Esempio1 . Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 e x = 2
Costruiamo una figura (vedi figura) Costruiamo una retta x + 2y – 4 = 0 utilizzando due punti A(4;0) e B(0;2). Esprimendo y tramite x, otteniamo y = -0,5x + 2. Utilizzando la formula (1), dove f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, troviamo
S = = [-0,25=11,25 mq. unità
Esempio 2. Calcola l’area della figura delimitata dalle linee: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 e y = 0.
Soluzione. Costruiamo la figura.
Costruiamo una retta x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Costruiamo una retta x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Troviamo il punto di intersezione delle rette risolvendo il sistema di equazioni:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Per calcolare l'area richiesta, dividiamo il triangolo AMC in due triangoli AMN e NMC, poiché quando x cambia da A a N, l'area è limitata da una linea retta e quando x cambia da N a C - da una linea retta
Per il triangolo AMN abbiamo: ; y = 0,5x + 2, cioè f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
Per il triangolo NMC abbiamo: y = - x + 5, cioè f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Calcolando l'area di ciascun triangolo e sommando i risultati, troviamo:
mq. unità
mq. unità
9 + 4, 5 = 13,5 mq. unità Verifica: = 0,5AC = 0,5 mq. unità
Esempio 3. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
In questo caso, devi calcolare l'area di un trapezio curvo delimitato dalla parabola y = x 2 , le linee rette x = 2 e x = 3 e l'asse del bue (vedi figura) Utilizzando la formula (1) troviamo l'area del trapezio curvilineo
= = 6 mq. unità
Esempio 4. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = - x 2 + 4 e y = 0
Costruiamo la figura. L'area richiesta è racchiusa tra la parabola y = - x 2 + 4 e l'asse del Bue.
Troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse del Bue. Assumendo y = 0, troviamo x = Poiché questa figura è simmetrica rispetto all'asse Oy, calcoliamo l'area della figura situata a destra dell'asse Oy, e raddoppieremo il risultato ottenuto: = +4x]sq. unità 2 = 2 mq. unità
Esempio 5. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Qui è necessario calcolare l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal ramo superiore della parabola 2 = x, asse Ox e rette x = 1 e x = 4 (vedi figura)
Secondo la formula (1), dove f(x) = a = 1 e b = 4, abbiamo = (= unità quadrate.
Esempio 6 . Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
L'area richiesta è limitata dalla semionda della sinusoide e dall'asse Ox (vedi figura).
Abbiamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 mq. unità
Esempio 7. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = - 6x, y = 0 e x = 4.
La figura si trova sotto l'asse del Bue (vedi figura).
Pertanto, troviamo la sua area utilizzando la formula (3)
= =
Esempio 8. Calcola l'area della figura delimitata dalle linee: y = e x = 2. Costruisci la curva y = dai punti (vedi figura). Pertanto, troviamo l'area della figura usando la formula (4)
Esempio 9 .
X 2 + sì 2 = r 2 .
Qui devi calcolare l'area racchiusa dal cerchio x 2 + sì 2 = r 2 , cioè l'area di un cerchio di raggio r con centro nell'origine. Troviamo la quarta parte di quest'area prendendo i limiti di integrazione da 0
Prima; abbiamo: 1 = = [
Quindi, 1 =
Esempio 10. Calcola l'area di una figura delimitata dalle linee: y= x 2 e y = 2x
Questa figura è limitata dalla parabola y = x 2 e retta y = 2x (vedi figura) Per determinare i punti di intersezione date linee risolvere il sistema di equazioni: x 2 – 2x = 0 x = 0 e x = 2
Usando la formula (5) per trovare l'area, otteniamo
= . Cioè, non vengono prese in considerazione linee come il taglio di un fungo, il cui gambo si adatta bene a questo segmento e il cappello è molto più largo.
I segmenti laterali possono degenerare in punti . Se vedi una figura del genere nel disegno, questo non dovrebbe confonderti, poiché questo punto ha sempre il suo valore sull'asse “x”. Ciò significa che tutto è in ordine con i limiti dell'integrazione.
Ora puoi passare alle formule e ai calcoli. Quindi la zona S il trapezio curvo può essere calcolato utilizzando la formula
Se F(X) ≤ 0 (il grafico della funzione si trova sotto l'asse Bue), Quello area di un trapezio curvo può essere calcolato utilizzando la formula
Ci sono anche casi in cui sia il limite superiore che quello inferiore della figura sono rispettivamente funzioni sì = F(X) E sì = φ (X) , quindi l'area di tale figura viene calcolata dalla formula
. (3)
Risolvere i problemi insieme
Cominciamo con i casi in cui l'area di una figura può essere calcolata utilizzando la formula (1).
Esempio 1.Bue) e dritto X = 1 , X = 3 .
Soluzione. Perché sì = 1/X> 0 sul segmento , allora l'area del trapezio curvilineo si trova utilizzando la formula (1):
.
Esempio 2. Trova l'area della figura delimitata dal grafico della funzione, linea X= 1 e asse x ( Bue ).
Soluzione. Il risultato dell'applicazione della formula (1):
Se allora S= 1/2; se allora S= 1/3, ecc.
Esempio 3. Trova l'area della figura delimitata dal grafico della funzione, l'asse delle ascisse ( Bue) e dritto X = 4 .
Soluzione. La figura corrispondente alle condizioni del problema è un trapezio curvilineo in cui il segmento sinistro è degenerato in un punto. I limiti di integrazione sono 0 e 4. Poiché , utilizzando la formula (1) troviamo l'area del trapezio curvilineo:
.
Esempio 4. Trova l'area della figura delimitata dalle linee , , e situata nel 1° quarto.
Soluzione. Per utilizzare la formula (1), immaginiamo l'area della figura data dalle condizioni dell'esempio come la somma delle aree del triangolo Rubrica fuori rete e trapezio curvo ABC. Quando si calcola l'area di un triangolo Rubrica fuori rete i limiti di integrazione sono le ascisse dei punti O E UN, e per la figura ABC- ascisse dei punti UN E C (UNè il punto di intersezione della linea O.A. e parabole, e C- il punto di intersezione della parabola con l'asse Bue). Risolvendo congiuntamente (come sistema) le equazioni di una retta e di una parabola, si ottiene (l'ascissa del punto UN) e (l'ascissa di un altro punto di intersezione della retta con la parabola, che non serve per la soluzione). Allo stesso modo otteniamo , (ascisse dei punti C E D). Ora abbiamo tutto ciò che ci occorre per trovare l'area di una figura. Troviamo:
Esempio 5. Trova l'area di un trapezio curvo ACDB, se l'equazione della curva CD e ascisse UN E B 1 e 2 rispettivamente.
Soluzione. Esprimiamo questa equazione della curva attraverso il gioco: L'area del trapezio curvilineo si trova utilizzando la formula (1):
.
Passiamo ai casi in cui l'area di una figura può essere calcolata utilizzando la formula (2).
Esempio 6. Trova l'area della figura delimitata dalla parabola e dall'asse x ( Bue ).
Soluzione. Questa figura si trova sotto l'asse x. Pertanto, per calcolare la sua area, utilizzeremo la formula (2). I limiti di integrazione sono l'ascissa e i punti di intersezione della parabola con l'asse Bue. Quindi,
Esempio 7. Trova l'area racchiusa tra l'asse delle ascisse ( Bue) e due onde sinusoidali adiacenti.
Soluzione. L'area di questa figura può essere trovata utilizzando la formula (2):
.
Troviamo ciascun termine separatamente:
.
.
Infine troviamo la zona:
.
Esempio 8. Trova l'area della figura racchiusa tra la parabola e la curva.
Soluzione. Esprimiamo le equazioni delle rette attraverso il gioco:
L'area secondo la formula (2) si ottiene come
,
Dove UN E B- ascisse dei punti UN E B. Troviamoli risolvendo insieme le equazioni:
Infine troviamo la zona:
E infine, casi in cui l'area di una figura può essere calcolata utilizzando la formula (3).
Esempio 9. Trova l'area della figura racchiusa tra le parabole 
E .
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Parole chiave: trapezio integrale, curvilineo, area di figure delimitate da gigli
Attrezzatura: lavagna luminosa, computer, proiettore multimediale
Tipo di lezione: lezione-lezione
Obiettivi della lezione:
- educativo: creare una cultura del lavoro mentale, creare una situazione di successo per ogni studente e creare una motivazione positiva per l'apprendimento; sviluppare la capacità di parlare e ascoltare gli altri.
- sviluppando: formazione del pensiero indipendente dello studente nell'applicare la conoscenza in varie situazioni, capacità di analizzare e trarre conclusioni, sviluppo della logica, sviluppo della capacità di porre correttamente domande e trovare risposte. Migliorare la formazione di abilità computazionali e computazionali, sviluppare il pensiero degli studenti nel corso del completamento dei compiti proposti, sviluppare una cultura algoritmica.
- educativo: formare concetti su un trapezio curvilineo, su un integrale, padroneggiare le capacità di calcolo delle aree delle figure piane
Metodo di insegnamento: esplicativo ed illustrativo.
Avanzamento della lezione
Nelle lezioni precedenti abbiamo imparato a calcolare le aree delle figure i cui confini sono linee poligonali. In matematica esistono metodi che consentono di calcolare le aree delle figure delimitate da curve. Tali figure sono chiamate trapezi curvilinei e la loro area viene calcolata utilizzando gli antiderivativi.
Trapezio curvilineo ( diapositiva 1)
Un trapezio curvo è una figura delimitata dal grafico di una funzione, ( sh.m.), Dritto x = a E x = b e l'asse x
Vari tipi di trapezi curvi ( diapositiva 2)
Stiamo considerando vari tipi trapezi curvilinei e nota: una delle linee degenera in un punto, il ruolo della funzione limitante è svolto dalla linea
Area di un trapezio curvo (diapositiva 3)
Fissiamo l'estremità sinistra dell'intervallo UN, e quello giusto X cambieremo, cioè spostiamo la parete destra del trapezio curvilineo e otteniamo una figura che cambia. L'area di un trapezio curvilineo variabile delimitata dal grafico della funzione è un'antiderivativa F per funzione F
E sul segmento [ UN; B] area di un trapezio curvilineo formato dalla funzione F,è uguale all'incremento dell'antiderivativa di questa funzione:
Compito 1:
Trova l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal grafico della funzione: f(x) = x2 e dritto y = 0, x = 1, x = 2.
Soluzione: ( secondo l'algoritmo slide 3)
Disegniamo un grafico della funzione e delle linee
Troviamo una delle antiderivative della funzione f(x) = x2 :
Autotest della diapositiva
Integrante
Consideriamo un trapezio curvilineo definito dalla funzione F sul segmento [ UN; B]. Suddividiamo questo segmento in più parti. L'area dell'intero trapezio verrà divisa nella somma delle aree dei trapezi curvi più piccoli. ( diapositiva 5). Ciascuno di questi trapezi può essere approssimativamente considerato un rettangolo. La somma delle aree di questi rettangoli dà un'idea approssimativa dell'intera area del trapezio curvo. Quanto più piccolo dividiamo il segmento [ UN; B], più accuratamente calcoliamo l'area.
Scriviamo questi argomenti sotto forma di formule.
Dividere il segmento [ UN; B] in n parti per punti x0 =a,x1,...,xn = b. Lunghezza k- th denotare con xk = xk – xk-1. Facciamo un bilancio
Dal punto di vista geometrico, questa somma rappresenta l'area della figura ombreggiata in figura ( sh.m.)
Le somme della forma sono chiamate somme intere della funzione F. (sh.m.)
Le somme integrali danno un valore approssimativo dell'area. Il valore esatto si ottiene passando al limite. Immaginiamo di perfezionare la partizione del segmento [ UN; B] in modo che le lunghezze di tutti i segmenti piccoli tendano a zero. Quindi l'area della figura composta si avvicinerà all'area del trapezio curvo. Possiamo dire che l'area di un trapezio curvo è uguale al limite delle somme integrali, Sc.t. (sh.m.) o integrale, cioè
Definizione:
Integrale di una funzione f(x) da UN A B detto limite delle somme intere
= (sh.m.)
Formula di Newton-Leibniz.
Ricordiamo che il limite delle somme integrali è pari all'area di un trapezio curvilineo, ciò significa che possiamo scrivere:
Sc.t. = (sh.m.)
D'altra parte, l'area di un trapezio curvo viene calcolata dalla formula
S k.t. (sh.m.)
Confrontando queste formule, otteniamo:
= (sh.m.)Questa uguaglianza è chiamata formula di Newton-Leibniz.
Per comodità di calcolo la formula si scrive così:
= = (sh.m.)Compiti: (sh.m.)
1. Calcola l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz: ( controlla nella diapositiva 5)
2. Comporre gli integrali secondo il disegno ( controlla nella diapositiva 6)
3. Trova l'area della figura delimitata dalle linee: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)
Trovare le aree delle figure piane ( diapositiva 8)
Come trovare l'area delle figure che non sono trapezi curvi?
Siano date due funzioni, i cui grafici vedi nella diapositiva . (sh.m.) Trova l'area della figura ombreggiata . (sh.m.). La figura in questione è un trapezio curvo? Come puoi trovare la sua area utilizzando la proprietà di additività dell'area? Consideriamo due trapezi curvi e sottraiamo l'area dell'altro dall'area di uno di essi ( sh.m.)
Creiamo un algoritmo per trovare l'area utilizzando l'animazione su una diapositiva:
- Funzioni grafiche
- Proietta i punti di intersezione dei grafici sull'asse x
- Ombreggia la figura ottenuta quando i grafici si intersecano
- Trova trapezi curvilinei la cui intersezione o unione è la figura data.
- Calcola l'area di ciascuno di essi
- Trova la differenza o la somma delle aree
Compito orale: come ottenere l'area di una figura ombreggiata (raccontare utilizzando l'animazione, diapositive 8 e 9)
Compiti a casa: Analizza le note, N. 353 (a), N. 364 (a).
Riferimenti
- Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per le classi 9-11 della scuola serale (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Illuminismo, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra e inizi dell'analisi: un libro di testo per 10-11 classi di scuola secondaria / Bashmakov M.I. - M: Illuminismo, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematica: libro di testo per le istituzioni a partire. e mercoledì prof. istruzione / M.I. Bashmakov. - M: Accademia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra e inizi di analisi: libro di testo per le classi 10-11. istituzioni educative / A.N. - M: Istruzione, 2010.
- Ostrovsky S.L. Come fare una presentazione per una lezione?/ S.L. Ostrovskij. – M.: 1 settembre 2010.