Applicazione dell'integrale alla soluzione di problemi applicati
Calcolo dell'area
L'integrale definito di una funzione continua non negativa f(x) è numericamente uguale a l'area di un trapezio curvilineo delimitato dalla curva y = f(x), dall'asse O x e dalle rette x = a e x = b. In base a ciò, la formula dell'area è scritta come segue:
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di calcolo delle aree delle figure piane.
Compito n. 1. Calcola l'area delimitata dalle linee y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Soluzione. Costruiamo una figura di cui dovremo calcolare l'area.
y = x 2 + 1 è una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto e la parabola è spostata verso l'alto di un'unità rispetto all'asse O y (Figura 1).
Figura 1. Grafico della funzione y = x 2 + 1
Compito n. 2. Calcola l'area delimitata dalle linee y = x 2 – 1, y = 0 nell'intervallo da 0 a 1.
 |
Soluzione. Il grafico di questa funzione è una parabola di rami diretti verso l'alto e la parabola è spostata rispetto all'asse O y verso il basso di un'unità (Figura 2).
Figura 2. Grafico della funzione y = x 2 – 1
Compito n. 3. Realizza un disegno e calcola l'area della figura delimitata dalle linee
y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4.
Soluzione. La prima di queste due linee è una parabola con i suoi rami diretti verso il basso, poiché il coefficiente di x 2 è negativo, e la seconda linea è una linea retta che interseca entrambi gli assi coordinati.
Per costruire una parabola troviamo le coordinate del suo vertice: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – ascissa del vertice; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 è la sua ordinata, N(1;9) è il vertice.
Ora troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta risolvendo il sistema di equazioni:
Uguagliare i lati destri di un'equazione i cui lati sinistri sono uguali.
Otteniamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 oppure x 2 – 12 = 0, da cui 
.
Quindi, i punti sono i punti di intersezione di una parabola e di una linea retta (Figura 1).
Figura 3 Grafici delle funzioni y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4
Costruiamo una retta y = 2x – 4. Passa per i punti (0;-4), (2;0) sugli assi coordinati.
Per costruire una parabola si possono anche usare i suoi punti di intersezione con l'asse 0x, cioè le radici dell'equazione 8 + 2x – x 2 = 0 oppure x 2 – 2x – 8 = 0. Usando il teorema di Vieta, è facile per trovare le sue radici: x 1 = 2, x 2 = 4.
La Figura 3 mostra una figura (segmento parabolico M 1 N M 2) delimitata da queste linee.
La seconda parte del problema è trovare l'area di questa figura. La sua area può essere trovata utilizzando un integrale definito secondo la formula 
.
In relazione a questa condizione si ottiene l’integrale: 
2 Calcolo del volume di un corpo di rotazione
Il volume del corpo ottenuto dalla rotazione della curva y = f(x) attorno all'asse O x si calcola con la formula:
Quando si ruota attorno all'asse O y, la formula è simile a:
Compito n. 4. Determina il volume del corpo ottenuto dalla rotazione di un trapezio curvo delimitato dalle rette x = 0 x = 3 e dalla curva y = attorno all'asse O x.
Soluzione. Disegniamo un'immagine (Figura 4).
Figura 4. Grafico della funzione y =
Il volume richiesto è 
Compito n.5. Calcola il volume del corpo ottenuto dalla rotazione di un trapezio curvo delimitato dalla curva y = x 2 e dalle linee rette y = 0 e y = 4 attorno all'asse O y.
Soluzione. Abbiamo:
Rivedi le domande
Infatti, per trovare l’area di una figura non è necessaria molta conoscenza dell’integrale indefinito e definito. Il compito di “calcolare l'area utilizzando un integrale definito” implica sempre la costruzione di un disegno, molto di più questione di attualità saranno le tue conoscenze e abilità nel disegno. A questo proposito è utile rinfrescarsi la memoria con i grafici delle funzioni elementari di base e, come minimo, saper costruire una retta e un'iperbole.
Un trapezio curvo è una figura piana delimitata da un asse, da linee rette e dal grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa figura venga localizzata non meno asse x:
Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un integrale definito. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico.
Dal punto di vista della geometria l'integrale definito è l'AREA.
Questo è, un certo integrale (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di una certa figura. Consideriamo ad esempio l’integrale definito. L'integrando definisce una curva sul piano posto sopra l'asse (chi lo desidera può fare un disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.
Esempio 1
Questa è una tipica dichiarazione di assegnazione. Il primo e più importante punto della decisione è la costruzione del disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.
Quando si costruisce un disegno, consiglio il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le rette (se esistono) e solo Poi- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni punto per punto.
In questo problema, la soluzione potrebbe assomigliare a questa.
Disegniamo il disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):
Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:
Risposta:
Una volta completata l'attività, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, saranno circa 9, sembra essere vero. È assolutamente chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora è ovvio che è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.
Esempio 3
Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.
Soluzione: Facciamo un disegno:
Se si trova un trapezio curvo sotto l'asse(o quantomeno non più alto dato l'asse), allora la sua area può essere trovata utilizzando la formula:
In questo caso:
Attenzione! I due tipi di compiti non devono essere confusi:
1) Se ti viene chiesto di risolvere semplicemente un integrale definito senza alcuno significato geometrico, allora può essere negativo.
2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura utilizzando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena discussa appare il segno meno.
In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore e quindi dai problemi scolastici più semplici si passa ad esempi più significativi.
Esempio 4
Trova l'area di una figura piana delimitata dalle linee , .
Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando costruiamo un disegno per problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo metodo è analitico. Risolviamo l'equazione:
Ciò significa che il limite inferiore di integrazione è , il limite superiore di integrazione è .
Se possibile, è meglio non utilizzare questo metodo..
È molto più redditizio e veloce costruire linee punto per punto, e i limiti dell’integrazione diventano chiari “da soli”. Tuttavia, il metodo analitico per la ricerca dei limiti talvolta deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione dettagliata non ha rivelato i limiti dell'integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.
Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo il disegno:
E ora la formula di lavoro: Se è presente una funzione continua sul segmento maggiore o uguale a qualche funzione continua , quindi l'area della figura delimitata dai grafici di queste funzioni e dalle linee , , può essere trovata utilizzando la formula:
Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, in parole povere, importa quale grafico è PIÙ ALTO(relativo ad un altro grafico), e quale è SOTTO.
Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da
La soluzione completata potrebbe assomigliare a questa:
La figura desiderata è limitata da una parabola sopra e da una linea retta sotto.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:
Risposta:
Esempio 4
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .
Soluzione: Per prima cosa, facciamo un disegno:
La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu(guarda attentamente le condizioni: come è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "problema tecnico" per cui è necessario trovare l'area della figura ombreggiata in verde!
Questo esempio è utile anche perché calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti.
Veramente:
1) Sul segmento sopra l'asse c'è il grafico di una retta;
2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico di un'iperbole.
È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:
Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzioneutilizzando un integrale definito?
Immagina una figura piatta sul piano delle coordinate. Abbiamo già trovato la sua area. Ma, inoltre, questa figura può anche essere ruotata e ruotata in due modi:
Intorno all'asse x;
Intorno all'asse y .
Questo articolo esaminerà entrambi i casi. Il secondo metodo di rotazione è particolarmente interessante; causa maggiori difficoltà, ma in realtà la soluzione è quasi la stessa della rotazione più comune attorno all'asse x.
Cominciamo con il tipo di rotazione più popolare.
Iniziamo a considerare l'effettivo processo di calcolo del doppio integrale e conosciamo il suo significato geometrico.
L'integrale doppio è numericamente uguale all'area della figura piana (la regione di integrazione). Questa è la forma più semplice di integrale doppio, quando la funzione di due variabili è uguale a una: .
Consideriamo innanzitutto il problema vista generale. Ora rimarrai piuttosto sorpreso di quanto tutto sia davvero semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per certezza, assumiamo che sul segmento . L’area di questa figura è numericamente pari a:
Rappresentiamo l'area nel disegno:
Scegliamo il primo modo per attraversare l'area:
Così:
E subito una tecnica tecnica importante: gli integrali iterati possono essere calcolati separatamente. Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Consiglio vivamente questo metodo ai principianti in materia.
1) Calcoliamo l'integrale interno e effettuiamo l'integrazione sulla variabile “y”:
L'integrale indefinito qui è il più semplice, e quindi viene utilizzata la banale formula di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni. Per prima cosa abbiamo sostituito il limite superiore nella “y” (funzione antiderivativa), poi il limite inferiore
2) Il risultato ottenuto nel primo paragrafo deve essere sostituito nell'integrale esterno:
Una rappresentazione più compatta dell'intera soluzione è simile alla seguente:
La formula risultante è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piana utilizzando l'integrale definito “ordinario”! Guarda la lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, eccola ad ogni passo!
Questo è, problema del calcolo dell'area mediante l'integrale doppio non molto diverso dal problema di trovare l'area utilizzando un integrale definito! In effetti, è la stessa cosa!
Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Non prenderò in considerazione molti esempi, dal momento che tu, in effetti, ti sei imbattuto più volte in questo compito.
Esempio 9
Soluzione: Rappresentiamo l'area nel disegno:
Scegliamo il seguente ordine di attraversamento dell'area:
Qui e oltre non mi soffermerò su come attraversare la zona, visto che nel primo paragrafo sono state date spiegazioni molto dettagliate.
Così:
Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare gli integrali iterati separatamente e mi atterrò allo stesso metodo:
1) Innanzitutto, utilizzando la formula di Newton-Leibniz, trattiamo l'integrale interno:
2) Il risultato ottenuto nel primo passo viene sostituito nell'integrale esterno:
Il punto 2 consiste in realtà nel trovare l'area di una figura piana utilizzando un integrale definito.
Risposta:
Questo è un compito così stupido e ingenuo.
Un esempio interessante per una soluzione indipendente:
Esempio 10
Utilizzando un integrale doppio, calcolare l'area di una figura piana delimitata dalle linee , ,
Un esempio approssimativo di soluzione finale alla fine della lezione.
Negli esempi 9-10 è molto più vantaggioso utilizzare il primo metodo di attraversamento dell'area; i lettori curiosi, tra l'altro, possono modificare l'ordine di attraversamento e calcolare le aree utilizzando il secondo metodo. Se non commetti errori, ovviamente otterrai gli stessi valori di area.
Ma in alcuni casi, il secondo metodo per attraversare l’area è più efficace e, alla fine del corso per giovani nerd, diamo un’occhiata ad un altro paio di esempi su questo argomento:
Esempio 11
Utilizzando un integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee,
Soluzione: Ci aspettano due parabole con una stranezza che giacciono sui lati. Non c’è bisogno di sorridere; cose simili si verificano abbastanza spesso in più integrali.
Qual è il modo più semplice per realizzare un disegno?
Immaginiamo una parabola sotto forma di due funzioni:
– il ramo superiore e – il ramo inferiore.
Allo stesso modo, immagina una parabola sotto forma di rami superiore e inferiore.
Calcoliamo l'area della figura utilizzando il doppio integrale secondo la formula:
Cosa succede se scegliamo il primo metodo per attraversare l'area? Innanzitutto quest’area dovrà essere divisa in due parti. E in secondo luogo, osserveremo questa triste immagine: . Gli integrali, ovviamente, non sono di un livello super complicato, ma... c'è un vecchio detto matematico: chi è vicino alle proprie radici non ha bisogno di test.
Pertanto, dall'equivoco dato nella condizione, esprimiamo le funzioni inverse:
Funzioni inverse in in questo esempio hanno il vantaggio di specificare l'intera parabola in una volta senza foglie, ghiande, rami e radici.
Secondo il secondo metodo, l’attraversamento dell’area sarà il seguente:
Così:
Come si suol dire, senti la differenza.
1) Trattiamo l'integrale interno:
Sostituiamo il risultato nell'integrale esterno:
L'integrazione sulla variabile "y" non dovrebbe creare confusione; se ci fosse una lettera "zy", sarebbe fantastico integrarla su di essa. Anche se chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, non sperimenta più il minimo imbarazzo con l'integrazione secondo il metodo “Y”.
Presta attenzione anche al primo passaggio: l'integrando è pari e l'intervallo di integrazione è simmetrico attorno allo zero. Pertanto, il segmento può essere dimezzato e il risultato può essere raddoppiato. Questa tecnica è commentata in dettaglio nella lezione. Metodi efficaci calcolo di un integrale definito.
Cosa aggiungere…. Tutto!
Risposta:
Per testare la tua tecnica di integrazione, puoi provare a calcolare . La risposta dovrebbe essere esattamente la stessa.
Esempio 12
Utilizzando un integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. È interessante notare che se si prova ad utilizzare il primo metodo di attraversamento dell'area, la figura non dovrà più essere divisa in due, ma in tre parti! E, di conseguenza, otteniamo tre coppie di integrali ripetuti. A volte succede.
La master class è giunta al termine ed è ora di passare al livello di gran maestro - Come calcolare il doppio integrale? Esempi di soluzioni. Cercherò di non essere così maniacale nel secondo articolo =)
Vi auguro il successo!
Soluzioni e risposte:
Esempio 2:Soluzione:
Rappresentiamo l'area sul disegno:
Scegliamo il seguente ordine di attraversamento dell'area:
Così:
Passiamo alle funzioni inverse:
Così:
Risposta:
Esempio 4:Soluzione:
Passiamo alle funzioni dirette:
Facciamo il disegno:
Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:
Risposta:
L'ordine di camminare nella zona:
Così:
1)
2)
Risposta:
Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. In classe ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dirne un’altra fatto utile. Dal punto di vista della geometria l'integrale definito è l'AREA.
Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di una certa figura. Consideriamo ad esempio l’integrale definito. L'integrando definisce una certa curva sul piano (può sempre essere disegnata se lo si desidera) e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.
Esempio 1
Questa è una tipica dichiarazione di assegnazione. Il primo e più importante punto della decisione è la costruzione di un disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.
Quando si costruisce un disegno, consiglio il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le rette (se esistono) e solo Poi– parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni punto per punto, la tecnica di costruzione punto per punto si trova in materiale di riferimento.
Lì puoi anche trovare materiale molto utile per la nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.
In questo problema, la soluzione potrebbe assomigliare a questa.
Disegniamo il disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):
Non ombreggiarò il trapezio curvo; qui è ovvio di quale area stiamo parlando. La soluzione continua così:
Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:
Risposta:
Chi ha difficoltà nel calcolare l'integrale definito e nell'applicare la formula di Newton-Leibniz può fare riferimento alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni.
Una volta completata l'attività, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, contiamo il numero di celle nel disegno “a occhio” - beh, ce ne saranno circa 9, sembra essere vero. È assolutamente chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora è ovvio che è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.
Esempio 2
Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee , e dall'asse
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Cosa fare se si trova il trapezio curvo sotto l'asse?
Esempio 3
Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.
Soluzione: facciamo un disegno:
Se un trapezio curvo completamente posizionato sotto l'asse, allora la sua area può essere trovata utilizzando la formula:
In questo caso:
Attenzione! Non bisogna confondere i due tipi di compiti:
1) Se ti viene chiesto di risolvere semplicemente un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora potrebbe essere negativo.
2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura utilizzando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena discussa appare il segno meno.
In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore e quindi dai problemi scolastici più semplici si passa ad esempi più significativi.
Esempio 4
Trova l'area di una figura piana delimitata dalle linee , .
Soluzione: per prima cosa devi fare un disegno. In generale, quando costruiamo un disegno per problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo metodo è analitico. Risolviamo l'equazione:
Ciò significa che il limite inferiore di integrazione è , il limite superiore di integrazione è .
È meglio non utilizzare questo metodo, se possibile.
È molto più redditizio e veloce costruire linee punto per punto, e i limiti dell’integrazione diventano chiari “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto di vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per la ricerca dei limiti talvolta deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione dettagliata non ha rivelato i limiti dell'integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.
Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo il disegno:
Ripeto che quando si costruisce puntualmente, i limiti dell'integrazione vengono spesso scoperti “automaticamente”.
E ora la formula di lavoro: Se su un segmento c'è qualche funzione continua maggiore o uguale a qualche funzione continua, quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata utilizzando la formula:
Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, in parole povere, importa quale grafico è PIÙ ALTO(relativo ad un altro grafico), e quale è SOTTO.
Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da
La soluzione completata potrebbe assomigliare a questa:
La figura desiderata è limitata da una parabola sopra e da una linea retta sotto.
Risposta:
In effetti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula. Poiché l'asse è specificato dall'equazione e il grafico della funzione si trova sotto l'asse, allora
E ora un paio di esempi per la tua soluzione
Esempio 5
Esempio 6
Trova l'area della figura delimitata dalle linee , .
Quando si risolvono problemi che coinvolgono il calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato fatto correttamente, i calcoli erano corretti, ma per disattenzione... è stata trovata l'area della figura sbagliata, è proprio così che il tuo umile servitore ha commesso un errore più volte. Ecco un caso reale:
Esempio 7
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .
Per prima cosa facciamo un disegno:
La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu(guarda attentamente le condizioni: come è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, capita spesso di dover trovare l'area di una figura ombreggiata in verde!
Questo esempio è utile anche perché calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti. Veramente:
1) Sul segmento sopra l'asse c'è il grafico di una retta;
2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico di un'iperbole.
È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:
Risposta:
Esempio 8
Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in forma “scolastica” e facciamo un disegno punto per punto:
Dal disegno è chiaro che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore?! È chiaro che questo non è un numero intero, ma cos'è? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia stato eseguito con perfetta precisione, potrebbe benissimo risultare che... O la radice. Cosa succederebbe se costruissimo il grafico in modo errato?
In questi casi è necessario dedicare ulteriore tempo e chiarire analiticamente i limiti dell’integrazione.
Troviamo i punti di intersezione di una retta e di una parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:
Quindi, .
L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più semplici.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:
Bene, per concludere la lezione, esaminiamo due compiti più difficili.
Esempio 9
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,
Soluzione: rappresentiamo questa figura nel disegno.
Per disegnare un disegno punto per punto devi sapere aspetto sinusoidi (e generalmente utile sapere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso) è possibile costruire un disegno schematico, sul quale dovrebbero essere visualizzati fondamentalmente correttamente i grafici ed i limiti di integrazione.
Qui non ci sono problemi con i limiti di integrazione; derivano direttamente dalla condizione: “x” cambia da zero a “pi”. Prendiamo un'ulteriore decisione:
Sul segmento il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi:
(1) Puoi vedere come i seni e i coseni sono integrati nelle potenze dispari nella lezione Integrali di funzioni trigonometriche. Questa è una tecnica tipica, pizzichiamo un seno.
(2) Usiamo l'identità trigonometrica principale nella forma
(3) Cambiamo quindi la variabile:
Nuove aree di integrazione:
Chiunque sia davvero pessimo con le sostituzioni, per favore prenda una lezione. Metodo di sostituzione negli integrali indefiniti. Per coloro che non comprendono bene l'algoritmo di sostituzione in un integrale definito, visitare la pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni. Esempio 5: Soluzione: , quindi:
Risposta:
Nota: notare come viene preso l'integrale della tangente al cubo; qui viene utilizzato un corollario dell'identità trigonometrica di base.
Questo è un problema scolastico, ma nonostante il fatto che quasi il 100% si troverà nel tuo corso di matematica superiore. Ecco perché in tutta serietà diamo un'occhiata a TUTTI gli esempi e la prima cosa da fare è familiarizzare con Applicazione Grafici di funzioni rispolverare la tecnica di costruzione dei grafici elementari. …Mangiare? Grande! Una tipica istruzione di assegnazione suona così:
Esempio 10
.
E la prima fase più importante soluzioni consiste proprio in costruzione di un disegno. Ti consiglio comunque il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutto Dritto(se esistono) e solo Poi – parabole, iperboli, grafici di altre funzioni.
Nel nostro compito: Dritto definisce l'asse, Dritto parallelo all'asse e parabola simmetrico rispetto all'asse, troviamo diversi punti di riferimento per esso: 
Si consiglia di tratteggiare la figura desiderata: 
Seconda faseè quello comporre correttamente E calcolare correttamente integrale definito. Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, quindi l'area richiesta è:
Risposta:
Una volta completata l'attività, è utile guardare il disegno
e capire se la risposta è realistica.
E contiamo "a occhio" il numero di celle ombreggiate - beh, ce ne saranno circa 9, sembra essere vero. È assolutamente chiaro che se avessimo, diciamo, 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella figura costruita, al massimo una dozzina. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.
Esempio 11
Calcola l'area di una figura delimitata da linee 
e asse
Facciamo un rapido riscaldamento (richiesto!) e consideriamo la situazione "specchio" - quando si trova il trapezio curvo sotto l'asse:
Esempio 12
Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.
Soluzione: troviamo alcuni punti di riferimento per la costruzione dell’esponenziale:
e completa il disegno, ottenendo una figura con un'area di circa due celle: 
Se si trova un trapezio curvo non più alto asse, la sua area può essere trovata utilizzando la formula: .
In questo caso: 
Risposta: – beh, è molto, molto simile alla verità.
In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi si passa dai problemi scolastici più semplici ad esempi più significativi:
Esempio 13
Trova l'area di una figura piana delimitata dalle linee , .
Soluzione: per prima cosa dobbiamo completare il disegno, e ci interessano soprattutto i punti di intersezione della parabola e della retta, poiché qui saranno limiti di integrazione. Ci sono due modi per trovarli. Il primo metodo è analitico. Creiamo e risolviamo l'equazione:
Così:
Dignità il metodo analitico consiste nel suo precisione, UN difetto- V durata(e in questo esempio siamo stati addirittura fortunati). Pertanto, in molti problemi è più vantaggioso costruire linee punto per punto, e i limiti dell’integrazione diventano chiari “da soli”.
Con una retta tutto è chiaro, ma per costruire una parabola conviene trovarne il vertice; per questo prendiamo la derivata e la eguagliamo a zero:
– è a questo punto che verrà individuato il picco. E, a causa della simmetria della parabola, troveremo i rimanenti punti di riferimento utilizzando il principio “sinistra-destra”: 
Facciamo il disegno: 
E ora la formula di lavoro: se sul segmento ce n'è qualcuno continuo funzione maggiore o uguale a continuo funzioni, quindi l'area della figura limitata dai grafici di queste funzioni e dai segmenti di linea può essere trovata utilizzando la formula: 
Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse, ma, grosso modo, ciò che conta è quale dei due grafici è PIÙ ALTO.
Nel nostro esempio è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da
La soluzione completata potrebbe assomigliare a questa:
Sul segmento: , secondo la formula corrispondente:
Risposta:
Va notato che le formule semplici discusse all'inizio del paragrafo sono casi speciali della formula 
. Poiché l'asse è dato dall'equazione, una delle funzioni sarà zero e, a seconda che il trapezio curvilineo si trovi sopra o sotto, otterremo la formula
E ora un paio di compiti tipici che dovrai risolvere da solo
Esempio 14
Trova l'area delle figure delimitate dalle linee:
Soluzione con disegni e brevi commenti alla fine del libro
Nel corso della risoluzione del problema in esame, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato fatto correttamente, l'integrale risolto correttamente, ma per disattenzione... è stata trovata l'area della figura sbagliata, è proprio così che il tuo umile servitore si è sbagliato più volte. Ecco un caso reale:
Esempio 15
Calcola l'area di una figura delimitata da linee 
Soluzione: facciamo un semplice disegno, 
il trucco è quello l'area richiesta è ombreggiata in verde(guarda attentamente le condizioni: come è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "problema tecnico" per cui è necessario trovare l'area di una figura ombreggiata in grigio! Un trucco speciale è che la linea retta può essere disegnata sotto l'asse e quindi non vedremo affatto la figura desiderata.
Questo esempio è utile anche perché calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti. Veramente:
1) sul segmento sopra l'asse è tracciato il grafico di una retta;
2) sul segmento sopra l'asse c'è il grafico di un'iperbole.
È assolutamente chiaro che le aree possono (e devono) essere aggiunte: 
Risposta:
E un esempio educativo che puoi decidere tu stesso:
Esempio 16
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , e dagli assi delle coordinate.
Quindi, sistemizziamo i punti importanti di questo compito:
Al primo passo Studiamo ATTENTAMENTE la condizione: QUALI funzioni ci vengono assegnate? Gli errori accadono anche qui, in particolare, arca co la tangente viene spesso confusa con l'arcotangente. Ciò, tra l'altro, vale anche per altri compiti in cui si verifica l'arco cotangente.
Ulteriore il disegno deve essere completato CORRETTAMENTE. È meglio costruire prima Dritto(se esistono), quindi grafici di altre funzioni (se esistono J). Questi ultimi sono in molti casi più redditizi da costruire punto per punto– trova diversi punti di ancoraggio e collegali attentamente con una linea.
Ma qui potrebbero essere in agguato le seguenti difficoltà. Innanzitutto, non è sempre chiaro dal disegno limiti di integrazione- questo accade quando sono frazionari. Su mathprofi.ru in articolo pertinente Ho osservato un esempio con una parabola e una linea retta, in cui uno dei punti di intersezione non è chiaro dal disegno. In questi casi, dovresti utilizzare il metodo analitico, creiamo l'equazione:
e trova le sue radici:
– limite inferiore di integrazione, – limite superiore.
Dopo che il disegno è stato completato, analizziamo la figura risultante: esaminiamo ancora una volta le funzioni proposte e ricontrolliamo se questa è la figura giusta. Poi ne analizziamo la forma e l'ubicazione; capita che l'area sia piuttosto complessa e quindi andrebbe divisa in due o anche tre parti.
Comporre un integrale definito o più integrali secondo la formula 
, abbiamo discusso tutte le principali variazioni sopra.
Risoluzione di un integrale definito(S). Tuttavia, potrebbe rivelarsi piuttosto complesso e quindi utilizziamo un algoritmo passo passo: 1) troviamo l'antiderivativa e la controlliamo mediante differenziazione, 2) Usiamo la formula di Newton-Leibniz.
È utile verificare il risultato usando Software/ servizi online o semplicemente “preventivo” secondo il disegno secondo le celle. Ma non sempre entrambe le cose sono fattibili, quindi siamo estremamente attenti ad ogni fase della soluzione!
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I migliori auguri, Alexander Emelin