Introduzione………………………………3
1. Parte teorica……………………………………….4
Concetti e termini di base……………………………4
1.1 Tipologie di sequenze……………………...6
1.1.1.Sequenze numeriche limitate e illimitate…..6
1.1.2.Monotonia delle sequenze……………6
1.1.3.Sequenze infinitamente grandi e infinitesime…….7
1.1.4.Proprietà delle successioni infinitesime…………………8
1.1.5.Successioni convergenti e divergenti e loro proprietà.....9
1.2 Limite di sequenza………………….11
1.2.1.Teoremi sui limiti delle successioni……………15
1.3 Progressione aritmetica……………………17
1.3.1. Proprietà della progressione aritmetica………..17
1.4Progressione geometrica……………………..19
1.4.1. Proprietà della progressione geometrica……………….19
1.5. Numeri di Fibonacci…………………..21
1.5.1 Collegamento dei numeri di Fibonacci con altre aree di conoscenza………………….22
1.5.2. Usare la serie di Fibonacci per descrivere la vita e natura inanimata…………………………………………………………………………….23
2. Ricerca propria……………..……….28
Conclusione……………………………….30
Elenco dei riferimenti……………………....31
Introduzione.
Le sequenze numeriche sono un argomento molto interessante ed educativo. Questo argomento si trova nei compiti di maggiore complessità offerti agli studenti dagli autori di materiali didattici, nei problemi delle Olimpiadi della matematica, negli esami di ammissione agli istituti di istruzione superiore e nell'esame di stato unificato. Sono interessato a sapere come le sequenze matematiche si collegano ad altre aree della conoscenza.
Bersaglio lavoro di ricerca: Amplia la conoscenza della sequenza numerica.
1. Considera la sequenza;
2. Considera le sue proprietà;
3. Considerare il compito analitico della sequenza;
4. Dimostrare il suo ruolo nello sviluppo di altre aree di conoscenza.
5. Dimostrare l'uso della serie di numeri di Fibonacci per descrivere la natura vivente e inanimata.
1. Parte teorica.
Concetti e termini di base.
Definizione. Una sequenza numerica è una funzione della forma y = f(x), x О N, dove N è un insieme di numeri naturali (o una funzione di un argomento naturale), indicato con y = f(n) o y1, y2, …, sì,…. I valori y1, y2, y3,... sono chiamati rispettivamente primo, secondo, terzo,... membro della sequenza.
Un numero a è chiamato limite della sequenza x = (x n ), se per un numero positivo arbitrariamente piccolo e predeterminato arbitrariamente ε esiste tale numero naturale N che per ogni n>N la disuguaglianza |x n - a|< ε.
Se il numero a è il limite della successione x = (x n ), allora si dice che x n tende ad a, e si scrive
.Una successione (yn) si dice crescente se ogni membro (eccetto il primo) è maggiore del precedente:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Una successione (yn) si dice decrescente se ogni membro (eccetto il primo) è minore del precedente:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Le sequenze crescenti e decrescenti sono combinate sotto il termine comune: sequenze monotone.
Una successione si dice periodica se esiste un numero naturale T tale che, a partire da qualche n, vale l'uguaglianza yn = yn+T. Il numero T è chiamato durata del periodo.
Una progressione aritmetica è una successione (an), ciascun termine della quale, a partire dal secondo, è uguale alla somma del termine precedente e dello stesso numero d, si chiama progressione aritmetica, e il numero d è la differenza di an progressione aritmetica.
Così, progressione aritmeticaè una sequenza numerica (an) definita ricorsivamente dalle relazioni
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Una progressione geometrica è una sequenza in cui tutti i termini sono diversi da zero e ciascun termine della quale, a partire dal secondo, si ottiene dal termine precedente moltiplicando per lo stesso numero q.
Pertanto, una progressione geometrica è una sequenza numerica (bn) definita in modo ricorrente dalle relazioni
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Tipi di sequenze.
1.1.1 Sequenze limitate e illimitate.
Una successione (bn) si dice limitata superiormente se esiste un numero M tale che per ogni numero n vale la disuguaglianza bn≤ M;
Una successione (bn) si dice limitata inferiormente se esiste un numero M tale che per ogni numero n vale la disuguaglianza bn≥ M;
Per esempio:
1.1.2 Monotonicità delle sequenze.
Una successione (bn) si dice non crescente (non decrescente) se per qualsiasi numero n è vera la disuguaglianza bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);
Una successione (bn) si dice decrescente (crescente) se per qualsiasi numero n la disuguaglianza bn> bn+1 (bn Le successioni decrescenti e crescenti sono dette strettamente monotone, le sequenze non crescenti sono dette monotone in senso lato. Le successioni limitate sia superiormente che inferiormente si dicono limitate. La sequenza di tutti questi tipi è detta monotona. 1.1.3 Sequenze infinitamente grandi e piccole. Una sequenza infinitesima è una funzione o sequenza numerica che tende a zero. Una successione an si dice infinitesima se Una funzione si dice infinitesima in un intorno del punto x0 se ℓimx→x0 f(x)=0. Una funzione si dice infinitesima all'infinito se ℓimx→.+∞ f(x)=0 oppure ℓimx→-∞ f(x)=0 Anche infinitesima è una funzione che è la differenza tra una funzione e il suo limite, cioè se ℓimx→.+∞ f(x)=a, allora f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0. Una sequenza infinitamente grande è una funzione numerica o una sequenza che tende all'infinito. Una successione an si dice infinitamente grande se ℓimn→0 an=∞. Una funzione si dice infinitamente grande in un intorno del punto x0 se ℓimx→x0 f(x)= ∞. Una funzione si dice infinitamente grande se all'infinito ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ oppure ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Proprietà delle successioni infinitesime. Anche la somma di due sequenze infinitesimali è una sequenza infinitesima. Anche la differenza di due successioni infinitesime è una successione infinitesima. Anche la somma algebrica di un numero finito di sequenze infinitesimali è essa stessa una sequenza infinitesima. Il prodotto di una sequenza limitata e di una sequenza infinitesima è una sequenza infinitesima. Il prodotto di qualsiasi numero finito di sequenze infinitesimali è una sequenza infinitesima. Qualsiasi sequenza infinitesima è limitata. Se una successione stazionaria è infinitesima allora tutti i suoi elementi, a partire da un certo punto, sono uguali a zero. Se l'intera sequenza infinitesimale è composta da elementi identici, allora questi elementi sono zero. Se (xn) è una successione infinitamente grande che non contiene termini nulli, allora esiste una successione (1/xn) che è infinitesimale. Se però (xn) contiene zero elementi, allora la successione (1/xn) potrà ancora essere definita a partire da un numero n, e sarà ancora infinitesimale. Se (an) è una successione infinitesima che non contiene termini nulli, allora esiste una successione (1/an) che è infinitamente grande. Se (an) contiene tuttavia zero elementi, allora la successione (1/an) può ancora essere definita a partire da un numero n, e sarà ancora infinitamente grande. 1.1.5 Successioni convergenti e divergenti e loro proprietà. Una successione convergente è una sequenza di elementi di un insieme X che ha un limite in questo insieme. Una successione divergente è una successione non convergente. Ogni successione infinitesima è convergente. Il suo limite è zero. La rimozione di un numero finito di elementi da una sequenza infinita non influisce né sulla convergenza né sul limite di quella sequenza. Qualsiasi successione convergente è limitata. Tuttavia non tutte le successioni limitate convergono. Se la successione (xn) converge, ma non è infinitesima, allora, a partire da un certo numero, si definisce una successione (1/xn) limitata. Anche la somma delle successioni convergenti è una successione convergente. Anche la differenza delle sequenze convergenti è una sequenza convergente. Anche il prodotto di successioni convergenti è una successione convergente. Il quoziente di due successioni convergenti è definito a partire da qualche elemento, a meno che la seconda successione non sia infinitesima. Se il quoziente di due successioni convergenti è definito, allora è una successione convergente. Se una successione convergente è limitata inferiormente, allora nessuno dei suoi estremi supera il suo limite. Se una successione convergente è limitata superiormente, il suo limite non supera nessuno dei suoi limiti superiori. Se per qualsiasi numero i termini di una successione convergente non superano i termini di un'altra successione convergente, allora anche il limite della prima sequenza non supera il limite della seconda. Se ogni numero naturale n è associato a un numero reale x n, allora diciamo che è dato sequenza numerica X 1 , X 2 , … x n , … Numero X 1 è chiamato membro della sequenza con il numero 1
O primo termine della sequenza, numero X 2 - membro della sequenza con il numero 2
o il secondo membro della sequenza, ecc. Viene chiamato il numero x n membro della sequenza con numero N. Esistono due modi per specificare sequenze numeriche: con e con formula ricorrente. Sequenza utilizzando formule per il termine generale di una successione– questo è un compito in sequenza X 1 , X 2 , … x n , … utilizzando una formula che esprime la dipendenza del termine x n dal suo numero n. Esempio 1. Sequenza numerica 1, 4, 9, … N 2 , … dato utilizzando la formula del termine comune x n = N 2 , N = 1, 2, 3, … Specificare una sequenza utilizzando una formula che esprime un membro della sequenza x n attraverso i membri della sequenza con numeri precedenti viene chiamato specificando una sequenza utilizzando formula ricorrente. X 1 , X 2 , … x n , … chiamato in sequenza crescente, Di più membro precedente. In altre parole, per tutti N X N + 1 >X N Esempio 3. Successione di numeri naturali 1, 2, 3, … N, … È sequenza ascendente. Definizione 2. Sequenza numerica X 1 , X 2 , … x n , … chiamato sequenza discendente se ogni membro di questa sequenza meno membro precedente. In altre parole, per tutti N= 1, 2, 3, … la disuguaglianza è soddisfatta X N + 1 < X N Esempio 4. Sotto sequenza dato dalla formula È sequenza discendente. Esempio 5. Sequenza numerica 1, - 1, 1, - 1, … dato dalla formula x n = (- 1) N , N = 1, 2, 3, … non è né in aumento né in diminuzione sequenza. Definizione 3. Vengono chiamate sequenze numeriche crescenti e decrescenti sequenze monotone. Definizione 4. Sequenza numerica X 1 , X 2 , … x n , … chiamato limitato dall'alto, se esiste un numero M tale che ciascun membro di questa sequenza meno numeri M. In altre parole, per tutti N= 1, 2, 3, … la disuguaglianza è soddisfatta Definizione 5. Sequenza numerica X 1 , X 2 , … x n , … chiamato delimitato in basso, se esiste un numero m tale che ciascun membro di questa sequenza Di più numeri m. In altre parole, per tutti N= 1, 2, 3, … la disuguaglianza è soddisfatta Definizione 6. Sequenza numerica X 1 , X 2 , … x n , … si dice limitato se limitato sia sopra che sotto. In altre parole, ci sono numeri M e m tali che per tutti N= 1, 2, 3, … la disuguaglianza è soddisfatta M< x n < M Definizione 7. Sequenze numeriche che non sono limitati, chiamato sequenze illimitate. Esempio 6. Sequenza numerica 1, 4, 9, … N 2 , … dato dalla formula x n = N 2 , N = 1, 2, 3, … , delimitato inferiormente, ad esempio, il numero 0. Tuttavia, questa sequenza illimitato dall'alto. Esempio 7. Sotto sequenza Vita sì= F(X), X DI N,
Dove N– un insieme di numeri naturali (o una funzione di un argomento naturale), denotato sì=F(N)
O sì 1 ,sì 2 ,…, sì, no,…. Valori sì 1 ,sì 2 ,sì 3 ,…
sono chiamati rispettivamente primo, secondo, terzo, ... membri della sequenza. Ad esempio, per la funzione sì= N 2 si può scrivere: sì 1 = 1 2 = 1; sì 2 = 2 2 = 4; sì 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;… Metodi per specificare le sequenze. Le sequenze possono essere specificate in vari modi, tra i quali tre sono particolarmente importanti: analitico, descrittivo e ricorrente.
1. Una successione è data analiticamente se viene data la sua formula N° membro: sì, no=F(N). Esempio. sì, no= 2N - 1 –
sequenza di numeri dispari: 1, 3, 5, 7, 9, … 2. Descrittivo
Il modo per specificare una sequenza numerica è spiegare da quali elementi è costruita la sequenza. Esempio 1. "Tutti i termini della sequenza sono uguali a 1." Ciò significa che stiamo parlando di una sequenza stazionaria 1, 1, 1, …, 1, …. Esempio 2: "La sequenza è composta da tutti i numeri primi in ordine crescente." Pertanto, la sequenza data è 2, 3, 5, 7, 11, …. Con questo metodo di specificare la sequenza in in questo esempioè difficile rispondere a cosa, diciamo, è uguale il millesimo elemento della sequenza. 3. Il metodo ricorrente per specificare una sequenza consiste nel specificare una regola che consenta di eseguire il calcolo N-esimo membro di una sequenza se i suoi membri precedenti sono noti. Il nome metodo ricorrente deriva dalla parola latina ricorrente- ritorno. Molto spesso, in questi casi, viene indicata una formula che consente di esprimere N dall'esimo membro della sequenza fino ai precedenti e specificare 1–2 membri iniziali della sequenza. Esempio 1. sì 1 = 3; sì n = sì n–1 + 4 se N = 2, 3, 4,…. Qui sì 1 = 3; sì 2 = 3 + 4 = 7;sì 3 = 7 + 4 = 11; …. Come puoi vedere, la sequenza ottenuta in questo esempio può essere specificata anche analiticamente: sì, no= 4N - 1. Esempio 2. sì 1 = 1; sì 2 = 1; sì, no = sì, no –2 + sì, no–1 se N = 3, 4,…. Qui: sì 1 = 1; sì 2 = 1; sì 3 = 1 + 1 = 2; sì 4 = 1 + 2 = 3; sì 5 = 2 + 3 = 5; sì 6 = 3 + 5 = 8; La sequenza in questo esempio è studiata soprattutto in matematica perché ha una serie di proprietà e applicazioni interessanti. Si chiama sequenza di Fibonacci, dal nome del matematico italiano del XIII secolo. È molto facile definire la sequenza di Fibonacci in modo ricorrente, ma molto difficile analiticamente. N Il decimo numero di Fibonacci si esprime tramite its numero di serie la seguente formula. A prima vista, la formula per N l'esimo numero di Fibonacci sembra poco plausibile, poiché la formula che specifica la sequenza dei numeri naturali contiene solo radici quadrate, ma è possibile verificare “manualmente” la validità di questa formula per i primi N. Una sequenza numerica è un caso speciale di una funzione numerica, pertanto per le sequenze vengono considerate anche alcune proprietà delle funzioni. Definizione .
Sotto sequenza ( sì, no}
si dice crescente se ciascuno dei suoi termini (eccetto il primo) è maggiore del precedente: sì 1 sì 2 sì 3 sì no sì n +1 Definizione.Sequenza ( sì, no}
si dice decrescente se ciascuno dei suoi termini (eccetto il primo) è minore del precedente: sì 1 > sì 2 > sì 3 > … > sì, no> sì, no +1 > …
. Le sequenze crescenti e decrescenti sono combinate sotto il termine comune: sequenze monotone. Esempio 1. sì 1 = 1; sì, no= N 2 – sequenza crescente. Pertanto è vero il seguente teorema (una proprietà caratteristica di una progressione aritmetica). Una sequenza numerica è aritmetica se e solo se ciascuno dei suoi membri, tranne il primo (e l'ultimo nel caso di una sequenza finita), è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi. Esempio. A quale valore X numeri 3 X + 2, 5X– 4 e 11 X+ 12 formano una progressione aritmetica finita? Secondo la proprietà caratteristica, le espressioni date devono soddisfare la relazione 5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2. Risolvendo questa equazione si ottiene X= –5,5.
A questo valore X espressioni date 3 X + 2, 5X– 4 e 11 X+12 assumono rispettivamente i valori –14,5,
–31,5, –48,5.
Questa è una progressione aritmetica, la sua differenza è –17. Una sequenza numerica, i cui termini sono tutti diversi da zero e ciascuno dei cui termini, a partire dal secondo, si ottiene dal termine precedente moltiplicando per lo stesso numero Q, è chiamata progressione geometrica e il numero Q- il denominatore di una progressione geometrica. Pertanto, una progressione geometrica è una sequenza numerica ( b n), definita ricorsivamente dalle relazioni B 1 = B, b n = b n –1 Q (N = 2, 3, 4…). (B E Q - dati i numeri, B ≠ 0, Q ≠ 0). Esempio 1. 2, 6, 18, 54, ... – progressione geometrica crescente B = 2, Q = 3. Esempio 2. 2, –2, 2, –2, … –
progressione geometrica B= 2,Q= –1. Esempio 3. 8, 8, 8, 8, … –
progressione geometrica B= 8, Q= 1. Una progressione geometrica è una sequenza crescente se B 1 > 0, Q> 1 e decrescente se B 1 > 0, 0q Una delle proprietà ovvie di una progressione geometrica è che se la sequenza è una progressione geometrica, allora lo è anche la sequenza di quadrati, cioè B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b n 2,... è una progressione geometrica il cui primo termine è uguale a B 1 2 , e il denominatore è Q 2 . Formula N- l'esimo termine della progressione geometrica ha la forma b n= B 1 qn– 1 . È possibile ottenere una formula per la somma dei termini di una progressione geometrica finita. Sia data una progressione geometrica finita B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b n permettere Sn- la somma dei suoi membri, cioè S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +b n. Questo è accettato Q N. 1. Determinare S n viene utilizzata una tecnica artificiale: vengono eseguite alcune trasformazioni geometriche dell'espressione Snq. Snq = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b n –1 + b n)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b n+ bnq = S n+ bnq– B 1 . Così, Snq= S n +bnq – b 1 e quindi Questa è la formula con umma n termini di progressione geometrica per il caso in cui Q≠ 1. A Q= 1 non è necessario derivare la formula separatamente; è ovvio che in questo caso S n= UN 1 N. La progressione è detta geometrica perché ogni termine in essa contenuto, tranne il primo, è uguale alla media geometrica dei termini precedente e successivo. Infatti, da allora bn=bn- 1 Q; bn = bn+ 1 /Q, quindi, b n 2=bn– 1 miliardi+ 1 e vale il seguente teorema (proprietà caratteristica di una progressione geometrica): una sequenza numerica è una progressione geometrica se e solo se il quadrato di ciascuno dei suoi termini, escluso il primo (e l'ultimo nel caso di sequenza finita), è uguale al prodotto dei termini precedente e successivo. Sia una sequenza ( c n} = {1/N}.
Questa successione è detta armonica, poiché ciascuno dei suoi termini, a partire dal secondo, è la media armonica tra il termine precedente e quello successivo. Media geometrica dei numeri UN E B c'è un numero Altrimenti la successione si dice divergente. Sulla base di questa definizione si può, ad esempio, dimostrare l'esistenza di un limite A=0 per la sequenza armonica ( c n} =
{1/N). Sia ε arbitrariamente piccolo numero positivo. Si considera la differenza Esiste una cosa del genere? Nè per tutti n≥ N vale la disuguaglianza 1 /N ? Se lo prendiamo come N qualsiasi numero naturale maggiore di
1/ε
, quindi per tutti n ≥ N vale la disuguaglianza 1 /n ≤
1/Nε ,
Q.E.D.
Dimostrare la presenza di un limite per una particolare sequenza a volte può essere molto difficile. Le sequenze più frequenti sono ben studiate e sono elencate nei libri di consultazione. Esistono teoremi importanti che consentono di concludere che una determinata sequenza ha un limite (e persino di calcolarlo), sulla base di sequenze già studiate. Teorema 1. Se una successione ha un limite, allora è limitata. Teorema 2. Se una successione è monotona e limitata, allora ha un limite. Teorema 3. Se la sequenza ( UN}
ha un limite UN, quindi le sequenze ( Potere}, {UN+c)
e (| UN|}
avere dei limiti circa, UN +C, |UN| di conseguenza (qui C– numero arbitrario). Teorema 4. Se le successioni ( UN}
E ( b n) hanno limiti pari a UN E B padella + qbn) ha un limite papà+ qB. Teorema 5. Se le successioni ( UN) E ( b n)hanno limiti pari a UN E B di conseguenza, allora la sequenza ( a n b n) ha un limite AB. Teorema 6. Se le successioni ( UN}
E ( b n) hanno limiti pari a UN E B di conseguenza e, inoltre, b n ≠ 0 e B≠ 0, quindi la sequenza ( un n/b n) ha un limite A/B. Anna Chugainova Se una funzione è definita sull'insieme dei numeri naturali N, tale funzione è chiamata sequenza di numeri infinita. Tipicamente, una sequenza numerica è indicata come (Xn), dove n appartiene all'insieme dei numeri naturali N. La sequenza numerica può essere specificata da una formula. Ad esempio, Xn=1/(2*n). Pertanto, associamo ciascun numero naturale n a qualche elemento specifico della sequenza (Xn). Se ora prendiamo successivamente n uguale a 1,2,3, …., otteniamo la sequenza (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), … La sequenza può essere limitata o illimitata, crescente o decrescente. La sequenza (Xn) chiama limitato, se ci sono due numeri m e M tali che per ogni n appartenente all'insieme dei numeri naturali, vale l'uguaglianza m<=Xn Sequenza (Xn), non essere limitato, chiamata sequenza illimitata. crescente, se per ogni n naturale vale la seguente uguaglianza X(n+1) > Xn. In altre parole, ogni membro della sequenza, a partire dal secondo, deve essere maggiore del membro precedente. Viene chiamata la sequenza (Xn). decrescente, se per ogni n naturale vale la seguente uguaglianza X(n+1).< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена. Controlliamo se le successioni 1/n e (n-1)/n sono decrescenti. Se la sequenza è decrescente, allora X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0. X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая. (n-1)/n: X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Ciò significa la sequenza (n-1)/n sta aumentando. Viene data la definizione di sequenza numerica. Vengono considerati esempi di successioni infinitamente crescenti, convergenti e divergenti. Si considera una successione contenente tutti i numeri razionali. Guarda anche:
La sequenza è indicata come l'ennesimo termine racchiuso tra parentesi graffe: . Sono possibili anche le seguenti denominazioni: . Indicano esplicitamente che l'indice n appartiene all'insieme dei numeri naturali e che la sequenza stessa ha un numero infinito di termini. Ecco alcune sequenze di esempio: In altre parole, una sequenza numerica è una funzione il cui dominio di definizione è l'insieme dei numeri naturali. Il numero di elementi della sequenza è infinito. Tra gli elementi possono esserci anche membri che hanno gli stessi significati. Inoltre, una sequenza può essere considerata come un insieme numerato di numeri costituito da un numero infinito di membri. A noi interesserà principalmente la questione di come si comportano le successioni quando n tende all'infinito: . Questo materiale è presentato nella sezione Limite di una sequenza: teoremi e proprietà di base. Qui vedremo alcuni esempi di sequenze. Considera la sequenza. Il membro comune di questa sequenza è . Scriviamo i primi termini: Consideriamo ora una sequenza con un termine comune. Ecco i suoi primi membri: Considera la sequenza. Il suo membro comune. I primi termini hanno la seguente forma: Quindi, considera la sequenza. Il suo membro comune. Ecco alcuni dei suoi primi membri: Consideriamo una sequenza con il seguente termine comune: Ora diamo un'occhiata a una sequenza più interessante. Prendiamo un segmento sulla linea numerica. Dividiamolo a metà. Otteniamo due segmenti. Permettere Di conseguenza, otteniamo una sequenza i cui elementi sono distribuiti in un intervallo aperto (0; 1)
. Qualunque punto prendiamo dall'intervallo chiuso
, possiamo sempre trovare membri della sequenza che saranno arbitrariamente vicini a questo punto o coincideranno con esso. Quindi dalla sequenza originale si può selezionare una sottosequenza che convergerà in un punto arbitrario dell'intervallo
. Cioè, all'aumentare del numero n, i membri della sottosequenza si avvicineranno sempre di più al punto prescelto. Ad esempio, per il punto a = 0
è possibile scegliere la seguente sottosequenza: Per il punto a = 1
Scegliamo la seguente sottosequenza: Poiché esistono sottosuccessioni che convergono a valori diversi, la sequenza originale stessa non converge a nessun numero. Costruiamo ora una successione che contenga tutti i numeri razionali. Inoltre, ciascun numero razionale apparirà in tale sequenza un numero infinito di volte. Il numero razionale r può essere rappresentato come segue: Per fare ciò, disegna gli assi p e q sul piano. Disegniamo le linee della griglia attraverso i valori interi di p e q. Allora ogni nodo di questa griglia c corrisponderà ad un numero razionale. L'intero insieme dei numeri razionali sarà rappresentato da un insieme di nodi. Dobbiamo trovare un modo per numerare tutti i nodi in modo da non perderne nessuno. Questo è facile da fare se si numerano i nodi in quadrati, i cui centri si trovano nel punto (0; 0)
(Guarda l'immagine). In questo caso le parti inferiori dei quadrati con q < 1
non ne abbiamo bisogno. Pertanto non sono mostrati nella figura. Quindi, per il lato superiore del primo quadrato abbiamo: In questo modo otteniamo una sequenza contenente tutti i numeri razionali. Puoi notare che qualsiasi numero razionale appare in questa sequenza un numero infinito di volte. Infatti, insieme al nodo , questa sequenza comprenderà anche i nodi , dove è un numero naturale. Ma tutti questi nodi corrispondono allo stesso numero razionale. Quindi dalla sequenza che abbiamo costruito, possiamo selezionare una sottosuccessione (avente un numero infinito di elementi), i cui elementi sono tutti uguali ad un numero razionale predeterminato. Poiché la sequenza che abbiamo costruito ha sottosuccessioni che convergono a numeri diversi, la sequenza non converge a nessun numero. Qui abbiamo dato una definizione precisa della sequenza numerica. Abbiamo anche sollevato la questione della sua convergenza, basata su idee intuitive. Definizione precisa la convergenza è discussa nella pagina Determinazione del limite di una sequenza. Le proprietà e i teoremi correlati sono descritti nella pagina Limite di una sequenza - teoremi e proprietà di base.
Successioni limitate e illimitate
Proprietà delle sequenze numeriche.
Progressione geometrica.
Limite di coerenza.
Tipi di sequenza
Esempio di sequenza
Definizione
Sequenza numerica (xn)- questa è una legge (regola), secondo la quale, per ogni numero naturale n = 1, 2, 3, . . .
viene assegnato un certo numero x n.
L'elemento x n viene chiamato ennesimo termine o un elemento di una sequenza.
,
,
.
Esempi di sequenza
Esempi di successioni infinitamente crescenti
.
Si può vedere che all'aumentare del numero n gli elementi aumentano indefinitamente verso valori positivi. Possiamo dire che questa sequenza tende a: for .
.
Al crescere del numero n, gli elementi di questa sequenza aumentano illimitatamente in valore assoluto, ma non hanno segno costante. Cioè, questa sequenza tende a: a .Esempi di successioni convergenti ad un numero finito
.
Si può vedere che all'aumentare del numero n gli elementi di questa sequenza si avvicinano al loro valore limite a = 0
: A . Quindi ogni termine successivo è più vicino allo zero del precedente. In un certo senso possiamo considerare che esiste un valore approssimativo per il numero a = 0
con errore. È chiaro che all'aumentare di n questo errore tende a zero, cioè scegliendo n l'errore può essere reso piccolo quanto si desidera. Inoltre, per ogni dato errore ε > 0
è possibile specificare un numero N tale che per tutti gli elementi con numeri maggiori di N:, la deviazione del numero dal valore limite a non superi l'errore ε:.
.
In questa sequenza i termini con numeri pari sono uguali a zero. I termini con n dispari sono uguali. Pertanto, all’aumentare di n, i loro valori si avvicinano al valore limite a = 0
. Ciò deriva anche dal fatto che
.
Proprio come nell'esempio precedente, possiamo specificare un errore ε arbitrariamente piccolo > 0
, per il quale è possibile trovare un numero N tale che gli elementi con numeri maggiori di N si discostino dal valore limite a = 0
per un importo non superiore all'errore specificato. Pertanto questa successione converge al valore a = 0
: A .Esempi di sequenze divergenti
Ecco i suoi primi membri:
.
Si può vedere che i termini con numeri pari:
,
convergono al valore a 1 = 0
. Membri dispari:
,
convergono al valore a 2 = 2
. La sequenza stessa, al crescere di n, non converge ad alcun valore.Sequenza con termini distribuiti nell'intervallo (0;1)
.
Dividiamo nuovamente ciascuno dei segmenti a metà. Otteniamo quattro segmenti. Permettere
.
Dividiamo nuovamente ogni segmento a metà. Prendiamo
.
E così via.
.
= 0
.
.
I termini di questa sottosuccessione convergono al valore a = 1
.
Successione contenente tutti i numeri razionali
,
dove è un numero intero; - naturale.
Dobbiamo associare ogni numero naturale n con una coppia di numeri p e q in modo che qualsiasi coppia p e q sia inclusa nella nostra sequenza.
.
Successivamente, numeriamo la parte superiore del quadrato successivo:
.
Numeriamo la parte superiore del seguente quadrato:
.
E così via.Conclusione