casi, per trovare le radici, è possibile utilizzare le formule per le radici di un'equazione quadratica attraverso un discriminante.
Un'altra applicazione pratica del contrario del teorema di Vieta è costruire equazioni quadratiche date le radici x 1 e x 2 . Per fare ciò è sufficiente calcolare la somma delle radici, che dà il coefficiente di x con il segno opposto dell'equazione quadratica data, e il prodotto delle radici, che dà il termine libero.
Esempio.
Scrivi un'equazione quadratica le cui radici sono −11 e 23.
Soluzione.
Indichiamo x 1 =−11 e x 2 =23. Calcoliamo la somma e il prodotto di questi numeri: x 1 +x 2 =12 e x 1 ·x 2 =−253. Pertanto, i numeri indicati sono le radici dell'equazione quadratica ridotta con un secondo coefficiente di −12 e un termine libero di −253. Cioè x 2 −12·x−253=0 è l'equazione richiesta.
Risposta:
x2−12·x−253=0 .
Il teorema di Vieta è molto spesso utilizzato per risolvere problemi relativi ai segni delle radici delle equazioni quadratiche. Come è legato il teorema di Vieta ai segni delle radici dell’equazione quadratica ridotta x 2 +p·x+q=0? Ecco due affermazioni rilevanti:
- Se l'intercetta q è un numero positivo e se l'equazione quadratica ha radici reali, allora sono entrambi positivi o entrambi negativi.
- Se il termine libero q è un numero negativo e se l'equazione quadratica ha radici reali, allora i loro segni sono diversi, in altre parole, una radice è positiva e l'altra è negativa.
Queste affermazioni derivano dalla formula x 1 · x 2 =q, nonché dalle regole per moltiplicare numeri positivi, negativi e numeri con segni diversi. Diamo un'occhiata ad esempi della loro applicazione.
Esempio.
R è positivo. Utilizzando la formula discriminante troviamo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, il valore dell'espressione r 2 +8 è positivo per ogni reale r, quindi D>0 per ogni reale r. Di conseguenza, l'equazione quadratica originale ha due radici per qualsiasi valore reale del parametro r.
Ora scopriamo quando le radici hanno segni diversi. Se i segni delle radici sono diversi, il loro prodotto è negativo e, secondo il teorema di Vieta, il prodotto delle radici dell'equazione quadratica ridotta è uguale al termine libero. A noi interessano quindi quei valori di r per i quali il termine libero r−1 è negativo. Pertanto, per trovare i valori di r che ci interessano, abbiamo bisogno risolvere la disuguaglianza lineare r−1<0 , откуда находим r<1 .
Risposta:
a r<1 .
Formule della Vieta
Sopra abbiamo parlato del teorema di Vieta per un’equazione quadratica e abbiamo analizzato le relazioni che esso asserisce. Ma ci sono formule che collegano le radici reali e i coefficienti non solo delle equazioni quadratiche, ma anche delle equazioni cubiche, delle equazioni di quarto grado e, in generale, equazioni algebriche laurea n. Sono chiamati Le formule di Vieta.
Scriviamo la formula di Vieta per un'equazione algebrica di grado n della forma, e assumeremo che abbia n radici reali x 1, x 2, ..., x n (tra queste possono essercene alcune coincidenti): 
È possibile ottenere le formule di Vieta teorema sulla scomposizione di un polinomio in fattori lineari, nonché la definizione di polinomi uguali attraverso l'uguaglianza di tutti i loro coefficienti corrispondenti. Quindi il polinomio e la sua espansione in fattori lineari della forma sono uguali. Aprendo le parentesi nell'ultimo prodotto ed uguagliando i coefficienti corrispondenti, otteniamo le formule di Vieta.
In particolare, per n=2 abbiamo le già familiari formule di Vieta per un'equazione quadratica.
Per un'equazione cubica, le formule di Vieta hanno la forma 
Resta solo da notare che sul lato sinistro delle formule di Vieta ci sono le cosiddette elementari polinomi simmetrici.
Bibliografia.
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