Significato geometrico dell'incremento di una funzione. Biblioteca aperta: biblioteca aperta di informazioni educative

Definizione 1

Se ad ogni coppia $(x,y)$ di valori di due variabili indipendenti di un certo dominio è associato un certo valore $z$, allora $z$ si dice che è una funzione di due variabili $(x,y) $. Notazione: $z=f(x,y)$.

In relazione alla funzione $z=f(x,y)$, consideriamo i concetti di incremento generale (totale) e parziale di una funzione.

Sia data una funzione $z=f(x,y)$ composta da due variabili indipendenti $(x,y)$.

Nota 1

Poiché le variabili $(x,y)$ sono indipendenti, una di esse può cambiare, mentre l'altra rimane costante.

Diamo alla variabile $x$ un incremento di $\Delta x$, mantenendo invariato il valore della variabile $y$.

Allora la funzione $z=f(x,y)$ riceverà un incremento, che sarà chiamato incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ rispetto alla variabile $x$. Designazione:

Allo stesso modo, daremo alla variabile $y$ un incremento di $\Delta y$, mantenendo invariato il valore della variabile $x$.

Allora la funzione $z=f(x,y)$ riceverà un incremento, che sarà chiamato incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ rispetto alla variabile $y$. Designazione:

Se all'argomento $x$ viene assegnato un incremento $\Delta x$ e all'argomento $y$ viene assegnato un incremento $\Delta y$, allora l'incremento completo della funzione data $z=f(x,y)$ è ottenuto. Designazione:

Quindi abbiamo:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ su $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ di $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incremento totale della funzione $z=f(x,y)$.

Esempio 1

Soluzione:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ su $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ rispetto a $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - incremento totale della funzione $z=f(x,y)$.

Esempio 2

Calcolare l'incremento parziale e totale della funzione $z=xy$ nel punto $(1;2)$ per $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Soluzione:

Per definizione di incremento parziale troviamo:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ su $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ di $y$;

Per definizione di incremento totale troviamo:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - incremento totale della funzione $z=f(x,y)$.

Quindi,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

Nota 2

L'incremento totale di una determinata funzione $z=f(x,y)$ non è uguale alla somma dei suoi incrementi parziali $\Delta _(x) z$ e $\Delta _(y) z$. Notazione matematica: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Esempio 3

Controllare le osservazioni sull'asserzione per la funzione

Soluzione:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (ottenuto nell'esempio 1)

Troviamo la somma degli incrementi parziali di una determinata funzione $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definizione 2

Se ad ogni tripla $(x,y,z)$ di valori di tre variabili indipendenti di un certo dominio è associato un certo valore $w$, allora $w$ si dice che è una funzione di tre variabili $(x, y,z)$ in quest'area.

Notazione: $w=f(x,y,z)$.

Definizione 3

Se ad ogni insieme $(x,y,z,...,t)$ di valori di variabili indipendenti di una certa regione è associato un certo valore $w$, allora $w$ si dice che sia una funzione di le variabili $(x,y, z,...,t)$ in quest'area.

Notazione: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Per una funzione di tre o più variabili, analogamente a una funzione di due variabili, vengono determinati incrementi parziali per ciascuna variabile:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z,... ,t )$ per $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - incremento parziale della funzione $w =f (x,y,z,...,t)$ per $t$.

Esempio 4

Scrivere funzioni di incremento parziale e totale

Soluzione:

Per definizione di incremento parziale troviamo:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $z$;

Per definizione di incremento totale troviamo:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - incremento totale della funzione $w=f(x,y,z)$.

Esempio 5

Calcolare l'incremento parziale e totale della funzione $w=xyz$ nel punto $(1;2;1)$ per $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Soluzione:

Per definizione di incremento parziale troviamo:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $z$;

Per definizione di incremento totale troviamo:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - incremento totale della funzione $w=f(x,y,z)$.

Quindi,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

Da un punto di vista geometrico, l'incremento totale della funzione $z=f(x,y)$ (per definizione $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) è uguale all'incremento dell'applicata della funzione grafica $z=f(x,y)$ quando ci si sposta dal punto $M(x,y)$ al punto $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig. 1).

Immagine 1.

Nella vita non siamo sempre interessati ai valori esatti di qualsiasi quantità. A volte è interessante conoscere la variazione di questa quantità, ad esempio la velocità media dell'autobus, il rapporto tra la quantità di movimento e il periodo di tempo, ecc. Per confrontare il valore di una funzione in un certo punto con i valori della stessa funzione in altri punti, è conveniente utilizzare concetti come “incremento di funzione” e “incremento di argomento”.

I concetti di "incremento di funzione" e "incremento di argomento"

Diciamo che x è un punto arbitrario che si trova in qualche intorno del punto x0. L'incremento dell'argomento nel punto x0 è la differenza x-x0. L'incremento è designato come segue: ∆x.

∆x=x-x0.

A volte questa quantità è chiamata anche incremento della variabile indipendente nel punto x0. Dalla formula segue: x = x0+∆x. In questi casi, si dice che il valore iniziale della variabile indipendente x0 ha ricevuto un incremento ∆x.

Se cambiamo l'argomento, cambierà anche il valore della funzione.

f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0).

Incremento della funzione f nel punto x0, l'incremento corrispondente ∆х è la differenza f(x0 + ∆х) - f(x0). L'incremento di una funzione si indica come segue: ∆f. Otteniamo quindi, per definizione:

∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

A volte ∆f è anche chiamato incremento della variabile dipendente e ∆у viene utilizzato per questa designazione se la funzione era, ad esempio, y=f(x).

Significato geometrico dell'incremento

Guarda la seguente immagine.

Come puoi vedere, l'incremento mostra il cambiamento nell'ordinata e nell'ascissa di un punto. E il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento determina l'angolo di inclinazione della secante che passa per la posizione iniziale e finale del punto.

Diamo un'occhiata ad esempi di incremento di una funzione e di un argomento

Esempio 1. Trovare l'incremento dell'argomento ∆x e l'incremento della funzione ∆f nel punto x0, se f(x) = x 2, x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Usiamo le formule sopra riportate:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Esempio 2. Calcolare l'incremento ∆f per la funzione f(x) = 1/x nel punto x0 se l'incremento dell'argomento è uguale a ∆x.

Anche in questo caso utilizzeremo le formule ottenute sopra.

∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

1. incremento dell'argomento e incremento della funzione.

Sia data la funzione. Prendiamo due valori di argomento: iniziale e modificato, che di solito è indicato
, Dove - viene chiamato l'importo di cui cambia l'argomento quando si passa dal primo valore al secondo incremento dell'argomento.

I valori dell'argomento e corrispondono a valori di funzione specifici: iniziale e cambiato
, grandezza , con cui viene chiamato il valore della funzione cambia quando l'argomento cambia in base al valore incremento della funzione.

2. il concetto di limite di una funzione in un punto.

Numero chiamato limite della funzione
con la cura di , se per qualsiasi numero
c'è un tale numero
quello davanti a tutti
, soddisfacendo la disuguaglianza
, la disuguaglianza sarà soddisfatta
.

Seconda definizione: Un numero si dice limite di una funzione in quanto tende a , se per ogni numero esiste un intorno del punto tale che per qualunque di questo intorno . Designato
.

3. funzioni infinitamente grandi e infinitesime in un punto. Una funzione infinitesima in un punto è una funzione il cui limite, quando si avvicina a un dato punto, è zero. Una funzione infinitamente grande in un punto è una funzione il cui limite quando tende a un dato punto è uguale a infinito.

4. principali teoremi sui limiti e relative conseguenze (senza dimostrazione).

conseguenza: il fattore costante può essere portato oltre il segno limite:

Se le sequenze e convergono e il limite della successione è diverso da zero, allora

conseguenza: il fattore costante può essere portato oltre il segno limite.

11. se ci sono limiti alle funzioni
E
e il limite della funzione è diverso da zero,

allora esiste anche un limite del loro rapporto, pari al rapporto tra i limiti delle funzioni e :

12. se
, Quello
, è vero anche il contrario.

13. Teorema sul limite di una successione intermedia. Se le sequenze
convergente e
E
Quello

5. limite di una funzione all'infinito.

Il numero a è detto limite di una funzione all'infinito (per x tendente all'infinito) se per ogni successione tendente all'infinito
corrisponde ad una sequenza di valori tendenti al numero UN.

6. limiti sequenza numerica.

Numero UNè chiamato limite di una sequenza numerica, se presente numero positivo ci sarà numero naturale N, tale che per tutti N> N vale la disuguaglianza
.

Simbolicamente questo è definito come segue:
Giusto .

Il fatto che il numero UNè il limite della sequenza, indicato come segue:

7.numero "e". logaritmi naturali.

Numero "e" rappresenta il limite della sequenza numerica, N- membro di cui
, cioè.

Logaritmo naturale – logaritmo con base e. sono indicati i logaritmi naturali
senza specificare un motivo.

Numero
permette di passare dal logaritmo decimale a quello naturale e viceversa.

, è chiamato modulo di transizione dai logaritmi naturali a quelli decimali.

8. limiti meravigliosi
,

Il primo limite notevole:

quindi a

dal teorema limite della successione intermedia

secondo limite notevole:

Per dimostrare l'esistenza di un limite
utilizzare il lemma: per qualsiasi numero reale
E
la disuguaglianza è vera
(2) (a
O
la disuguaglianza diventa uguaglianza).

La sequenza (1) può essere scritta come segue:

Consideriamo ora una sequenza ausiliaria con un termine comune
Assicuriamoci che diminuisca e sia limitato di seguito:
Se
, quindi la sequenza diminuisce. Se
, allora la sequenza è limitata inferiormente. Mostriamo questo:

per uguaglianza (2)

cioè.
O
. Cioè, la sequenza è decrescente e poiché la sequenza è limitata inferiormente. Se una sequenza è decrescente e limitata inferiormente, allora ha un limite. Poi

ha un limite e una sequenza (1), perché

E
.

L. Euler chiamò questo limite .

9. Limiti unilaterali, discontinuità della funzione.

il numero A è il limite sinistro se per qualsiasi sequenza vale quanto segue: .

il numero A è il limite giusto se per qualsiasi sequenza vale quanto segue: .

Se al punto UN appartenente al dominio di definizione della funzione o al suo confine, viene violata la condizione di continuità della funzione, quindi il punto UN si chiama punto di discontinuità o discontinuità di una funzione se, come tende il punto

12. somma di termini di infinita diminuzione progressione geometrica. La progressione geometrica è una sequenza in cui il rapporto tra i termini successivi e precedenti rimane invariato, questo rapporto è chiamato denominatore della progressione. Somma del primo N membri della progressione geometrica è espressa dalla formula
Questa formula è conveniente da utilizzare per una progressione geometrica decrescente, una progressione in cui il valore assoluto del suo denominatore è inferiore a zero. - primo membro; - denominatore di progressione; - numero del membro preso della sequenza. La somma di una progressione decrescente infinita è il numero al quale si avvicina indefinitamente la somma dei primi termini di una progressione decrescente quando il numero aumenta indefinitamente.
Quello. La somma dei termini di una progressione geometrica infinitamente decrescente è uguale a .

Definizione 1

In relazione alla funzione $z=f(x,y)$, consideriamo i concetti di incremento generale (totale) e parziale di una funzione.

Sia data una funzione $z=f(x,y)$ composta da due variabili indipendenti $(x,y)$.

Nota 1

Poiché le variabili $(x,y)$ sono indipendenti, una di esse può cambiare, mentre l'altra rimane costante.

Diamo alla variabile $x$ un incremento di $\Delta x$, mantenendo invariato il valore della variabile $y$.

Allora la funzione $z=f(x,y)$ riceverà un incremento, che sarà chiamato incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ rispetto alla variabile $x$. Designazione:

Allo stesso modo, daremo alla variabile $y$ un incremento di $\Delta y$, mantenendo invariato il valore della variabile $x$.

Allora la funzione $z=f(x,y)$ riceverà un incremento, che sarà chiamato incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ rispetto alla variabile $y$. Designazione:

Quindi abbiamo:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ su $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ di $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incremento totale della funzione $z=f(x,y)$.

Esempio 1

Soluzione:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ su $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ rispetto a $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - incremento totale della funzione $z=f(x,y)$.

Esempio 2

Calcolare l'incremento parziale e totale della funzione $z=xy$ nel punto $(1;2)$ per $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Soluzione:

Per definizione di incremento parziale troviamo:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ su $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - incremento parziale della funzione $z=f(x,y)$ di $y$;

Per definizione di incremento totale troviamo:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - incremento totale della funzione $z=f(x,y)$.

Quindi,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

Nota 2

Esempio 3

Controllare le osservazioni sull'asserzione per la funzione

Soluzione:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (ottenuto nell'esempio 1)

Troviamo la somma degli incrementi parziali di una determinata funzione $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definizione 2

Notazione: $w=f(x,y,z)$.

Definizione 3

Notazione: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Per una funzione di tre o più variabili, analogamente a una funzione di due variabili, vengono determinati incrementi parziali per ciascuna variabile:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z,... ,t )$ per $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - incremento parziale della funzione $w =f (x,y,z,...,t)$ per $t$.

Esempio 4

Scrivere funzioni di incremento parziale e totale

Soluzione:

Per definizione di incremento parziale troviamo:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $z$;

Per definizione di incremento totale troviamo:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - incremento totale della funzione $w=f(x,y,z)$.

Esempio 5

Calcolare l'incremento parziale e totale della funzione $w=xyz$ nel punto $(1;2;1)$ per $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Soluzione:

Per definizione di incremento parziale troviamo:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - incremento parziale della funzione $w=f(x,y,z)$ su $z$;

Per definizione di incremento totale troviamo:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - incremento totale della funzione $w=f(x,y,z)$.

Quindi,

Immagine 1.

Permettere X– argomento (variabile indipendente); y=y(x)- funzione.

Prendiamo un valore di argomento fisso x=x 0 e calcolare il valore della funzione sì 0 =y(x 0 ) . Ora impostiamo arbitrariamente incremento (cambiamento) dell'argomento e denotarlo  X ( X può essere di qualsiasi segno).

L'argomento Incremento è un punto X 0 +  X. Diciamo che contiene anche un valore di funzione y=y(x 0 +  X)(Guarda l'immagine).

Pertanto, con una variazione arbitraria del valore dell'argomento, si ottiene una variazione della funzione, che viene chiamata incremento valori della funzione:

e non è arbitrario, ma dipende dal tipo di funzione e valore
.

Gli incrementi di argomenti e funzioni possono essere finale, cioè. espressi come numeri costanti, nel qual caso sono talvolta chiamati differenze finite.

In economia, gli incrementi finiti vengono considerati abbastanza spesso. Ad esempio, la tabella mostra i dati sulla lunghezza della rete ferroviaria di un determinato stato. Ovviamente l'incremento della lunghezza della rete si calcola sottraendo il valore precedente a quello successivo.

Considereremo la lunghezza della rete ferroviaria come una funzione, il cui argomento sarà il tempo (anni).

Lunghezza ferrovia al 31 dicembre, migliaia di km.	Incremento	Crescita media annua

Di per sé, l'aumento di una funzione (in questo caso, la lunghezza della rete ferroviaria) non caratterizza bene il cambiamento di funzione. Nel nostro esempio, dal fatto che 2,5>0,9 non si può concludere che la rete sia cresciuta più velocemente in 2000-2003 anni che in 2004 g., perché l'incremento 2,5 si riferisce ad un periodo di tre anni, e 0,9 - in un solo anno. Pertanto, è del tutto naturale che un incremento in una funzione porti a una variazione unitaria nell'argomento. L'incremento dell'argomento qui è rappresentato da periodi: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Otteniamo ciò che viene chiamato nella letteratura economica crescita media annua.

È possibile evitare l'operazione di riduzione dell'incremento all'unità di modifica dell'argomento se si prendono i valori della funzione per valori di argomento che differiscono di uno, il che non è sempre possibile.

Nell'analisi matematica, in particolare nel calcolo differenziale, vengono considerati gli incrementi infinitesimi (IM) di argomento e funzione.

Differenziazione di una funzione di una variabile (derivata e differenziale) Derivata di una funzione

Incrementi di argomento e funzione in un punto X 0 possono essere considerate come quantità infinitesimali comparabili (vedi argomento 4, confronto di BM), cioè BM dello stesso ordine.

Allora il loro rapporto avrà un limite finito, che è definito come la derivata della funzione in t X 0 .

Limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento BM dell'argomento in un punto x=x 0 chiamato derivato funzioni in un dato punto.

La designazione simbolica di un derivato con un tratto (o meglio, con il numero romano I) è stata introdotta da Newton. È inoltre possibile utilizzare un pedice che mostra con quale variabile viene calcolata la derivata, ad esempio: . Molto utilizzata è anche un'altra notazione proposta dal fondatore del calcolo delle derivate, il matematico tedesco Leibniz:
. Imparerai di più sull'origine di questa designazione nella sezione Differenziale di funzione e differenziale di argomento.

Questo numero stima velocità cambiamenti nella funzione passante per un punto
.

Installiamo significato geometrico derivata di una funzione in un punto. A questo scopo tracceremo la funzione y=y(x) e segnare su di esso i punti che determinano il cambiamento y(x) nel frattempo

Tangente al grafico di una funzione in un punto M 0
considereremo la posizione limite della secante M 0 M dato che
(punto M scorre lungo il grafico di una funzione fino a un punto M 0 ).

Consideriamo
. Ovviamente,
.

Se il punto M dirigersi lungo il grafico della funzione verso il punto M 0 , quindi il valore
tenderà ad un certo limite, che denotiamo
. In cui.

Angolo limite  coincide con l'angolo di inclinazione della tangente tracciata sul grafico della funzione incl. M 0 , quindi la derivata
numericamente uguali pendenza tangente nel punto specificato.

significato geometrico della derivata di una funzione in un punto.

Pertanto, possiamo scrivere le equazioni tangente e normale ( normale - questa è una linea retta perpendicolare alla tangente) al grafico della funzione in un punto X 0 :

Tangente - .

Normale -
.

Sono interessanti i casi in cui queste linee si trovano orizzontalmente o verticalmente (vedi Argomento 3, casi particolari della posizione di una linea su un piano). Poi,

Se
;

Se
.

La definizione di derivata è chiamata differenziazione funzioni.

 Se la funzione al punto X 0 ha una derivata finita, allora si chiama differenziabile a questo punto. Una funzione che è differenziabile in tutti i punti di un certo intervallo si dice differenziabile su questo intervallo.

 Teorema . Se la funzione y=y(x) differenziabile incl. X 0 , allora a questo punto è continua.

Così, continuità– una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la differenziabilità di una funzione.